2024版高考物理一輪復習第四章曲線運動萬有引力與航天第2講拋體運動練習含解析新人教版

PAGE7-2024版高考物理一輪復習第四章曲線運動萬有引力與航天第2講拋體運動練習含解析新人教版第2講拋體運動一、選擇題(本題共10小題，1～7題為單選，8～10題為多選)1．(2020·吉林省吉林市統(tǒng)考)如圖所示，氣槍水平對準被磁鐵吸住的鋼球，在子彈射出槍口的同時，將電磁鐵的電路斷開，釋放鋼球使其自由下落(設(shè)離地高度足夠大)，不計空氣阻力，則下列說法中正確的是(A)A．子彈與鋼球在任意時刻都位于同一高度B．子彈一定比鋼球后落地C．子彈一定從空中下落的鋼球下方飛過D．只有在氣槍離電磁鐵某一距離時，子彈才能擊中空中下落的鋼球[解析]本題通過平拋運動與自由落體運動考查運動的等時性問題。子彈在豎直方向上做自由落體運動，與鋼球的運動情況相同，故子彈與鋼球在任意時刻都位于同一高度，即子彈與鋼球會同時落地，故A正確，B、C錯誤；子彈做平拋運動，只要電磁鐵在子彈的射程之內(nèi)，子彈就能擊中下落的鋼球，故D錯誤。2．甲、乙兩個同學打乒乓球，某次動作中，甲同學持拍的拍面與水平方向成45°角，乙同學持拍的拍面與水平方向成30°角，如圖所示．設(shè)乒乓球擊打拍面時速度方向與拍面垂直，且乒乓球每次擊打球拍前后的速度大小相等，不計空氣阻力，則乒乓球擊打甲的球拍的速度v1與乒乓球擊打乙的球拍的速度v2之比為(C)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),3)[解析]由題可知，乒乓球在甲與乙之間做斜上拋運動，根據(jù)斜上拋運動的特點可知，乒乓球在水平方向的分速度大小保持不變，豎直方向的分速度是不斷變化的，由于乒乓球擊打拍面時速度與拍面垂直，在甲處有v甲x＝v1sin45°，在乙處有v乙x＝v2sin30°，則v1sin45°＝v2sin30°，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(\r(2),2)，選項C正確。3．(2020·河南鄭州模擬)如圖甲所示，一名運動員在參加跳遠比賽。其運動軌跡可以簡化為如圖乙所示，假設(shè)跳遠運動員落入沙坑前經(jīng)過了P、Q兩點，經(jīng)過P、Q兩點時速度方向與水平方向的夾角分別為37°和45°。若運動員可視為質(zhì)點，不計空氣阻力，則P、Q兩點連線與水平方向夾角的正切值為(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(C)A．eq\f(3,8) B．eq\f(2,3)C．eq\f(7,8) D．eq\f(7,6)[解析]運動員騰空時，從最高點到落地過程中，做平拋運動。將P、Q兩點速度分解，如圖所示。連接P、Q，設(shè)與水平方向的夾角為θ，則tanθ＝eq\f(y,x)。由圖中幾何關(guān)系和運動學公式，可得x＝v0t，y＝eq\f(1,2)(v1＋v2)t。由圖中幾何關(guān)系可得v1＝v0tan37°，v2＝v0tan45°。聯(lián)立方程可得tanθ＝eq\f(\f(1,2)v0tan37°＋v0tan45°t,v0t)＝eq\f(1,2)(tan37°＋tan45°)＝eq\f(7,8)。選項C正確，選項A、B、D錯誤。4．(2018·全國卷Ⅲ，17)在一斜面頂端，將甲、乙兩個小球分別以v和eq\f(v,2)的速度沿同一方向水平拋出，兩球都落在該斜面上。甲球落至斜面時的速率是乙球落至斜面時速率的(A)A．2倍 B．4倍C．6倍 D．8倍[解析]如圖所示，可知：x＝vtx·tanθ＝eq\f(1,2)gt2則x＝eq\f(2tanθ,g)·v2即x∝v2甲、乙兩球拋出速度為v和eq\f(v,2)，則相應水平位移之比為4︰1，由相似三角形知，下落高度之比也為4︰1，由自由落體運動規(guī)律得，落在斜面上豎直方向速度之比為2︰1，則可得落至斜面時速率之比為2︰1。5．如圖所示，在斜面頂端a處以速度va水平拋出一小球，經(jīng)過時間ta恰好落在斜面底端c處。今在c點正上方與a等高的b處以速度vb水平拋出另一小球，經(jīng)過時間tb恰好落在斜面的三等分點d處。若不計空氣阻力，下列關(guān)系式正確的是(C)A．ta＝eq\f(\r(3),2)tb B．ta＝3tbC．va＝eq\f(\r(3),2)vb D．va＝eq\f(3,2)vb[解析]由于a、b兩球下降的高度之比為3︰1，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2可知下落時間t＝eq\r(\f(2h,g))，則兩小球運動的時間關(guān)系是ta＝eq\r(3)tb，故A、B錯誤；因為兩球水平位移之比為3︰2，由v0＝eq\f(x,t)得va＝eq\f(\r(3),2)vb，故C正確，D錯誤。6．如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一曲面，曲面方程為y＝x2，在y軸上有一點P，坐標為(0,6m)。從P點將一小球水平拋出，初速度為1m/s。則小球第一次打在曲面上的位置為(不計空氣阻力，g＝10m/s2)(C)A．(3m,3m) B．(2m,4m)C．(1m,1m) D．(1m,2m)[解析]設(shè)小球第一次打在曲面上的位置為(x，y)，小球在水平方向有：x＝v0t；豎直方向有：6－y＝eq\f(1,2)gt2，x、y滿足曲面方程，則y＝x2，聯(lián)立各式并把g＝10m/s2、v0＝1m/s代入解得x＝1m，y＝1m，則小球第一次打在曲面上的位置為(1m，1m)，故選項C正確。7．(2021·永州模擬)一斜面體放置在水平地面上，其傾角如圖所示，兩個小球P、Q分別從圖示位置以相同的速度水平拋出，兩個小球落到斜面上時，其速度方向均與斜面垂直。則下面說法中正確的是(D)A．P、Q兩球在空中運動的時間之比為1︰2B．P、Q兩球在空中運動的時間之比為2︰1C．P、Q甲球在水平方向通過的距離之比為9︰1D．P、Q兩球在豎直方向下落的距離之比為9︰1[解析]設(shè)兩球水平初速度為v，根據(jù)幾何知識可得，tanθ＝eq\f(v,gt)，即tanθ與t成反比，故eq\f(t1,t2)＝eq\f(tan60°,tan30°)＝3，故A、B錯；水平方向通過的距離為x＝vt，可知水平位移與時間成正比，故為3︰1，故C錯；豎直方向下落的距離為h＝eq\f(1,2)gt2，豎直方向下落的距離與時間的平方成正比，故D對。8．一位同學玩投擲飛鏢游戲時，將飛鏢水平拋出后擊中目標，當飛鏢在飛行過程中速度的方向平行于拋出點與目標間的連線時，速度大小為v，不考慮空氣阻力，已知連線與水平面間的夾角為θ，則飛鏢(AC)A．初速度v0＝vcosθB．擊中目標時飛行時間t＝eq\f(2vtanθ,g)C．擊中目標時飛行的水平距離x＝eq\f(v2sin2θ,g)D．擊中目標時飛行的豎直距離y＝eq\f(2v2tan2θ,g)[解析]本題考查運動的分解。根據(jù)運動的合成與分解知，飛鏢的初速度v0＝vcosθ，選項A正確；根據(jù)平拋運動的規(guī)律有x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2，tanθ＝eq\f(y,x)，解得t＝eq\f(2vsinθ,g)，x＝eq\f(v2sin2θ,g)，y＝eq\f(2v2sin2θ,g)，選項C正確，B、D錯誤。9．如圖所示，一固定斜面傾角為θ，將小球A從斜面頂端以速率v0水平向右拋出，擊中了斜面上的P點；將小球B從空中某點以相同速率v0水平向左拋出，恰好垂直斜面擊中Q點。不計空氣阻力，重力加速度為g，下列說法正確的是(BC)A．若小球A在擊中P點時速度方向與水平方向所夾銳角為φ，則tanθ＝2tanφB．若小球A在擊中P點時速度方向與水平方向所夾銳角為φ，則tanφ＝2tanθC．小球A，B在空中運動的時間比為2tan2θ︰1D．小球A，B在空中運動的時間比為tan2θ︰1[解析]由題圖可知，斜面的傾角θ等于小球A落在斜面上時的位移與水平方向的夾角，由平拋運動結(jié)論可知tanφ＝2tanθ，選項A錯誤，B正確；設(shè)小球A在空中運動的時間為t1，小球B在空中運動的時間為t2，則由平拋運動的規(guī)律可得tanθ＝eq\f(\f(1,2)gt\o\al(2,1),v0t1)，tanθ＝eq\f(v0,gt2)，則eq\f(t1,t2)＝eq\f(2tan2θ,1)，選項C正確，D錯誤。10．(2021·重慶直屬校聯(lián)考)如圖所示，兩豎直光滑墻壁的水平間距為6m，貼近左邊墻壁從距離地面高20m處以初速度10m/s水平向右拋出一小球，一切碰撞均無機械能損失。