考點(diǎn)十六-同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式

同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式知識(shí)梳理1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.2.誘導(dǎo)公式角函數(shù)2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限統(tǒng)一記憶口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，對(duì)于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”．“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”．典例剖析題型一同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用例1已知α是第二象限角，tanα＝－eq\f(8,15)，則sinα＝________．答案eq\f(8,17)解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＋cos2α＝1，,\f(sinα,cosα)＝－\f(8,15)，))解得sinα＝±eq\f(8,17).∵α為第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝eq\f(8,17).變式訓(xùn)練已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(4,5)，則tanα＝________.答案－eq\f(4,3)解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(3,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).例2(1)已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝________.(2)已知tanθ＝2，則sinθcosθ＝.答案(1)eq\f(4,5)(2)eq\f(2,5)解析(1)sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,1)＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)＝eq\f(4＋2－2,4＋1)＝eq\f(4,5).(2)sinθcosθ＝eq\f(sinθ·cosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(2,22＋1)＝eq\f(2,5).解題要點(diǎn)(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(3)應(yīng)熟練掌握齊次式問(wèn)題求值，通過(guò)代數(shù)式變形，把所求值化為關(guān)于tanθ的齊次式，從而使問(wèn)題得解.題型二sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα“三姊妹”問(wèn)題例3已知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))；求(1)sinα·cosα；(2)sinα－cosα；(3)tanα.解析(1)因?yàn)閟inα＋cosα＝eq\f(1,5)，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα＝(eq\f(1,5))2，即2sinα·cosα＝－eq\f(24,25)，所以sinα·cosα＝－eq\f(12,25).(2)由sinα·cosα＝－eq\f(12,25)可得(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25)，又2sinα·cosα＝－eq\f(24,25)<0,0<α<π，所以sinα>0，cosα<0，即sinα－cosα>0，故sinα－cosα＝eq\r(\f(49,25))＝eq\f(7,5)，(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，,sinα－cosα＝\f(7,5)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))所以tanα＝－eq\f(4,3).變式訓(xùn)練已知sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(2),3)(0＜θ＜π)，求tanθ的值．解析將已知等式兩邊平方，得sinθcosθ＝－eq\f(7,18)，∴eq\f(π,2)＜θ＜π，∴sinθ－cosθ＝eq\r(sinθ－cosθ2)＝eq\r(1－2sinθcosθ)＝eq\f(4,3).解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(\r(2),3)，,sinθ－cosθ＝\f(4,3)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(2)＋4,6)，,cosθ＝\f(\r(2)－4,6)，))∴tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(－9－4\r(2),7).解題要點(diǎn)對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，基本解題策略是借助方程思想，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．題型三三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例4(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52,3)π))＝________．(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝________．答案(1)－eq\f(1,2)(2)－eq\f(\r(3),3)解析(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52π,3)))＝coseq\f(52π,3)＝cos(17π＋eq\f(π,3))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝π，∴eq\f(5π,6)－α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(\r(3),3)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).變式訓(xùn)練化簡(jiǎn)：eq\f(tanπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－α－πsin－π－α).解析原式＝eq\f(－tanα·cosα·－cosα,cosπ＋α·－sinπ＋α)＝eq\f(tanα·cosα·cosα,－cosα·sinα)＝eq\f(\f(sinα,cosα)·cosα,－sinα)＝－1.解題要點(diǎn)(1)應(yīng)熟練應(yīng)用誘導(dǎo)公式．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則是：負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：①負(fù)角變正角，再寫(xiě)成2kπ＋α(k∈Z)，0≤α＜2π；②轉(zhuǎn)化為銳角．(2)要善于觀察角度間的關(guān)系，注意“整體思想”的運(yùn)用，適當(dāng)將角變形，如化eq\f(3,2)π＋α為π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))或2π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))．(3)注意確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)，另外切化弦是常用的規(guī)律技巧．