小學五年級奧數(shù)第13課《面積計算》試題附答案

小學五年級上冊數(shù)學奧數(shù)知識點講解第13課《面積計算》試題附答案

第十四講面積計算

在小學階段學習的各種平面圖形之間有著密切的聯(lián)系,我們把平面圖形之間

的轉(zhuǎn)化方法及它們的面積、周長公式歸納如下圖：

計算圖形的面積要用面積公式，對于一些復雜的圖形有意識地運用運動變

化的觀點，將平面圖形簡單地變動位置，可以化警為簡，化難為易，從而獲得

最佳解法。

例1已知三角形ABC的面積為1,BE=2AB,BC=CD,求三角形BDE的面積?

（下頁圖）

例2求右圖中陰影部分的面積大圓直徑為2,單位：厘米）。

傘

例3如下圖.在圖中三角形ABE、ADF和四邊形AECF的面積相等，求三角形AEF

的面積。

D

例4如下頁圖.等腰直角三角形ABC的腰為10厘米；以A為圓心，EF為圓弧，組

成扇形AEF；陰影部分甲與乙的面積相等.求扇形所在的圓面積.

例5如右圖.從一個正方形的木板上鋸下寬為;米的一塊長方形木條

以后，剩下的面積是與平方米.問鋸下木條的面積是多少平方米？

1O

例6一塊長方形鋼板，長截下4分米，寬截下1分米后，成了一塊正方形鋼板,

如右圖，面積比原來減少了49平方米原來長方形鋼板的面積是多少平方米？

999

例7ABCD為任意四邊形，其中AE=gAB,BF=-BC,CG=j-CD,

2

DH=yDA,連結(jié)E、F,C、H求四邊形EFGH的面積與四邊形ABCD的面積

之比（如右圖）。

例8如右圖，已知三角形ABC的三條高必定交于一點，如記成P點,

請你講明?+望+第=1為什么成立？

答案

例1已知三角形ABC的面積為1,BE=2AB,BC=CD,求三角形BDE的面積?

（下頁圖）

分析利用己給的線段間的比例關(guān)系、己給的三角形的面積以及三角形的面積

公式，設法把三角形BDE劃分成一些與三角形ABC的面積成相應比例的三角形.

這樣，三角形BDE的面積就能求得了。

解：見右圖，連結(jié)CE對于三角形ABC與三角形BEC,分別把AB和BE

看成底，那么它們的高相等此外，BE=2AB.根據(jù)三角形面積公式S=gah

可知，

53雙=25二a=2一

顯然，三角形BEC和三角形CED

是兩個等底（BC=CD）、等高的三角形，因此

S_l_B=SdKC=2。

這樣，S3EDE=S_5K+SAB=4。

例2求右圖中陰影部分的面積.（大圓直徑為2,單位：厘米）。

分析:解題時可以先將圖形下半部分翻轉(zhuǎn)拼接為右圖.然后將圖中的小圓移至

中心從圖中不難看出求原圖中陰影部分的面積就是求一個圓環(huán)的面積。

解：大圓半徑：2+2=1（厘米）

小圓半徑：1+2=06（厘米）

陰影面積：3.14X（12_0.52）

=2.355（平方厘米）

答：陰影部分的面積是2.355平方厘米.

例3如下圖.在圖中三角形ABE、ADF和四邊形AECF的面積相等，求三角形AEF

的面積。

分析三角形AEF的面積等于四邊形AECF的面積減去三角形ECF的面積.因為長

方形ABCD的面積等于三角形ABE、ADF和四邊形AECF的面積和，

而這三者的面積又相等，所以四邊形AECF的面積等于長方形面積的；由于

長方形ABCD的長、寬分別為9厘米和6厘米，因此很容易求出它的面積.所以解

題關(guān)鍵在于求出三角形ECF的面積。

根據(jù)三角形面積公式S=：ah,已知三角形ABE的面積等于長方形面積

的;，又知道AB=6厘米，可以求出BE的長度.知道BE的長度就可以求出

EC的長度祠理可以求出FC的長度.這樣三角形ECF的面積可以求出，使問題得

解。

解：長方形ABCD的面積：9X6=54（平方厘米）；

四邊形AECF及三角形ABE、AFD的面積相等，是：

54X1=18（平方厘米）；

EC的長度：9-18X2*6=3（厘米）；

FC的長度：6-18X2+9=2（厘米）；

三角形AEF的面積：

18-3X2*2=15（平方厘米）。

答：三角形AEF的面積是15平方厘米。

例4如下瓦圖.等腰直角三角形ABC的腰為10厘米；以A為圓心，EF為圓弧，組

成扇形AEF；陰影部分甲與乙的面積相等.求扇形所在的圓面積.