小球每次碰撞后，平行于接觸面方向的分速度不變，垂直于接觸面方向的分速度反向。不計空氣阻力，重力加速度取10m/s2，則(BD)A．小球第一次與地面碰撞點到左邊墻壁的水平距離為6mB．小球第一次與地面碰撞點到左邊墻壁的水平距離為4mC．小球第二次與地面碰撞點到左邊墻壁的水平距離為2mD．小球第二次與地面碰撞點到左邊墻壁的水平距離為0m[解析]因小球與墻發(fā)生彈性碰撞，所以可以把小球的運動等效為先平拋運動后斜拋運動，且斜拋運動的水平速度等于平拋運動的水平速度。斜拋的最高點為平拋的初始高度，所以平拋運動時間為t＝eq\r(\f(2h,g))＝2s，水平位移x＝vt＝20m，水平位移每過6m與墻碰撞一次，則平拋與墻碰撞3次后落在與左墻相距4m處，故A錯誤，B正確；平拋、斜拋運動總時間為t′＝3eq\r(\f(2h,g))＝6s，水平總位移x′＝vt′＝60m，水平位移每過6m與墻碰撞一次，則反復與墻碰撞10次后剛好落在與左墻相距0m處，則C錯誤，D正確。故選B、D。二、非選擇題11．如圖為“快樂大沖關(guān)”節(jié)目中某個環(huán)節(jié)的示意圖。參與游戲的選手會遇到一個人造山谷OAB，OA是高h＝3m的豎直峭壁，AB是以O(shè)點為圓心的弧形坡，∠AOB＝60°，B點右側(cè)是一段水平跑道。選手可以自O(shè)點借助繩索降到A點后再爬上跑道，但身體素質(zhì)好的選手會選擇自O(shè)點直接躍上跑道。選手可視為質(zhì)點，忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2。(1)若選手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；(2)若選手以速度v1＝4m/s水平跳出，求該選手在空中的運動時間。[答案](1)eq\f(3\r(10),2)m/s(2)0.6s[解析](1)若選手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，則hsin60°≤v0t，hcos60°＝eq\f(1,2)gt2解得：v0≥eq\f(3\r(10),2)m/s。則速度最小值為eq\f(3\r(10),2)m/s。(2)若選手以速度v1＝4m/s水平跳出，因v1<v0，人將落在弧形坡上。下降高度y＝eq\f(1,2)gt′2水平前進距離x＝v1t′且x2＋y2＝h2解得t′＝0.6s。12．(2020·北京朝陽區(qū)六校月考)小物塊從桌面上的A點以初速度v0＝3m/s出發(fā)經(jīng)過桌邊的B點拋出而落到地面上的D點。已知A、B兩點相距0.5m，桌面離地面的高度為1.25m，落點D離B的水平距離為1m，重力加速度g＝10m/s2。(1)求物塊與桌面之間的動摩擦因數(shù)。(2)為了研究物體從光滑拋物線軌道頂端無初速度下滑的運動，特制作一個與小物塊平拋軌跡完全相同的光滑軌道，并將該軌道固定在與OD曲線重合的位置，讓物塊沿該軌道無初速度下滑(經(jīng)分析，小物塊下滑過程中不會脫離軌道)。a．求小物塊即將落地時的水平分速度；b．試論證小物塊沿軌道無初速度下滑到底端的時間大于從B點做自由落體運動的落地時間。[答案](1)0.5(2)a.eq\f(10,29)eq\r(29)m/sb．見解析[解析]本題考查平拋運動與拋物線軌道的結(jié)合。(1)物塊做平拋運動，滿足x＝vBt，h＝eq\f(1,2)gt2，解得vB＝2m/s，設(shè)物塊從A到B的加速度為a，由運動學公式有eq\f(v\o\al(2,B)－v\o\al(2,0),2a)＝s，由牛頓第二定律有a＝－μg，解得μ＝0.5。(2)a.若物塊做平拋運動，設(shè)其到達地面時的速度方向與水平方向的夾角為θ，位移方向與水平方向的夾角為α，tanα＝eq\f(h,x)，由平拋運動規(guī)律可知tanθ＝2tanα，則tanθ＝eq\f(vy,vB)＝eq\f(\r(2gh),vB)＝2.5，可知cosθ＝eq\f(2,\r(29))；物塊沿拋物線軌道下滑，由動能定理可知，物塊到達底端的速度大小滿足mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,D)，解得vD＝5m/s，則物塊即將落地時的水平分速度vDx＝vDcosθ＝5×eq\f(2,\r(29))m/s＝eq\f(10,29)eq\r(29)m/s。b．小物塊做自由落體運動時，豎直方向的加速度為g；沿拋物線軌道下滑時，豎直方向受重力和軌道的支持力沿豎直向上的分力，則豎直方向的加速度小于g，根據(jù)h＝eq\f(1,2)at2可知，小物塊沿軌道無初速度下滑到底端的時間大于從B點做自由落體運動的落地時間。第2講拋體運動知識點1平拋運動1．定義：以一定的初速度沿水平方向拋出的物體只在重力作用下的運動。2．性質(zhì)：平拋運動是加速度為g的勻變速曲線運動，其運動軌跡是拋物線。3．平拋運動的條件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。4．研究方法：平拋運動通?？梢苑纸鉃樗椒较虻膭蛩僦本€運動和豎直方向的自由落體運動。5．基本規(guī)律：以拋出點為坐標原點，水平初速度v0方向為x軸正方向，豎直向下的方向為y軸正方向，建立如圖所示的坐標系，在該坐標系下，對任一時刻t，有：(1)位移：分位移x＝v0t；y＝eq\f(1,2)gt2合位移x合＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(v0t2＋\f(1,2)gt22)，tanφ＝eq\f(gt,2v0)φ為合位移與x軸的夾角。(2)速度：分速度vx＝v0；vy＝gt合速度v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝eq\r(v\o\al(2,0)＋gt2)，tanθ＝eq\f(gt,v0)θ為合速度v與x軸的夾角。思考：上圖中位移與水平方向夾角φ與速度與水平方向夾角θ相等嗎？請推導出它們之間關(guān)系式。[答案]不相等。θ>φ。tanθ＝2tanφ。知識點2斜拋運動1．定義：將物體以初速度v0沿斜向上方或斜向下方拋出，物體只在重力作用下的運動。2．性質(zhì)：加速度為g的勻變速曲線運動，軌跡是拋物線。3．研究方法：斜拋運動可以看作水平方向的勻速直線運動和豎直方向的勻變速直線運動的合運動。注意：斜拋運動多為斜上拋運動，可以在最高點分成兩段處理：后半段為平拋運動，前半段的逆運動可以看成相等初速度的反向平拋運動。雙基自測一、堵點疏通1．以一定的初速度水平拋出的物體的運動是平拋運動。(×)2．平拋運動的軌跡是拋物線，速度方向時刻變化，加速度方向也可能時刻變化。(×)3．無論初速度是斜向上方還是斜向下方的斜拋運動都是勻變速曲線運動。(√)4．做平拋運動的物體質(zhì)量越大，水平位移越大。(×)5．做平拋運動的物體初速度越大，落地時豎直方向的速度越大。(×)6．做平拋運動的物體初速度越大，在空中運動的時間越長。(×)7．從同一高度水平拋出的物體，不計空氣阻力，初速度大的落地速度大。(√)二、對點激活1．(多選)為了驗證平拋運動的小球在豎直方向上做自由落體運動，用如圖所示的裝置進行實驗。小錘打擊彈性金屬片后，A球水平拋出，同時B球被松開，自由下落。關(guān)于該實驗，下列說法中正確的是(BC)A．兩球的質(zhì)量應相等B．兩球應同時落地C．應改變裝置的高度，多次實驗D．實驗也能說明A球在水平方向上做勻速直線運動[解析]兩球從同一高度同時開始運動，豎直方向均做自由落體運動，落地時間一定相等，為了驗證平拋運動在豎直方向的分運動為自由落體運動，應改變高度多次實驗才能驗證猜想，故A錯誤，B、C正確；本實驗無法說明平拋運動在水平方向的運動是勻速直線運動，D錯誤。2．一個物體做平拋運動，已知重力加速度為g。根據(jù)下列已知條件，既可以確定初速度大小，又可以確定飛行時間的是(C)A．水平位移大小B．下落高度C．落地時速度大小和方向D．從拋出到落地的位移大小[解析]飛行時間不取決于水平位移，只取決于下落的高度，所以A錯誤；但初速度(水平速度)與下落高度無關(guān)，所以B錯誤；落地速度包括水平速度和豎直速度，水平速度即初速度，豎直速度與飛行時間有直接聯(lián)系，C正確；合位移取決于初速度和飛行時間兩個因素，但知合位移的大小無法確定初速度和飛行時間這兩個量，所以D錯誤。3．如圖所示，從地面上A點以初速度v0斜拋一質(zhì)量為m的小球，小球落至水平地面上的B點，不計空氣阻力。則下列說法中正確的是(B)A．