當(dāng)堂練習(xí)1．已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，則cosα＝()A．－eq\f(12,13)B．－eq\f(5,13)C.eq\f(5,13)D.eq\f(12,13)答案A解析∵α是第二象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝－eq\f(12,13).故選A.2．若cosα＝eq\f(1,3)，α∈(－eq\f(π,2)，0)，則tanα等于()A.－eq\f(\r(2),4)B.eq\f(\r(2),4)C.－2eq\r(2)D.2eq\r(2)答案C解析由已知得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(1,9))＝－eq\f(2\r(2),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2eq\r(2)，選C.3.已知α是第四象限角，tan(π－α)＝eq\f(5,12)，則sinα等于()A.eq\f(1,5)B．－eq\f(1,5)C.eq\f(5,13)D．－eq\f(5,13)答案D解析由誘導(dǎo)公式可得：tan(π－α)＝－tanα，∴tanα＝－eq\f(5,12)，∴eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(5,12)，又∵sin2＋cos2α＝1，α是第四象限角，∴sinα＝－eq\f(5,13)，故選D.4．若tanα＝3，則eq\f(sin2α,cos2α)的值等于()A．2B．3C．4D．6答案D解析eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,cos2α)＝eq\f(2sinα,cosα)＝2tanα＝6.5．已知sin2α＝－eq\f(24,25)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，則sinα＋cosα等于()A．－eq\f(1,5)B.eq\f(1,5)C．－eq\f(7,5)D.eq\f(7,5)答案B解析(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝eq\f(1,25)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，sinα＋cosα>0，所以sinα＋cosα＝eq\f(1,5).課后作業(yè)選擇題1．tan150°的值為()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3)D．－eq\r(3)答案B解析tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－eq\f(\r(3),3)，選B.2．已知α∈(eq\f(π,2)，π)，tanα＝－eq\f(3,4)，則sin(α＋π)＝()A.eq\f(3,5)B.－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5)D.－eq\f(4,5)答案B解析由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝－\f(3,4),sin2α＋cos2α＝1))，由此解得sin2α＝eq\f(9,25)，又α∈(eq\f(π,2)，π)，因此有sinα＝eq\f(3,5)，sin(α＋π)＝－sinα＝－eq\f(3,5)，故選B.3．已知cosα＝－eq\f(5,13)，角α是第二象限角，則tan(2π－α)等于()A.eq\f(12,13)B．－eq\f(12,13)C.eq\f(12,5)D．－eq\f(12,5)答案C解析∵cosα＝－eq\f(5,13)，α是第二象限角，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(12,13)，∴tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(12,5).故選C.4．α是第一象限角，tanα＝eq\f(3,4)，則sinα＝()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5)D．－eq\f(3,5)答案B解析tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sinα＝eq\f(3,5).5．若cosα＝eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則tanα等于()A．－eq\f(\r(2),4)B.eq\f(\r(2),4)C．－2eq\r(2)D．2eq\r(2)答案C解析由已知得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(1,9))＝－eq\f(2\r(2),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2eq\r(2)，故選C.6．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，則tan2α等于()A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)答案B解析∵eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(1,2)，∴tanα＝－3.∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(3,4).7．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,4)))，則sinθ－cosθ的值為()A.eq\f(\r(2),3)B．－eq\f(\r(2),3)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)答案B解析∵sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝eq\f(16,9)，∴sin2θ＝eq\f(7,9)，又0<θ<eq\f(π,4)，∴sinθ<cosθ，∴sinθ－cosθ＝－eq\r(sinθ－cosθ2)＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(\r(2),3).8．已知tanθ＝2，則eq\f(sin\f(π,2)＋θ－cosπ－θ,sin\f(π,2)－θ－sinπ－θ)＝()A.2B.－2C.0D.eq\f(2,3)答案B解析eq\f(sin\f(π,2)＋θ－cosπ－θ,sin\f(π,2)－θ－sinπ－θ)＝eq\f(cosθ＋cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(2cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(2,1－tanθ)＝eq\f(2,1－2)＝－2.二、填空題9．如果sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，那么cos(eq\f(3,2)π－A)的值是________．答案eq\f(1,2)解析∵sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，∴－sinA＝eq\f(1,2).∴cos(eq\f(3,2)π－A)＝－sinA＝eq\f(1,2).10．若sinθ＝－eq\f(4,5)，tanθ>0，則cosθ＝__________.答案－eq\f(3,5)解析∵sinθ<0，tanθ>0，∴θ為第三象限角，∴cosθ＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5).11．設(shè)θ為第二象限角，若tan(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)，則sinθ＋cosθ＝________.答案－eq\f(\r(10),5)解析tan(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)＝eq\f(1,2)，解得tanθ＝－eq\f(1,3)，又θ位于第二象限得sinθ＝eq\f(\r(10),10)，co