7.1一元線性回歸（課件）-高二數(shù)學(xué)（北師大版2019選擇性）

一元線性回歸

在現(xiàn)實生活中，反映量與量之間的函數(shù)關(guān)系非常普遍，但也存在一些量與量之間不滿足函數(shù)關(guān)系，如人的身高與體重.一般說來,人的身高越高，體重就越重，二者確實有關(guān)系.但是身高相同的人，體重卻不一定相同，也就是說，給定身高h(yuǎn)沒有唯一的體重m與之對應(yīng).在現(xiàn)實生活中,這樣的例子還有很多，如人的年齡與血壓、農(nóng)作物的施肥量與產(chǎn)量等.實例分析直線擬合為了了解人的身高與體重的關(guān)系,我們隨機抽取9名15歲的男生，測得他們的身高（單位:cm）、體重（單位:kg）如表7-1：表7-1編號123456789身高/cm165157155175168157178160163體重/kg524445555447625053

從表7-1中不難看出，同一身高157cm對應(yīng)著不同的體重44kg和47kg,即體重不是身高的函數(shù).如果把身高看作橫坐標(biāo)、體重看作縱坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)的點（如圖7-1）,就會發(fā)現(xiàn)，隨著身高的增長,體重基本上呈現(xiàn)直線增加的趨勢.1.在圖7-1中，每個點對應(yīng)的一對數(shù)據(jù)(xi,yi),稱為成對數(shù)據(jù).這些點構(gòu)成的圖稱為散點圖.2.從散點圖上可以看出，如果變量之間存在著某種關(guān)系，這些點會有一個大致趨勢,這種趨勢通?？梢杂靡粭l光滑的曲線來近似地描述.這樣近似描述的過程稱為曲線擬合。3.若在兩個變量x和y的散點圖中，所有點看上去都在一條直線附近波動，此時就可以用一條直線來近似地描述這兩個量之間的關(guān)系，稱之為直線擬合.

注意點：(1)判斷兩個變量X和Y之間是否具有線性關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點圖.(2)散點圖中包含的數(shù)據(jù)越多，效果就越好.那么,應(yīng)當(dāng)如何求出這條直線呢？方法1

選取散點圖中的兩個點，使得其余的點在這兩個點所連直線兩側(cè)分布得盡可能一樣多，如有人選取了（165,52）和（168,54）這兩個成對數(shù)據(jù)，得到直線方程為2x-3y-174=0.因此，一個身高166cm的15歲男生，他的體重大致為52.667kg.方法2

將所有的點分成兩部分，一部分是身高在165cm以下的，一部分是身高在165cm以上（含165cm）的;然后每部分的點求一個平均點：165cm以下的身高、體重的平均數(shù)（取整近似）作為一個平均點，即（158,48）,165cm以上（含165cm）的身高、體重的平均數(shù)（取整近似）作為另一個平均點，即（172,56）；最后將這兩點連接成一條直線，得到直線方程為4x-7y-296=0,因此，一個身高166cm的15歲男生，他的體重大致為52.571kg.

上面兩種方法都有一定的道理.用方法1,若x=175cm,則可計算y≈58.667kg；用方法2,若x=175cm,則可計算y≈714kg.每一種方法均與實際觀測值有偏差.在實際應(yīng)用時,我們通常選擇本章第1.2節(jié)中介紹的方法進(jìn)行處理.散點圖說明1.定義:

將兩個變量所對應(yīng)的點在平面直角坐標(biāo)系中描出來,這些點就組成了變量之間的一個圖,這種圖叫散點圖.2.散點圖的畫法:

把成對的兩個變量分別作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),把每對數(shù)值對應(yīng)的點在平面直角坐標(biāo)系中畫出來.3.散點圖的作用:（1）從散點圖可以看出,如果變量之間存在某種關(guān)系,這些點會有一個集中的大致趨勢,這種趨勢通?？梢杂靡粭l光滑的曲線來近似,這樣近似的過程稱為曲線擬合.

若如果變量x和y的散點圖中,所有點看上去都在一條直線附近波動,則稱變量間是線性相關(guān)的.此時,我們可用一條直線來近似.xyo（2）若所有點看上去都在某條曲線（不是一條直線）附近波動,則稱此相關(guān)為非線性相關(guān)的.此時,我們可用一條曲線來擬合.