若僅增加質(zhì)量m，小球?qū)⒙渲罛點左側(cè)B．若僅增大初速度v0的大小，小球?qū)⒙渲罛點右側(cè)C．若僅增加質(zhì)量m，小球在空中運動的時間將變短D．若僅增大拋射角θ，小球一定落到B點右側(cè)[解析]小球做斜拋運動，只受重力，運動情況與質(zhì)量無關(guān)，故A錯誤；小球水平方向上做勻速直線運動，vx＝v0cosθ，x＝vxt。豎直方向上做豎直上拋運動，vy＝v0sinθ，t＝eq\f(2vy,g)＝eq\f(2v0sinθ,g)，小球在空中運動的時間與質(zhì)量無關(guān)，水平位移x＝eq\f(v\o\al(2,0)sin2θ,g)，增大初速度v0的大小，小球落到B點右側(cè)，僅增大拋射角θ，水平位移不一定變大，小球不一定落到B點右側(cè)，故B正確，C，D錯誤。核心考點·重點突破HEXINKAODIANZHONGDIANTUPO考點一平拋運動規(guī)律的應用關(guān)于平拋運動必須掌握的四個物理量物理量相關(guān)分析飛行時間(t)t＝eq\r(\f(2h,g))，飛行時間取決于下落高度h，與初速度v0無關(guān)水平射程(x)x＝v0t＝v0eq\r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素無關(guān)落地速度(v)v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地時速度與x軸正方向間的夾角，有tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(\r(2gh),v0)，所以落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關(guān)速度的改變量(Δv)因為平拋運動的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎直向下，如圖所示例1發(fā)球機從同一高度向正前方依次水平射出兩個速度不同的乒乓球(忽略空氣的影響)。速度較大的球越過球網(wǎng)，速度較小的球沒有越過球網(wǎng)；其原因是(C)A．速度較小的球下降相同距離所用的時間較多B．速度較小的球在下降相同距離時在豎直方向上的速度較大C．速度較大的球通過同一水平距離所用的時間較少D．速度較大的球在相同時間間隔內(nèi)下降的距離較大[解析]發(fā)球機從同一高度水平射出兩個速度不同的乒乓球，根據(jù)平拋運動規(guī)律，豎直方向上，h＝eq\f(1,2)gt2，可知兩球下落相同距離h所用的時間是相同的，A錯誤；由veq\o\al(2,y)＝2gh可知，兩球下落相同距離h時在豎直方向上的速度vy相同，B錯誤；由平拋運動規(guī)律，水平方向上，x＝vt，可知速度較大的球通過同一水平距離所用的時間t較少，C正確；由于做平拋運動的球在豎直方向的運動為自由落體運動，兩球在相同時間間隔內(nèi)下降的距離相同，D錯誤?！沧兪接柧?〕如圖所示，x軸在水平地面內(nèi)，y軸沿豎直方向。圖中畫出了y軸上沿x軸正方向拋出的三個小球a，b，c的運動軌跡，其中b和c從同一點拋出，不計空氣阻力。則(C)A．a(chǎn)的飛行時間比b長B．b的飛行時間比c長C．a(chǎn)的初速度最大D．c的末速度比b大[解析]由題圖知b，c的高度相同，大于a的高度，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2，得t＝eq\r(\f(2h,g))，知b，c的飛行時間相同，a的飛行時間小于b，c的時間，故A，B錯誤；b，c的高度相同，飛行的時間相同，而b的水平位移大于c的水平位移，根據(jù)x＝v0t知，vb>vc，對于a，b，a的高度小，則飛行的時間短，而a的水平位移大，則va>vb，可知初速度最大的是a，故C正確；b，c的高度相同，落地時豎直方向的速度大小相等，而水平方向b的速度大于c的速度，則b的末速度大于c的末速度，故D錯誤?？键c二平拋運動問題的常見解法平拋運動是較為復雜的勻變速曲線運動，求解此類問題的基本方法是：將平拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。再結(jié)合使用推論法，全程應用動能定理等。(一)分解速度求解平拋運動問題對于一個做平拋運動的物體來說，若知道了某時刻的速度方向，可以從分解速度的角度來研究：tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)(θ為t時刻速度與水平方向間夾角)，從而得出初速度v0、時間t、夾角θ之間的關(guān)系，進而求解具體問題。例2如圖所示，某同學對著墻壁練習打乒乓球，某次球與墻壁上A點碰撞后水平彈離，恰好垂直落在球拍上的B點，已知球拍與水平方向夾角θ＝60°，AB兩點高度差h＝1m，忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，則球剛要落到球拍上時速度大小為(C)A．2eq\r(5)m/s B．2eq\r(15)m/sC．4eq\r(5)m/s D．eq\f(4,3)eq\r(15)m/s[解析]根據(jù)veq\o\al(2,y)＝2gh豎直分速度：vy＝eq\r(2gh)＝eq\r(20)m/s，剛要落到球拍上時速度大小v＝eq\f(vy,cos60°)＝4eq\r(5)m/s，C正確，A、B、D錯誤。(二)分解位移求解平拋運動問題對于一個做平拋運動的物體來講，若知道某一時刻物體的位移方向，則可將位移分解到水平方向和豎直方向，然后利用tanα＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)(α為t時刻位移與水平方向間夾角)，確定初速度v0、運動時間t和夾角α間的大小關(guān)系。例3(多選)如圖所示，斜面傾角為θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正對斜面頂點B水平拋出，小球到達斜面經(jīng)過的時間為t，重力加速度為g，空氣阻力不計，則下列說法中正確的是(AB)A．若小球以最小位移到達斜面，則t＝eq\f(2v0,gtanθ)B．若小球垂直擊中斜面，則t＝eq\f(v0,gtanθ)C．若小球能擊中斜面中點，則t＝eq\f(2v0,gtanθ)D．無論小球到達斜面何處，運動時間均為t＝eq\f(2v0tanθ,g)[解析]小球以最小位移到達斜面時即位移與斜面垂直，位移與豎直方向的夾角為θ，則tanθ＝eq\f(x,y)＝eq\f(2v0,gt)，即t＝eq\f(2v0,gtanθ)，A正確，D錯誤；小球垂直擊中斜面時，速度與豎直方向的夾角為θ，則tanθ＝eq\f(v0,gt)，即t＝eq\f(v0,gtanθ)，B正確；小球擊中斜面中點時，令斜面長為2L，則水平射程為Lcosθ＝v0t，下落高度為Lsinθ＝eq\f(1,2)gt2，聯(lián)立兩式得t＝eq\f(2v0tanθ,g)，C錯誤。(三)利用推論法求解平拋運動問題平拋運動的兩個重要推論(1)做平拋運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖甲中A點和B點所示。其推導過程為tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt2,v0t)＝eq\f(y,\f(x,2))。(2)做平拋運動的物體在任一時刻任一位置處，設(shè)其速度方向與水平方向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為α，則tanθ＝2tanα。如圖乙所示。其推導過程為tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt·t,v0·t)＝eq\f(2y,x)＝2tanα。例4(2021·沈陽模擬)如圖所示，斜面固定在水平面上，兩個小球分別從斜面底端O點正上方A、B兩點向右水平拋出，B為AO連線的中點，最后兩球都垂直落在斜面上，A、B兩球擊中斜面的位置到O點的距離之比為(B)A．eq\r(2)︰1 B．2︰1C．4︰eq\r(2) D．4︰1[解析]設(shè)落到斜面上的位置分別為P、Q，由題意知，落到斜面上時兩小球的速度與水平面夾角相等，根據(jù)平拋運動的推論知，位移AP、BQ與水平面夾角也相等，則△POA與△QOB相似，對應邊成比例，B正確?？