分析...△ABC是等腰直角三角形，.,.AC=BC,ZA=ZB=45°?Ss=Sr,

即的面積等于以AE為半徑，圓心角是45°的扇形面積根據(jù)已知條件「可

求H三角形ABC的面積從而可求出圓面積。

解：三角形ABC的面積：與旦=50（平方厘米）；

周角是45°圓心角的幾倍？360X45=8；

圓面積：50X8=400（平方厘米）o

答：扇形所在的圓面積是40評方厘米。

例5如右圖.從一個正方形的木板上鋸下寬為;米的一塊長方形木條

以后，剩下的面積是粵平方米.問鋸下木條的面積是多少平方米？

lo

分析利用一種稱之為“弦圖”的求面積的方法.用“弦圖”計算面積最主要的

是掌握“弦圖”的特點.其一：大正方形邊長張方形長X土方形寬”

其二：小正方形的邊長土方形的長x-長方形的寬y.解題時先把四個面積為

形邊長是9米，從而可求出拼成后正方形的總面積，進而確定正方形的邊長。

解：拼成后大正方形的面積：

梟+那=槳（平方米）。

loN/30

大正方形的邊長：

V第=（1）2。.?.大正方形的長為胃米.

3666

長方形的長（即長方形木條的長）：

:長+寬=當（米），長-寬=;（米），

62

???長=（昌+9+2邛（米）。

626

鋸下木條的面積：］乂屋心（平方米）。

6212

答：鋸下木條的面積是1卷平方米。

例6一塊長方形鋼板，長截下4分米，寬截下1分米后，成了一塊正方形鋼板,

如右圖，面積比原來減少了49平方米原來長方形鋼板的面積是多少平方米？

*4分*f|

1分Jlllllll皿lllll皿1

分析初看起來，圖中長方形長和寬，正方形的邊長都不知道，無法求出長方

形的面積，能否用特殊的方法思考呢？審題后發(fā)現(xiàn)長方形的長、寬和面積都和

正方形有關(guān)系.圖中陰影部分，如果添一條“輔助線”，如下頁圖（1）或下頁

圖（2）,把它分解成兩個長方形.以下頁圖（2）為例記正方形的邊長為x分米.

帶陰影的小長方形長為（x+4）分米，寬為1分米，帶陰影的大長方形長為x分

米，寬為4分米.“面積比原來（長方形）減少了49平方米”，也就是大長方形

陰影部分面積+小長方形陰影部分面積=陰影部分總面積=49平方分米，用方程

解-

*f

Q分

淋t

Q分

分

。

分米

長為x

形邊

正方

解：設

,

x=49

+4

）Xl

（x+4

9,

4x=4

x+4+

5,

5x=4

x=9o

）

分米

平方

0（

=13

+49

9X9

。

分米

平方

為130

面積

鋼板

方形

答：長

2

2

2

,

-CD

G=

C,C

=jB

,BF

?AB

AE=

，其中

邊形

意四

為任

BCD

例7A

面積

D的

ABC

四邊形

面積與

H的

形EFG

求四邊

C、H

、F,

連結(jié)E

A,

yD

DH=

。

圖）

（如右

之比

,

S△?

_4=

得知S

和BD

結(jié)ED

解：連

2

S

=

所以

DB'

TAA

s=lx2g=2

Q&AEH_33Q&ABD_qQ&ABD

2

印里S&CGF=§SABCD

22

因此S&AEH+S&CGF=g(S△妞D+S&BCD)=勺$口題口

2

同理^ABFE+S&DHG=口他CD，

4

所以S&AEH+S&CGF+S&BFE+=^"^nABCD

(l-g)ScLABCD

所以S皿GH2『s口ABCD

即四邊形EFGH的面積：四邊形ABCD面積=5:9。

例8如右圖，己知三角形ABC的三條高必定交于一點，如記成P點,

請你講明M+要+黑=1為什么成立？

ADJ5匕Ur

分析與解答從右圖中可以看出APBC和AABC是同底的兩個三角形,

它們的面積之比等于它們對應高的比，所以步巴=黑.同理可得：

'△ABC

S&PCA=PES&PABPF

SAABCBESAABCCF'

qqq

24PBC十2&PCA十"APABPDPEPF

所以---+---+一一一'o

sss

“△ABCQ&ABC“AABCADBECF

又,S二次+S3pa+SaxS二版,

PDPEPF_S&3c

因此而+BE+CF=SL=lo

習題十四

1.右圖是一個圓心角為45°的扇形，其中直角三角形BOC的直角邊為6厘

米，求陰影部分面積。

2.在右圖中，陰影部分A的面積比陰影部分B的面積大10.5平方厘米，求線

段BC的長度？

D

3.一個直徑為10厘米的圓，如左圖.圓內(nèi)有一個扇形，扇形的弧長為3.14

厘米，求扇形的面積。

4.右圖中，大正方形面積比小正方形面積多24平方米，求小正方形的面積

是多少？

5.用同樣的長方形條挎，在一叢花的周圍鑲成一個正方形邊框，如右圖.

邊框的周長為264厘米.里邊小正方形的面積為900平方厘米，問每塊長方形條

磚的長和寬各是多少厘米？

五年級奧數(shù)上冊：第十四講面積計算習題解答

習題十四解答

L提示：針對本題特點，選用先擴大再縮小的方法解題.把原圖作為一個整

體擴大一倍，使其成為圓心角是90°的扇形，使問題得解.（見右圖）

解：大三角形面