附有參數的條件平差

§6-1附有參數的條件平差原理§6-2精度評定第六章附有參數的條件平差問題的提出由條件平差知，對于n個觀測值，t個必要觀測〔n>t〕的條件平差問題，可以列出r=n-t個獨立的條件方程，且列出r個獨立的條件方程后就可以進行后繼的條件平差計算。然而，在實際工作中，有些平差問題的r個獨立的條件方程很難列出。例如，在以下圖所示的測角網中，A、B為點，AC為邊。觀測了網中的9個角度，即n=9。要確定C、D、E三點的坐標，其必要觀測數為t=5，故條件方程的個數為r=n-t=9-5=4，即必須列出4個獨立的條件方程。由圖知，三個圖形條件很容易列出，但第四個條件卻不容易列出。為了解決這個問題，可以選擇某個〔或某幾個〕非觀測量作為參數。例如圖中選擇作為參數。設選擇了u個參數，那么原來的r個條件方程就變?yōu)閏=r+u個了。如圖中，由于選擇了作為參數，那么條件方程的個數就變?yōu)閏=r+u=4+1=5個，即除了三個圖形條件外，還可以列出1個極條件和1個固定邊條件。如以下圖，假設以A點為極，那么極條件為：固定邊條件為〔由AC推算AB〕：或

根據如此含有u個參數的條件方程所進行的平差，稱為附有參數的條件平差?！?-1附有參數的條件平差原理一般地，附有參數的條件平差的函數模型為：〔1〕式中V為觀測值L的改正數，為參數近似值的改正數。其系數矩陣的秩分別為。其隨機模型為：

〔1〕式中的未知數為n個觀測值的改正數V和u個參數近似值的改正數，即未知數的個數為m=n+u，而方程的個數為c=r+u。由于m–c=n–r=t>0，所以〔1〕式是一組具有無窮多組解的相容方程組。必須根據最小二乘原理，求出能使的一組解。為此，下面就來求解這組解。1、

根底方程及其解為了求得解能使的一組解，按求函數之條件極值的方法，組成新函數：

式中K是對應〔6-1〕式的聯系數向量。為了求函數的極小值，將其分別對V和求一階導數，并令其為零，即亦即〔2〕將〔1〕式和〔2〕式聯立，那么得到附有參數的條件平差的根底方程：

〔3〕將〔3〕式中的第二式代入第一式，消去改正數V，得：令那么(4)〔4〕式稱為附有參數的條件平差的法方程。因為，且，所以是滿秩的對稱方陣，其逆存在。于是，用左乘〔4〕式的第一式，可得：(5)再以〔5〕式帶入〔4〕式的第二式，得：令(6)那么有〔7〕因為,且，故是滿秩的對稱方陣，其逆存在。于是，由〔7〕式得：〔8〕將〔5〕式代入〔2〕式的第一式，得：〔9〕〔8〕式和〔9〕式就是附有參數的條件平差的最終解。2、附有參數的條件平差的計算步驟由以上推導，可總結出附有參數的條件平差的計算步驟如下：〔1〕、根據具體的平差問題，選取u個獨立的參數，并列出附有參數的條件方程〔1〕式?！?〕、組成法方程〔4〕式?！?〕、按〔8〕式和〔9〕式計算參數近似值的改正數和觀測值L的改正數V?！?〕、按計算觀測值和參數的平差值?！?〕、用平差值重新列平差值條件方程，檢核整個計算的正確性。教材：6－1，6－2

3、

舉例某三角網如下圖，A、B為點，BD為邊。其數據為：各角的同精度獨立觀測值見表1?，F選的最或是值為參數，試按附有參數的條件平差求觀測值的平差值和參數的平差值。

表1角號觀測值角號觀測值142536本例中n=6，t=3，r=3，u=1，故c=r+u=4由圖知，可列2個圖形條件，1個極條件和1個固定邊條件。這4個條件如下：取，將非線性條件線性化后，得條件方程為：由于為同精度獨立觀測，故。于是由〔4〕式得法方程為：解得：由此可得觀測值和參數的平差值為：

檢核略。

§6-2精度評定1、單位權方差的估值在附有參數的條件平差中，單位權方差的估值仍為：〔10〕

2、根本向量的協(xié)因數矩陣3、平差值函數的中誤差設平差值函數為：對其全微分，得權函數式為：式中：

應用協(xié)因數傳播律，得：于是，平差值函數的中誤差為：

小結：1、為了某種需要，選擇參數；2、每選一個參數，就增加一個條件方程，選擇u個參數，就增加u個條件方程；3、條件方程的總數為c=r+u;4、單位權中誤差的計算公式不變；5、求平差值函數的中誤差時，應將平差值函數分別對觀測值的平差值和參數求偏導數。舉例：水準網如下圖：1、按條件平差列出條件方程。2、選高程平差值為參數，列出全部條件方程。3、選和高程平差值為參數，列出全部條件方程。解：1、由圖知，n=5，t=2，故r=n-t=5-2=3。即三個條件方程，一個附合條件，二個閉合條件：2、選高程平差值為參數，那么有u=1，c=r+u=4,即：3、選和高程平差值為參數和，那么u=2，c=r+u=3+2=5=n，此時有：

由上式〔4〕、〔5〕式可得：將〔6〕式代入〔1〕式，得：將〔6〕、〔7〕式代入〔2〕式，得：將〔8〕、〔9〕式代入〔3〕式，得：令：那么有，