键c三平拋運動與落點界面的綜合問題做平拋運動的物體經(jīng)常落在一些特定界面上，常見的類型有：豎直面、斜面、圓弧面、拋物面、有界區(qū)域、障礙物等，解決這類問題的關(guān)鍵是：把特定界面的幾何關(guān)系或函數(shù)方程與平拋運動規(guī)律結(jié)合。(一)落在圓弧面上的平拋運動如圖所示，由半徑和幾何關(guān)系制約時間t：h＝eq\f(1,2)gt2R±eq\r(R2－h(huán)2)＝v0t，聯(lián)立兩方程可求t。例5(2020·江蘇蘇州期中)(多選)如圖所示，固定的半圓形豎直軌道，AB為水平直徑，O為圓心，質(zhì)量不等的甲、乙兩個小球同時從A點水平拋出，速度分別為v1、v2，經(jīng)時間t1、t2分別落在等高的C、D兩點，0C、OD與豎直方向的夾角均為37°(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，則(CD)A．v1︰v2＝1︰3B．t1︰t2＝1︰4C．甲、乙兩球的運動都是勻變速運動D．甲、乙兩球從拋出到下落至軌道上的速度變化量相同[解析]本題考查平拋運動與圓弧的結(jié)合。根據(jù)t＝eq\r(\f(2h,g))，由于甲、乙兩個小球落到圓弧的等高處，故兩小球落到軌道上的時間相等，B錯誤；根據(jù)幾何關(guān)系可知，甲球的水平位移x1＝R－Rsin37°＝0.4R，乙球的水平位移x2＝R＋Rsin37°＝1.6R，根據(jù)x＝v0t可知，v1︰v2＝x1︰x2＝1︰4，A錯誤；平拋運動過程中，甲、乙兩球在水平方向均做勻速運動，豎直方向均做自由落體運動，加速度恒為g，C正確；由g＝eq\f(Δv,Δt)，可得Δv＝gΔt，甲、乙兩球下落時間相同，故甲、乙兩球從拋出到下落至軌道上的速度變化量也相同，D正確。方法技巧與圓有關(guān)的平拋運動模型的求解處理與圓有關(guān)的平拋運動問題時，要牢記求解平拋運動的三個分解思路，即分解速度、分解位移、分解加速度。同時結(jié)合圓的幾何特點以及三角形的邊角關(guān)系列式求解。常見的兩種模型：(1)如圖甲所示，小球剛好沿圓的切線方向進入圓軌道，此時半徑垂直于速度方向，圓心角α與速度的偏向角相等。(2)如圖乙所示，小球恰好從圓上Q點沿切線飛過，此時半徑OQ垂直于速度方向，圓心角θ與速度的偏向角相等。(二)落在拋物面上的平拋運動例6(2020·江西師大附中月考)(多選)如圖所示，一個質(zhì)量為0.4kg的小物塊從高h＝0.05m的坡面頂端由靜止釋放，滑到水平臺上，滑行一段距離后，從邊緣O點水平飛出，擊中平臺右下側(cè)擋板上的P點?，F(xiàn)以O(shè)為原點在豎直面內(nèi)建立如圖所示的平面直角坐標系，擋板的形狀滿足方程y＝x2－6(單位：m)，不計一切摩擦和空氣阻力，g取10m/s2，則下列說法正確的是(BC)A．小物塊從O點運動到P點的水平位移為2mB．小物塊從O點運動到P點的時間為1sC．小物塊剛到P點時速度方向與水平方向夾角的正切值等于10D．小物塊剛到P點時速度的大小為10m/s[解析]對小物塊，從釋放至到達O點的過程中，由動能定理得mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－0，代入數(shù)據(jù)解得v0＝eq\r(2gh)＝eq\r(2×10×0.05)m/s＝1m/s。小物塊從O點水平拋出做平拋運動，豎直方向y＝－eq\f(1,2)gt2，水平方向x＝v0t，解得y＝－5x2；又有y＝x2－6，聯(lián)立解得x＝1m，y＝－5m，根據(jù)y＝－eq\f(1,2)gt2，解得t＝eq\r(－\f(2y,g))＝eq\r(\f(2×5,10))s＝1s，故A錯誤，B正確；豎直方向的速度大小vy＝gt＝10×1m/s＝10m/s，設(shè)剛到P點時速度方向與水平方向夾角為θ，則有tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(10,1)＝10，故C正確；根據(jù)速度的合成法則，小物塊剛到P點時速度的大小為v＝eq\r(v\o\al(2,y)＋v\o\al(2,0))＝eq\r(102＋12)m/s＝eq\r(101)m/s，故D錯誤。(三)落在有界區(qū)域的平拋運動在乒乓球、排球、網(wǎng)球等運動中，都有中間網(wǎng)及邊界問題，要求球既能過網(wǎng)，又不出邊界，球速往往要有一定的范圍限制，在這類問題中，確定臨界狀態(tài)，畫好臨界軌跡，是解決問題的關(guān)鍵點。例7(2021·許昌模擬)如圖所示是排球場的場地示意圖，設(shè)排球場的總長為L，前場區(qū)的長度為eq\f(L,6)，網(wǎng)高為h，在排球比賽中，對運動員的彈跳水平要求很高。如果運動員的彈跳水平不高，運動員的擊球點的高度小于某個臨界值H，那么無論水平擊球的速度多大，排球不是觸網(wǎng)就是越界。設(shè)某一次運動員站在前場區(qū)和后場區(qū)的交界處，正對網(wǎng)前豎直跳起垂直網(wǎng)將排球水平擊出，關(guān)于該種情況下臨界值H的大小，下列關(guān)系式正確的是(C)A．H＝eq\f(49,48)H B．H＝eq\f(16L＋h,15L)hC．H＝eq\f(16,15)h D．H＝eq\f(L＋h,L)h[解析]將排球水平擊出后排球做平拋運動，排球剛好觸網(wǎng)到達底線時，則有eq\f(L,6)＝v0eq\r(\f(2H－h(huán),g))，eq\f(L,6)＋eq\f(L,2)＝v0eq\r(\f(2H,g))，聯(lián)立解得H＝eq\f(16,15)h，故選項C正確。名師講壇·素養(yǎng)提升MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG類平拋運動1．受力特點物體所受的合外力為恒力，且與初速度的方向垂直。2．運動特點在初速度v0方向上做勻速直線運動，在合外力方向上做初速度為零的勻加速直線運動，加速度a＝eq\f(F合,m)。3．求解方法(1)常規(guī)分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的勻加速直線運動。兩分運動彼此獨立，互不影響，且與合運動具有等時性。(2)特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，將加速度a分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y方向列方程求解。例8(2021·廣東實驗中學模擬)如圖所示的光滑斜面長為L，寬為s，傾角為θ＝30°，一小球(可視為質(zhì)點)沿斜面右上方頂點A處水平射入，恰好從底端B點離開斜面，重力加速度為g。則下列說法正確的是(D)A．小球運動的加速度為gB．小球由A運動到B所用的時間為eq\r(\f(2L,g))C．小球由A點水平射入時初速度v0的大小為seq\r(\f(g,2L))D．小球離開B點時速度的大小為eq\r(\f(g,4L)s2＋4L2)[解析]本題考查類平拋運動問題。初速度方向與合力方向垂直，且合力大小恒定，則物體做勻變速曲線運動，根據(jù)牛頓第二定律得，物體的加速度為a＝eq\f(mgsinθ,m)＝gsinθ＝eq\f(1,2)g，故A錯誤；根據(jù)L＝eq\f(1,2)at2，有t＝eq\r(\f(2L,a))＝eq\r(\f(2L,gsinθ))＝eq\r(\f(4L,g))，故B錯誤；在B點的平行斜面向下方向的分速度為vBy＝at＝eq\f(1,2)g×eq\r(\f(4L,g))＝eq\r(gL)；根據(jù)s＝v0t，得v0＝eq\f(s,t)＝seq\r(\f(g,4L))；故物塊離開B點時速度的大小為v＝eq\r(v\o\al(2,0)＋v\o\al(2,By))＝eq\r(\f(g,4L)s2＋4L2)，故C錯誤，D正確。2年高考·1年模擬2NIANGAOKAO1NIANMONI1．(2020·江蘇單科，8)(多選)如圖所示，小球A、B分別從2l和l的高度水平拋出后落地，上述過程中A、B的水平位移分別為l和2l.忽略空氣阻力，則(AD)A．A和B的位移大小相等B．A的運動時間是B的2倍C．A的初速度是B的eq\f(1,2)D．