如果所有的點在散點圖中沒有顯示任何關(guān)系,則稱變量間是不相關(guān)的.xyoxyo（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù),制成散點圖.你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)身高與右手一拃長之間的近似關(guān)系嗎?o身高/cm右手一拃長/cm15015516016517017518018519019510152025女生男生4.例題與練習(xí)（2）如果近似成線性關(guān)系,請畫出一條直線來近似地表示這種線性關(guān)系.女生男生o身高/cm右手一拃長/cm15015516016517017518018519019510152025（3）如果一個學(xué)生的身高是188cm,你能估計他的右手一拃長大概有多長嗎?18821（2）如果近似成線性關(guān)系,請畫出一條直線來近似地表示這種線性關(guān)系.o身高/cm右手一拃長/cm15015516016517017518018519019510152025（3）如果一個學(xué)生的身高是188cm,你能估計他的右手一拃長大概有多長嗎?18822平均點（2）如果近似成線性關(guān)系,請畫出一條直線來近似地表示這種線性關(guān)系.o身高/cm右手一拃長/cm15015516016517017518018519019510152025（3）如果一個學(xué)生的身高是188cm,你能估計他的右手一拃長大概有多長嗎?18822.7（3）如果一個學(xué)生的身高是188cm,你能估計他的右手一拃長大概有多長嗎?o身高/cm右手一拃長/cm16018.016218016616817017217417617816418218.519.019.520.020.521.021.5（2）如果近似成線性關(guān)系,請畫出一條直線來近似地表示這種線性關(guān)系.例1

某種木材體積與樹木的樹齡之間有如下的對應(yīng)關(guān)系：(1)請作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；樹齡2345678體積30344060556270解以x軸表示樹木的樹齡，y軸表示樹木的體積，可得相應(yīng)的散點圖如圖所示：(2)你能由散點圖發(fā)現(xiàn)木材體積與樹木的樹齡近似成什么關(guān)系嗎？解由散點圖發(fā)現(xiàn)木材體積隨著樹齡的增加而呈增加的趨勢，且散點落在一條直線附近，所以木材的體積與樹齡成線性關(guān)系.練習(xí)：

以下四個散點圖中,兩個變量的關(guān)系適合用直線擬合描述的是(

)A.①② B.①③C.②③ D.③④解析

①③中的點分布在一條直線附近,適合直線擬合描述.B

例2某品牌服裝的廣告費支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù)：廣告費支出x246810銷售額y64138205285360（1）試畫出散點圖，并判斷廣告費支出x與銷售額y是否具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）若取過點（2，64）和點（8，285）的直線作為擬合直線，試預(yù)測當(dāng)x＝10和15時銷售額y的值是多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)）解

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)畫出散點圖如圖觀察散點圖，可以發(fā)現(xiàn)5個樣本點從整體上看大致在一條直線附近，所以變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系.（2）過點（2，64）和點（8，285）的直線方程是221x-6y-58＝0.令x＝10，則221×10-6y-58＝0，∴y≈358.7；令x＝15，則221×15-6y-58＝0，∴y≈542.8，即當(dāng)x＝10時，銷售額y的值大約是358.7萬元；當(dāng)x＝15時，銷售額y的值大約是542.8萬元.反思利用擬合直線進(jìn)行預(yù)測時應(yīng)注意的問題（1）首先要理解線性相關(guān)和擬合直線方程的意義.（2）利用擬合直線方程求得的預(yù)測值只是實際問題的一個估計值，因此在回答結(jié)論時不能說成是準(zhǔn)確值，而只能用“大約”等詞來回答.一元線性回歸方程

對于給定的兩個變量x和y（如身高和體重），可以把其成對的觀測值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）表示為平面直角坐標(biāo)系中的n個點.

現(xiàn)在希望找到一條直線Y=a+bX,使得對每一個xi(i=1,2,…,n），由這個直線方程計算出來的值a+bi與實際觀測值yi的差異盡可能小.為此,希望［y1-（a+b1）]2+［y2-（a+b2）]2+…+［yn-（a+bn）]2達(dá)到最小.換句話說，我們希望a,b最小二乘法.

為了直觀起見，先考慮3對數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），即:求a,b的值,使得偏差yi-（a+bi）（i=1,2,3）的平方和最小，即［y1-（a+b1）]2+［y2-（a+b2）]2+［y3-（a+b3）]2達(dá)到最小.下面我們用向量的方法解決這個問題.首先，用向量的語言描述問題.