A的末速度比B的大[解析]位移為初位置到末位置的有向線段，如題圖所示可得sA＝eq\r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2l))2)＝eq\r(5)l，sB＝eq\r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2l))2)＝eq\r(5)l，A和B的位移大小相等，A正確；平拋運動運動的時間由高度決定，即tA＝eq\r(\f(2×2l,g))＝eq\r(2)×eq\r(\f(2l,g))，tB＝eq\r(\f(2×l,g))＝eq\r(\f(2l,g))，則A的運動時間是B的eq\r(2)倍，B錯誤；平拋運動，在水平方向上做勻速直線運動，則vxA＝eq\f(l,tA)＝eq\f(\r(gl),2)，vxB＝eq\f(2l,tB)＝eq\r(2gl)，則A的初速度是B的eq\f(1,2\r(2))，C錯誤；小球A、B在豎直方向上的速度分別為vyA＝2eq\r(gl)，vyB＝eq\r(2gl)，由v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))可得vA＝eq\f(\r(17gl),2)，vB＝2eq\r(gl)＝eq\f(\r(16gl),2)即vA>vB，D正確。故選AD。2．(2019·全國卷Ⅱ，19)(多選)如圖(a)，在跳臺滑雪比賽中，運動員在空中滑翔時身體的姿態(tài)會影響其下落的速度和滑翔的距離。某運動員先后兩次從同一跳臺起跳，每次都從離開跳臺開始計時，用v表示他在豎直方向的速度，其v－t圖像如圖(b)所示，t1和t2是他落在傾斜雪道上的時刻。則(BD) 圖(a) 圖(b)A．第二次滑翔過程中在豎直方向上的位移比第一次的小B．第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大C．第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的大D．豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上所受阻力比第一次的大[解析]A錯：v－t圖像中圖線與t軸包圍的面積表示位移大小，第二次滑翔過程中所圍面積大，表示在豎直方向上位移大。B對：比較身體姿態(tài)對下落速率的影響，應控制兩次水平速度相同，運動員在水平方向上的運動可看成勻速直線運動，由x＝vt知運動時間長的水平位移大。C錯：從起跳到落到雪道上，第一次速度變化大，時間短，由a＝eq\f(Δv,Δt)，可知第二次滑翔過程中在豎直方向上平均加速度小于第一次。D對：v－t圖像的斜率表示加速度，速率為v1時，第二次加速度小，設(shè)阻力為f，由mg－f＝ma，可得第二次受到的阻力大。3．(2020·北京石景山期末)如圖所示，某同學練習定點投籃，其中有兩次籃球垂直撞在豎直籃板上，籃球的軌跡分別如圖中曲線1、2所示。若兩次拋出籃球的速度v1和v2的水平分量分別為v1x和v2x，豎直分量分別為v1y和v2y，不計空氣阻力，下列關(guān)系正確的是(A)A．v1x<v2x，v1y>v2y B．v1x>v2x，v1y<v2yC．v1x<v2x，v1y<v2y D．v1x>v2x，v1y>v2y[解析]將籃球的運動反向處理，即平拋運動，由圖可知，第二次運動過程中的高度較小，所以運動時間較短，水平射程相等，故第二次水平分速度較大，即v1x<v2x。在豎直方向上做自由落體運動，由公式veq\o\al(2,y)＝2gh可知，第二次運動過程中的高度較小，所以第二次豎直分速度較小，即v1y>v2y。故選A。4．(2020·浙南名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考)如圖所示，a、b兩小球分別從半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度v0同時水平拋出，已知半圓軌道的半徑與斜面豎直高度相等，斜面底邊長是其豎直高度的2倍，若小球a能落到半圓軌道上，小球b能落到斜面上，則(C)A．b球一定先落在斜面上B．a(chǎn)球可能垂直落在半圓軌道上C．a(chǎn)、b兩球可能同時落在半圓軌道和斜面上D．a(chǎn)、b兩球不可能同時落在半圓軌道和斜面上[解析]將半圓軌道和斜面軌道重合在一起，如圖所示，交點為A，取適當初速度，小球做平拋運動落在A點，則兩小球運動的時間相等，即同時落在半圓軌道和斜面上。若選取不同的初速度，由圖可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在半圓軌道上，故C正確，A、D錯誤。若a球垂直落在半圓軌道上，根據(jù)幾何關(guān)系知，速度方向與水平方向的夾角是位移與水平方向的夾角的2倍，而在平拋運動中，某時刻速度方向與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，兩者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圓軌道上，故B錯誤。故選C項。第2講拋體運動知識點1平拋運動1．定義：以一定的初速度沿水平方向拋出的物體只在重力作用下的運動。2．性質(zhì)：平拋運動是加速度為g的勻變速曲線運動，其運動軌跡是拋物線。3．平拋運動的條件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。4．研究方法：平拋運動通?？梢苑纸鉃樗椒较虻膭蛩僦本€運動和豎直方向的自由落體運動。5．基本規(guī)律：以拋出點為坐標原點，水平初速度v0方向為x軸正方向，豎直向下的方向為y軸正方向，建立如圖所示的坐標系，在該坐標系下，對任一時刻t，有：(1)位移：分位移x＝v0t；y＝eq\f(1,2)gt2合位移x合＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(v0t2＋\f(1,2)gt22)，tanφ＝eq\f(gt,2v0)φ為合位移與x軸的夾角。(2)速度：分速度vx＝v0；vy＝gt合速度v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝eq\r(v\o\al(2,0)＋gt2)，tanθ＝eq\f(gt,v0)θ為合速度v與x軸的夾角。思考：上圖中位移與水平方向夾角φ與速度與水平方向夾角θ相等嗎？請推導出它們之間關(guān)系式。[答案]不相等。θ>φ。tanθ＝2tanφ。知識點2斜拋運動1．定義：將物體以初速度v0沿斜向上方或斜向下方拋出，物體只在重力作用下的運動。2．性質(zhì)：加速度為g的勻變速曲線運動，軌跡是拋物線。3．研究方法：斜拋運動可以看作水平方向的勻速直線運動和豎直方向的勻變速直線運動的合運動。注意：斜拋運動多為斜上拋運動，可以在最高點分成兩段處理：后半段為平拋運動，前半段的逆運動可以看成相等初速度的反向平拋運動。雙基自測一、堵點疏通1．以一定的初速度水平拋出的物體的運動是平拋運動。(×)2．平拋運動的軌跡是拋物線，速度方向時刻變化，加速度方向也可能時刻變化。(×)3．無論初速度是斜向上方還是斜向下方的斜拋運動都是勻變速曲線運動。(√)4．做平拋運動的物體質(zhì)量越大，水平位移越大。(×)5．做平拋運動的物體初速度越大，落地時豎直方向的速度越大。(×)6．做平拋運動的物體初速度越大，在空中運動的時間越長。(×)7．從同一高度水平拋出的物體，不計空氣阻力，初速度大的落地速度大。(√)二、對點激活1．(多選)為了驗證平拋運動的小球在豎直方向上做自由落體運動，用如圖所示的裝置進行實驗。小錘打擊彈性金屬片后，A球水平拋出，同時B球被松開，自由下落。關(guān)于該實驗，下列說法中正確的是(BC)A．兩球的質(zhì)量應相等B．兩球應同時落地C．應改變裝置的高度，多次實驗D．實驗也能說明A球在水平方向上做勻速直線運動[解析]兩球從同一高度同時開始運動，豎直方向均做自由落體運動，落地時間一定相等，為了驗證平拋運動在豎直方向的分運動為自由落體運動，應改變高度多次實驗才能驗證猜想，故A錯誤，B、C正確；本實驗無法說明平拋運動在水平方向的運動是勻速直線運動，D錯誤。2．一個物體做平拋運動，已知重力加速度為g。根據(jù)下列已知條件，既可以確定初速度大小，又可以確定飛行時間的是(C)A．水平位移大小B．下落高度C．落地時速度大小和方向D．從拋出到落地的位移大小[解析]飛行時間不取決于水平位移，只取決于下落的高度，所以A錯誤；但初速度(水平速度)與下落高度無關(guān)，所以B錯誤；落地速度包括水平速度和豎直速度，水平速度即初速度，豎直速度與飛行時間有直接聯(lián)系，C正確；合位移取決于初速度和飛行時間兩個因素，但知合位移的大小無法確定初速度和飛行時間這兩個量，所以D錯誤。3．如圖所示，從地面上A點以初速度v0斜拋一質(zhì)量為m的小球，小球落至水平地面上的B點，不計空氣阻力。則下列說法中正確的是(B)A．若僅增加質(zhì)量m，小球?qū)⒙渲罛點左側(cè)B．若僅增大初速度v0的大小，小球?qū)⒙渲罛點右側(cè)C．若僅增加質(zhì)量m，小球在空中運動的時間將變短D．若僅增大拋射角θ，小球一定落到B點右側(cè)[解析]小球做斜拋運動，只受重力，運動情況與質(zhì)量無關(guān)，故A錯誤；小球水平方向上做勻速直線運動，vx＝v0cosθ，x＝vxt。豎直方向上做豎直上拋運動，vy＝v0sinθ，t＝eq\f(2vy,g)＝eq\f(2v0sinθ,g)，小球在空中運動的時間與質(zhì)量無關(guān)，水平位移x＝eq\f(v\o\al(2,0)sin2θ,g)，增大初速度v0的大小，小球落到B點右側(cè)，僅增大拋射角θ，水平位移不一定變大，小球不一定落到B點右側(cè)，故B正確，C，D錯誤。核心考點·重點突破HEXINKAODIANZHONGDIANTUPO考點一平拋運動規(guī)律的應用關(guān)于平拋運動必須掌握的四個物理量物理量相關(guān)分析飛行時間(t)t＝eq\r(\f(2h,g))，飛行時間取決于下落高度h，與初速度v0無關(guān)水平射程(x)x＝v0t＝v0eq\r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素無關(guān)落地速度(v)v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地時速度與x軸正方向間的夾角，有tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(\r(2gh),v0)，所以落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關(guān)速度的改變量(Δv)因為平拋運動的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎直向下，如圖所示例1發(fā)球機從同一高度向正前方依次水平射出兩個速度不同的乒乓球(忽略空氣的影響)。速度較大的球越過球網(wǎng)，速度較小的球沒有越過球網(wǎng)；其原因是(C)A．速度較小的球下降相同距離所用的時間較多B．速度較小的球在下降相同距離時在豎直方向上的速度較大C．速度較大的球通過同一水平距離所用的時間較少D．速度較大的球在相同時間間隔內(nèi)下降的距離較大[解析]發(fā)球機從同一高度水平射出兩個速度不同的乒乓球，根據(jù)平拋運動規(guī)律，豎直方向上，h＝eq\f(1,2)gt2，可知兩球下落相同距離h所用的時間是相同的，A錯誤；由veq\o\al(2,y)＝2gh可知，兩球下落相同距離h時在豎直方向上的速度vy相同，B錯誤；由平拋運動規(guī)律，水平方向上，x＝vt，可知速度較大的球通過同一水平距離所用的時間t較少，C正確；由于做平拋運動的球在豎直方向的運動為自由落體運動，兩球在相同時間間隔內(nèi)下降的距離相同，D錯誤?！沧兪接柧?〕如圖所示，x軸在水平地面內(nèi)，y軸沿豎直方向。圖中畫出了y軸上沿x軸正方向拋出的三個小球a，b，c的運動軌跡，其中b和c從同一點拋出，不計空氣阻力。則(C)A．a(chǎn)的飛行時間比b長B．b的飛行時間比c長C．a(chǎn)的初速度最大D．c的末速度比b大[解析]由題圖知b，c的高度相同，大于a的高度，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2，得t＝eq\r(\f(2h,g))，知b，c的飛行時間相同，a的飛行時間小于b，c的時間，故A，B錯誤；b，c的高度相同，飛行的時間相同，而b的水平位移大于c的水平位移，根據(jù)x＝v0t知，vb>vc，對于a，b，a的高度小，則飛行的時間短，而a的水平位移大，則va>vb，可知初速度最大的是a，故C正確；b，c的高度相同，落地時豎直方向的速度大小相等，而水平方向b的速度大于c的速度，則b的末速度大于c的末速度，故D錯誤。考點二平拋運動問題的常見解法平拋運動是較為復雜的勻變速曲線運動，求解此類問題的基本方法是：將平拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。再結(jié)合使用推論法，全程應用動能定理等。(一)分解速度求解平拋運動問題對于一個做平拋運動的物體來說，若知道了某時刻的速度方向，可以從分解速度的角度來研究：tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)(θ為t時刻速度與水平方向間夾角)，從而得出初速度v0、時間t、夾角θ之間的關(guān)系，進而求解具體問題。例2如圖所示，某同學對著墻壁練習打乒乓球，某次球與墻壁上A點碰撞后水平彈離，恰好垂直落在球拍上的B點，已知球拍與水平方向夾角θ＝60°，AB兩點高度差h＝1m，忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，則球剛要落到球拍上時速度大小為(C)A．2eq\r(5)m/s B．2eq\r(15)m/sC．4eq\r(5)m/s D．eq\f(4,3)eq\r(15)m/s[解析]根據(jù)veq\o\al(2,y)＝2gh豎直分速度：vy＝eq\r(2gh)＝eq\r(20)m/s，剛要落到球拍上時速度大小v＝eq\f(vy,cos60°)＝4eq\r(5)m/s，C正確，A、B、D錯誤。(二)分解位移求解平拋運動問題對于一個做平拋運動的物體來講，若知道某一時刻物體的位移方向，則可將位移分解到水平方向和豎直方向，然后利用tanα＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)(α為t時刻位移與水平方向間夾角)，確定初速度v0、運動時間t和夾角α間的大小關(guān)系。例3(多選)如圖所示，斜面傾角為θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正對斜面頂點B水平拋出，小球到達斜面經(jīng)過的時間為t，重力加速度為g，空氣阻力不計，則下列說法中正確的是(AB)A．若小球以最小位移到達斜面，則t＝eq\f(2v0,gtanθ)B．若小球垂直擊中斜面，則t＝eq\f(v0,gtanθ)C．若小球能擊中斜面中點，則t＝eq\f(2v0,gtanθ)D．無論小球到達斜面何處，運動時間均為t＝eq\f(2v0tanθ,g)[解析]小球以最小位移到達斜面時即位移與斜面垂直，位移與豎直方向的夾角為θ，則tanθ＝eq\f(x,y)＝eq\f(2v0,gt)，即t＝eq\f(2v0,gtanθ)，A正確，D錯誤；小球垂直擊中斜面時，速度與豎直方向的夾角為θ，則tanθ＝eq\f(v0,gt)，即t＝eq\f(v0,gtanθ)，B正確；小球擊中斜面中點時，令斜面長為2L，則水平射程為Lcosθ＝v0t，下落高度為Lsinθ＝eq\f(1,2)gt2，聯(lián)立兩式得t＝eq\f(2v0tanθ,g)，C錯誤。(三)利用推論法求解平拋運動問題平拋運動的兩個重要推論(1)做平拋運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖甲中A點和B點所示。其推導過程為tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt2,v0t)＝eq\f(y,\f(x,2))。(2)做平拋運動的物體在任一時刻任一位置處，設(shè)其速度方向與水平方向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為α，則tanθ＝2tanα。如圖乙所示。其推導過程為tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt·t,v0·t)＝eq\f(2y,x)＝2tanα。例4(2021·沈陽模擬)如圖所示，斜面固定在水平面上，兩個小球分別從斜面底端O點正上方A、B兩點向右水平拋出，B為AO連線的中點，最后兩球都垂直落在斜面上，A、B兩球擊中斜面的位置到O點的距離之比為(B)A．eq\r(2)︰1 B．2︰1C．4︰eq\r(2) D．4︰1[解析]設(shè)落到斜面上的位置分別為P、Q，由題意知，落到斜面上時兩小球的速度與水平面夾角相等，根據(jù)平拋運動的推論知，位移AP、BQ與水平面夾角也相等，則△POA與△QOB相似，對應邊成比例，B正確。考點三平拋運動與落點界面的綜合問題做平拋運動的物體經(jīng)常落在一些特定界面上，常見的類型有：豎直面、斜面、圓弧面、拋物面、有界區(qū)域、障礙物等，解決這類問題的關(guān)鍵是：把特定界面的幾何關(guān)系或函數(shù)方程與平拋運動規(guī)律結(jié)合。