要用向量的語言描述偏差yi-（a+bi)(i=1,2,3),容易想到將偏差作為向量的分量,即向量的坐標(biāo)(y1-（a+b1）,y2-（a+b2）,y3-（a+b3）).這樣，問題就等價于:求的a,b值，使得向量(y1-（a+b1）,y2-（a+b2）,y3-（a+b3）)的長度最小.

在這里需要強調(diào)的是:身高和體重之間并沒有函數(shù)關(guān)系，我們得到的線性回歸方程只是對其變化趨勢的一種近似描述.對一個給定身高的人，人們可以用這個方程來估計這個人的體重,這是十分有意義的.…①先來討論3個樣本點的情況補充：怎樣使達(dá)到最小值？函數(shù)法求線性回歸方程：利用配方法可得同樣使用配方法可以得到，當(dāng)假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)且回歸方程是：y=bx+a,^其中，a,b是待定參數(shù)。當(dāng)變量x取時它與實際收集到的之間的偏差是oxy2024/1/26易知，截距和斜率分別是使取最小值時的值。由于這正是我們所要推導(dǎo)的公式。在上式中，后兩項和無關(guān)，而前兩項為非負(fù)數(shù)，因此要使Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)前兩項的值均為0，即有2024/1/262024/1/26用同樣的方法我們可以推導(dǎo)出n個點的線性回歸方程的系數(shù)：牢記公式1、所求直線方程叫做回歸直線方程；相應(yīng)的直線叫做回歸直線。2、對兩個變量進(jìn)行的線性分析叫做線性回歸分析?；貧w直線方程最小二乘法：稱為樣本點的中心。2、求回歸直線方程的步驟：（3）代入公式（4）寫出直線方程為y=bx+a,即為所求的回歸直線方程。^例1

在本章節(jié)的練習(xí)中，從散點圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)Y（單位:杯）與當(dāng)天氣溫X（單位:°C7-2.（1）試用最小二乘法求岀Y關(guān)于X的線性回歸方程；（2）如果某天的氣溫是-3℃,請預(yù)測這天可能會賣出熱茶多少杯.

1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)利用散點圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性表示．(

)(2)線性回歸方程適用于一切樣本和總體．(

)(3)線性回歸方程一般都有局限性．(

)(4)線性回歸方程一定過樣本中的某一點．(

)√×√×鞏固提升2．如果記錄了x，y的幾組數(shù)據(jù)分別為(0，1)，(1，3)，(2，5)，(3，7)，那么y關(guān)于x的線性回歸直線必過點(

)A．(2，2)

B．，2)C．(1，2)

D．，4)

答案：D3．隨機抽樣中測得四個樣本點為(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，則y與x之間的線性回歸方程為(

)A．y＝x＋1B．y＝x＋2C．y＝2x＋1D．y＝x－1

答案：A

例3在本章1.1節(jié)的練習(xí)中，從散點圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)Y-2.（1） 試用最小二乘法求岀Y關(guān)于X的線性回歸方程；（2） 如果某天的氣溫是-3℃,請預(yù)測這天可能會賣出熱茶多少杯.

解（1）從散點圖7-6中可以看岀，表7-2中的兩個變量有近似的線性關(guān)系.

例4

某項研究發(fā)現(xiàn)某地的PM10濃度與車流量之間有線性相關(guān)關(guān)系．現(xiàn)采集到該地一周內(nèi)車流量x與PM10濃度y的數(shù)據(jù)如下表：時間車流量x(單位：萬輛)PM10濃度y(單位：μg/m3)星期一25.435.7星期二24.634.5星期三23.535.2星期四24.433.6星期五25.836.1星期六19.730.9星期日20.329.4

解析：(1)如圖所示．

月份代碼t1234567銷售量y(萬件)y1y2y3y4y5y6y7

例5

某地區(qū)2013年至2019年農(nóng)村居民家庭人均純收入Y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：(1)求Y關(guān)于T的線性回歸方程；年份2013201420152016201720182019年份代號T1234567人均純收入Y2.93.33.64.44.85.25.9解由所給數(shù)據(jù)計算得

＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×＋1×＋2×＋3×＝14，所求線性回歸方程為Y＝T＋2.3.(2)利用(1)中的線性回歸方程，分析2013年至2019年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2022年農(nóng)村居民家庭人均純收入.解