(一)落在圓弧面上的平拋運動如圖所示，由半徑和幾何關(guān)系制約時間t：h＝eq\f(1,2)gt2R±eq\r(R2－h(huán)2)＝v0t，聯(lián)立兩方程可求t。例5(2020·江蘇蘇州期中)(多選)如圖所示，固定的半圓形豎直軌道，AB為水平直徑，O為圓心，質(zhì)量不等的甲、乙兩個小球同時從A點水平拋出，速度分別為v1、v2，經(jīng)時間t1、t2分別落在等高的C、D兩點，0C、OD與豎直方向的夾角均為37°(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，則(CD)A．v1︰v2＝1︰3B．t1︰t2＝1︰4C．甲、乙兩球的運動都是勻變速運動D．甲、乙兩球從拋出到下落至軌道上的速度變化量相同[解析]本題考查平拋運動與圓弧的結(jié)合。根據(jù)t＝eq\r(\f(2h,g))，由于甲、乙兩個小球落到圓弧的等高處，故兩小球落到軌道上的時間相等，B錯誤；根據(jù)幾何關(guān)系可知，甲球的水平位移x1＝R－Rsin37°＝0.4R，乙球的水平位移x2＝R＋Rsin37°＝1.6R，根據(jù)x＝v0t可知，v1︰v2＝x1︰x2＝1︰4，A錯誤；平拋運動過程中，甲、乙兩球在水平方向均做勻速運動，豎直方向均做自由落體運動，加速度恒為g，C正確；由g＝eq\f(Δv,Δt)，可得Δv＝gΔt，甲、乙兩球下落時間相同，故甲、乙兩球從拋出到下落至軌道上的速度變化量也相同，D正確。方法技巧與圓有關(guān)的平拋運動模型的求解處理與圓有關(guān)的平拋運動問題時，要牢記求解平拋運動的三個分解思路，即分解速度、分解位移、分解加速度。同時結(jié)合圓的幾何特點以及三角形的邊角關(guān)系列式求解。常見的兩種模型：(1)如圖甲所示，小球剛好沿圓的切線方向進入圓軌道，此時半徑垂直于速度方向，圓心角α與速度的偏向角相等。(2)如圖乙所示，小球恰好從圓上Q點沿切線飛過，此時半徑OQ垂直于速度方向，圓心角θ與速度的偏向角相等。(二)落在拋物面上的平拋運動例6(2020·江西師大附中月考)(多選)如圖所示，一個質(zhì)量為0.4kg的小物塊從高h＝0.05m的坡面頂端由靜止釋放，滑到水平臺上，滑行一段距離后，從邊緣O點水平飛出，擊中平臺右下側(cè)擋板上的P點?，F(xiàn)以O(shè)為原點在豎直面內(nèi)建立如圖所示的平面直角坐標系，擋板的形狀滿足方程y＝x2－6(單位：m)，不計一切摩擦和空氣阻力，g取10m/s2，則下列說法正確的是(BC)A．小物塊從O點運動到P點的水平位移為2mB．小物塊從O點運動到P點的時間為1sC．小物塊剛到P點時速度方向與水平方向夾角的正切值等于10D．小物塊剛到P點時速度的大小為10m/s[解析]對小物塊，從釋放至到達O點的過程中，由動能定理得mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－0，代入數(shù)據(jù)解得v0＝eq\r(2gh)＝eq\r(2×10×0.05)m/s＝1m/s。小物塊從O點水平拋出做平拋運動，豎直方向y＝－eq\f(1,2)gt2，水平方向x＝v0t，解得y＝－5x2；又有y＝x2－6，聯(lián)立解得x＝1m，y＝－5m，根據(jù)y＝－eq\f(1,2)gt2，解得t＝eq\r(－\f(2y,g))＝eq\r(\f(2×5,10))s＝1s，故A錯誤，B正確；豎直方向的速度大小vy＝gt＝10×1m/s＝10m/s，設(shè)剛到P點時速度方向與水平方向夾角為θ，則有tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(10,1)＝10，故C正確；根據(jù)速度的合成法則，小物塊剛到P點時速度的大小為v＝eq\r(v\o\al(2,y)＋v\o\al(2,0))＝eq\r(102＋12)m/s＝eq\r(101)m/s，故D錯誤。(三)落在有界區(qū)域的平拋運動在乒乓球、排球、網(wǎng)球等運動中，都有中間網(wǎng)及邊界問題，要求球既能過網(wǎng)，又不出邊界，球速往往要有一定的范圍限制，在這類問題中，確定臨界狀態(tài)，畫好臨界軌跡，是解決問題的關(guān)鍵點。例7(2021·許昌模擬)如圖所示是排球場的場地示意圖，設(shè)排球場的總長為L，前場區(qū)的長度為eq\f(L,6)，網(wǎng)高為h，在排球比賽中，對運動員的彈跳水平要求很高。如果運動員的彈跳水平不高，運動員的擊球點的高度小于某個臨界值H，那么無論水平擊球的速度多大，排球不是觸網(wǎng)就是越界。設(shè)某一次運動員站在前場區(qū)和后場區(qū)的交界處，正對網(wǎng)前豎直跳起垂直網(wǎng)將排球水平擊出，關(guān)于該種情況下臨界值H的大小，下列關(guān)系式正確的是(C)A．H＝eq\f(49,48)H B．H＝eq\f(16L＋h,15L)hC．H＝eq\f(16,15)h D．H＝eq\f(L＋h,L)h[解析]將排球水平擊出后排球做平拋運動，排球剛好觸網(wǎng)到達底線時，則有eq\f(L,6)＝v0eq\r(\f(2H－h(huán),g))，eq\f(L,6)＋eq\f(L,2)＝v0eq\r(\f(2H,g))，聯(lián)立解得H＝eq\f(16,15)h，故選項C正確。名師講壇·素養(yǎng)提升MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG類平拋運動1．受力特點物體所受的合外力為恒力，且與初速度的方向垂直。2．運動特點在初速度v0方向上做勻速直線運動，在合外力方向上做初速度為零的勻加速直線運動，加速度a＝eq\f(F合,m)。3．求解方法(1)常規(guī)分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的勻加速直線運動。兩分運動彼此獨立，互不影響，且與合運動具有等時性。(2)特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，將加速度a分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y方向列方程求解。例8(2021·廣東實驗中學模擬)如圖所示的光滑斜面長為L，寬為s，傾角為θ＝30°，一小球(可視為質(zhì)點)沿斜面右上方頂點A處水平射入，恰好從底端B點離開斜面，重力加速度為g。則下列說法正確的是(D)A．小球運動的加速度為gB．小球由A運動到B所用的時間為eq\r(\f(2L,g))C．小球由A點水平射入時初速度v0的大小為seq\r(\f(g,2L))D．小球離開B點時速度的大小為eq\r(\f(g,4L)s2＋4L2)[解析]本題考查類平拋運動問題。初速度方向與合力方向垂直，且合力大小恒定，則物體做勻變速曲線運動，根據(jù)牛頓第二定律得，物體的加速度為a＝eq\f(mgsinθ,m)＝gsinθ＝eq\f(1,2)g，故A錯誤；根據(jù)L＝eq\f(1,2)at2，有t＝eq\r(\f(2L,a))＝eq\r(\f(2L,gsinθ))＝eq\r(\f(4L,g))，故B錯誤；在B點的平行斜面向下方向的分速度為vBy＝at＝eq\f(1,2)g×eq\r(\f(4L,g))＝eq\r(gL)；根據(jù)s＝v0t，得v0＝eq\f(s,t)＝seq\r(\f(g,4L))；故物塊離開B點時速度的大小為v＝eq\r(v\o\al(2,0)＋v\o\al(2,By))＝eq\r(\f(g,4L)s2＋4L2)，故C錯誤，D正確。2年高考·1年模擬2NIANGAOKAO1NIANMONI1．(2020·江蘇單科，8)(多選)如圖所示，小球A、B分別從2l和l的高度水平拋出后落地，上述過程中A、B的水平位移分別為l和2l.忽略空氣阻力，則(AD)A．A和B的位移大小相等B．A的運動時間是B的2倍C．A的初速度是B的eq\f(1,2)D．A的末速度比B的大[解析]位移為初位置到末位置的有向線段，如題圖所示可得sA＝eq\r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2l))2)＝eq\r(5)l，sB＝eq\r(l2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2l))2)＝eq\r(5)l，A和B的位移大小相等，A正確；平拋運動運動的時間由高度決定，即tA＝eq\r(\f(2×2l,g))＝eq\r(2)×eq\r(\f(2l,g))，tB＝eq\r(\f(2×l,g))＝eq\r(\f(2l,g))，則A的運動時間是B的eq\r(2)倍，B錯誤；平拋運動，在水平方向上做勻速直線運動，則vxA＝eq\f(l,tA)＝eq\f(\r(gl),2)，vxB＝eq\f(2l,tB)＝eq\r(2gl)，則A的初速度是B的eq\f(1,2\r(2))，C錯誤；小球A、B在豎直方向上的速度分別為vyA＝2eq\r(gl)，vyB＝eq\r(2gl)，由v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))可得vA＝eq\f(\r(17gl),2)，vB＝2eq\r(gl)＝eq\f(\r(16gl),2)即vA>vB，D正確。故選AD。2．(2019·全國卷Ⅱ，19)(多選)如圖(a)，在跳臺滑雪比賽中，運動員在空中滑翔時身體的姿態(tài)會影響其下落的速度和滑翔的距離。某運動員先后兩次從同一跳臺起跳，每次都從離開跳臺開始計時，用v表示他在豎直方向的速度，其v－t圖像如圖(b)所示，t1和t2是他落在傾斜雪道上的時刻。則(BD) 圖(a) 圖(b)A．第二次滑翔過程中在豎直方向上的位移比第一次的小B．第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大C．第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的大D．豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上所受阻力比第一次的大[解析]A錯：v－t圖像中圖線與t軸包圍的面積表示位移大小，第二次滑翔過程中所圍面積大，表示在豎直方向上位移大。B對：比較身體姿態(tài)對下落速率的影響，應控制兩次水平速度相同，運動員在水平方向上的運動可看成勻速直線運動，由x＝vt知運動時間長的水平位移大。C錯：從起跳到落到雪道上，第一次速度變化大，時間短，由a＝eq\f(Δv,Δt)，可知第二次滑翔過程中在豎直方向上平均加速度小于第一次。D對：v－t圖像的斜率表示加速度，速率為v1時，第二次加速度小，設(shè)阻力為f，由mg－f＝ma，可得第二次受到的阻力大。3．(2020·北京石景山期末)如圖所示，某同學練習定點投籃，其中有兩次籃球垂直撞在豎直籃板上，籃球的軌跡分別如圖中曲線1、2所示。若兩次拋出籃球的速度v1和v2的水平分量分別為v1x和v2x，豎直分量分別為v1y和v2y，不計空氣阻力，下列關(guān)系正確的是(A)A．v1x<v2x，v1y>v2y B．v1x>v2x，v1y<v2yC．v1x<v2x，v1y<v2y D．v1x>v2x，v1y>v2y[解析]將籃球的運動反向處理，即平拋運動，由圖可知，第二次運動過程中的高度較小，所以運動時間較短，水平射程相等，故第二次水平分速度較大，即v1x<v2x。在豎直方向上做自由落體運動，由公式veq\o\al(2,y)＝2gh可知，第二次運動過程中的高度較小，所以第二次豎直分速度較小，即v1y>v2y。故選A。4．(2020·浙南名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考)如圖所示，a、b兩小球分別從半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度v0同時水平拋出，已知半圓軌道的半徑與斜面豎直高度相等，斜面底邊長是其豎直高度的2倍，若小球a能落到半圓軌道上，小球b能落到斜面上，則(C)A．b球一定先落在斜面上B．a(chǎn)球可能垂直落在半圓軌道上C．a(chǎn)、b兩球可能同時落在半圓軌道和斜面上D．a(chǎn)、b兩球不可能同時落在半圓軌道和斜面上[解析]將半圓軌道和斜面軌道重合在一起，如圖所示，交點為A，取適當初速度，小球做平拋運動落在A點，則兩小球運動的時間相等，即同時落在半圓軌道和斜面上。若選取不同的初速度，由圖可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在半圓軌道上，故C正確，A、D錯誤。若a球垂直落在半圓軌道上，根據(jù)幾何關(guān)系知，速度方向與水平方向的夾角是位移與水平方向的夾角的2倍，而在平拋運動中，某時刻速度方向與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，兩者相互矛盾，所以a球不可能垂直落在半圓軌道上，故B錯誤。故選C項。第3講圓周運動一、選擇題(本題共8小題，1～5題為單選，6～8題為多選)1．(2020·北京朝陽區(qū)期中)如圖所示，城市里很多立交橋的橋面可近似看成圓弧面。某汽車以恒定速率依次通過橋上同一豎直平面內(nèi)圓弧上的A、B、C三點(B點最高，A、C等高)。則汽車(B)A．通過A點時所受合力大于通過B點時所受合力B．通過B點時對橋面的壓力小于其自身重力C．通過B點時受重力、支持力和向心力的作用D．通過C點時所受合力沿圓弧切線向下[解析]本題考查汽車過拱形橋問題。汽車以恒定速率通過橋面，則汽車做勻速圓周運動，合外力充當向心力，故汽車通過A點時所受合力大小等于通過B點時所受合力大小，故A錯誤；汽車通過B點時，加速度向下，重力與支持力的合力提供向心力，故汽車通過B點時對橋面的壓力小于其自身重力，故B正確；向心力是效果力，是由其他力或其他力的合力提供的，不能說受到向心力作用，故C錯誤；汽車通過C點時，所受合力垂直圓弧切線向下(指向圓心)，故D錯誤。2．某只走時準確的時鐘，分針與時針由轉(zhuǎn)動軸到針尖的長度分別是R1、R2，分針與時針的角速度分別是ω1、ω2，周期分別是T1、T2，表盤的半徑是R，分針與時針從這次重合到下次重合所用的最短時間為t，下列關(guān)系式正確的是(D)A．ω1R1T1－ω2R2T2＝2πR B．ω1R1t－ω2R2t＝2πRC．ω1t＝2π D．eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝1[解析]分針與時針從這次重合到下次重合所用的最短時間為t，即分針比時針多走一圈所用的時間為t，與分針、時針的長度沒有關(guān)系。eq\f(t,T1)是t時間內(nèi)分針走的圈數(shù)，eq\f(t,T1)是t時間內(nèi)時針走的圈數(shù)，多走一圈表達為eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝1，這期間分針走的一定比一圈多，因為時針也在走，所以下次重合的位置一定不在原位置，即ω1t>2π。所以A、B、C選項均是錯的，只有D選項正確。3．如圖所示為火車在轉(zhuǎn)彎處時車輪部分的截面示意圖，軌道的外軌高于內(nèi)軌。某轉(zhuǎn)彎處規(guī)定火車行駛的速度為v，當火車通過此彎道時，下列判斷正確的是(B)A．若速度大于v，則火車輪緣擠壓內(nèi)軌B．若速度大于v，則火車輪緣擠壓外軌C．若速度大于v，則火車所需向心力由外軌輪緣擠壓產(chǎn)生D．若速度小于v，則火車所需向心力由內(nèi)軌輪緣擠壓產(chǎn)生[解析]本題考查火車拐彎問題。當火車以規(guī)定的速度v轉(zhuǎn)彎時，由支持力與重力的合力提供火車轉(zhuǎn)彎時所需的向心力；當火車速度大于v時，火車受到的支持力與重力的合力不足以提供火車轉(zhuǎn)彎時所需的向心力，就會有向外甩的趨勢，導致火車輪緣擠壓外軌，從而外軌對車輪產(chǎn)生作用力來彌補向心力的不足，故A、C錯誤，B正確；當火車速度小于v時，火車所受的支持力與重力的合力大于火車轉(zhuǎn)彎時所需的向心力，火車有靠近圓心的趨勢，導致火車輪緣擠壓內(nèi)軌，從而內(nèi)軌對車輪產(chǎn)生作用力來減小支持力與重力的合力，故D錯誤。4．如圖甲所示的過山車軌道，有連續(xù)兩個環(huán)，我們把它簡化為如圖乙的模型，忽略一切阻力，假設(shè)大環(huán)的半徑是小環(huán)半徑的1.5倍，當過山車經(jīng)過大環(huán)的最低點和最高點時，軌道對過山車的壓力差絕對值為ΔN1，當過山車經(jīng)過小環(huán)的最低點和最高點時，軌道對過山車的壓力差絕對值為ΔN2，則下面說法中正確的是(A)A．ΔN2＝ΔN1 B．ΔN2＝1.5ΔN1C．ΔN1＝1.5ΔN2 D．ΔN1＝3ΔN2[解析]假設(shè)題圖乙中小環(huán)的半徑為R，在最低點，根據(jù)牛頓運動定律可得：FN1－mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)在最高點，根據(jù)牛頓運動定律可得：FN2