新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運(yùn)算6.2.1向量的加法運(yùn)算學(xué)案新人教A版必修第二冊(cè)

6.2.1向量的加法運(yùn)算課標(biāo)要求借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量的加法運(yùn)算法則，并理解向量加法的幾何意義．素養(yǎng)要求通過(guò)物理模型的研究，體會(huì)向量加法運(yùn)算的形成過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)1向量加法的定義及其運(yùn)算法則1．向量加法的定義求兩個(gè)向量_和__的運(yùn)算，叫做向量的加法．2．向量求和的法則三角形法則已知_非零__向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))圖形a，b不共線a，b共線平行四邊形法則以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，則對(duì)角線上的向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b圖形想一想：向量加法運(yùn)算的兩個(gè)法則的要點(diǎn)分別是什么？提示：①平行四邊形法則的要點(diǎn)是統(tǒng)一起點(diǎn)．②三角形法則的要點(diǎn)是首尾相接．練一練：1．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則a＋b等于(D)A．eq\o(CA,\s\up6(→)) B．eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(AC,\s\up6(→))[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).故選D．2．在矩形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).[解析]根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).知識(shí)點(diǎn)2向量加法的運(yùn)算律交換律結(jié)合律a＋b＝b＋aa＋(b＋c)＝(a＋b)＋c練一練：1．判斷正誤．(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)0＋a＝a＋0＝a.(√)(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.(√)(3)a＋(b＋c)＝c＋(a＋b)．(√)2．已知非零向量a，b，c，則向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，與向量a＋b＋c相等的個(gè)數(shù)為(D)A．2 B．3C．4 D．5[解析]由向量加法的交換律與結(jié)合律可知，所給的5個(gè)向量都與a＋b＋c相等．3．化簡(jiǎn)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝0.[解析]eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝0.知識(shí)點(diǎn)3|a＋b|與|a|，|b|之間的關(guān)系對(duì)任意兩個(gè)非零向量a，b，有|a＋b|_≤__|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)a，b_方向相同__時(shí)等號(hào)成立．想一想：向量a＋b與非零向量a，b的模及方向的關(guān)系是什么？提示：①當(dāng)a與b不共線時(shí)，a＋b的方向與a，b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|.②當(dāng)a與b同向時(shí)，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.③當(dāng)a與b反向時(shí)，若|a|≥|b|，則a＋b與a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|<|b|，則a＋b與b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.練一練：如果|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5，那么|eq\o(AC,\s\up6(→))|的最大值為_(kāi)13__.[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))同向時(shí)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|最大為8＋5＝13.題型探究題型一向量的加法及幾何意義典例1(1)如圖，已知a、b，求作a＋b；(2)如圖所示，已知向量a、b、c，試作出向量a＋b＋c.[分析]用三角形法則或平行四邊形法則畫(huà)圖．[解析](1)甲eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b乙eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b(2)作法1：如圖1所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接著作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則得向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b；然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．作法2：如圖2所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，以O(shè)A、OB為鄰邊作?OADB，連接OD，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.再以O(shè)D、OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即為所求．[歸納提升]三角形法則與平行四邊形法則的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：(1)三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”．(2)三角形法則適用于所有的非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個(gè)向量求和．聯(lián)系：平行四邊形法則與三角形法則在本質(zhì)上是一致的．這兩種求向量和的方法，通過(guò)向量平移能相互轉(zhuǎn)化，解決具體問(wèn)題時(shí)視情況而定．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(2023·山東濟(jì)寧)如圖，按下列要求作答．(1)以A為始點(diǎn)，作出a＋b；(2)以B為始點(diǎn)，作出c＋d＋e；(3)若圖表中小正方形邊長(zhǎng)為1，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))、eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c＋d)).[解析](1)將a，b的起點(diǎn)同時(shí)平移到A點(diǎn)，利用平行四邊形法則作出a＋b，如下圖所示：(2)先將共線向量c，d的起點(diǎn)同時(shí)平移到B點(diǎn)，計(jì)算出c＋d，再平移向量e與之首尾相接，利用平行四邊形法則即可作出c＋d＋e，如下圖所示：(3)由a是單位向量可知|a|＝1，根據(jù)作出的向量利用勾股定理可知，|a＋b|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)；由共線向量的加法運(yùn)算可知|c＋d|＝|－c|＝|c|＝1.題型二向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用典例2化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)).[分析]首先根據(jù)向量加法的交換律變?yōu)楦飨蛄渴孜蚕噙B，然后利用向量加法的結(jié)合律求和．[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0.[歸納提升]向量運(yùn)算中化簡(jiǎn)的兩種方法：(1)代數(shù)法：借助向量加法的交換律和結(jié)合律，將向量轉(zhuǎn)化為“首尾相接”，向量的和即為第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量．有時(shí)也需將一個(gè)向量拆分成兩個(gè)或多個(gè)向量．(2)幾何法：通過(guò)作圖，根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則化簡(jiǎn)．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填上一個(gè)向量)：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))；(3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).[解析]由已知可得四邊形DFCB是平行四邊形．(1)易知eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).由三角形法則得：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)易知eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).題型三向量加法的實(shí)際應(yīng)用典例3一架救援直升飛機(jī)從A地沿北偏東60°方向飛行了40km到達(dá)B地，再由B地沿正北方向飛行40km到達(dá)C地，求此時(shí)直升飛機(jī)與A地的相對(duì)位置．[分析]根據(jù)向量加法的三角形法則及勾股定理即可求解．[解析]如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))分別是直升飛機(jī)的位移，則eq\o(AC,\s\up6(→))表示兩次位移的合位移，即eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).在Rt△ABD中，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝20km，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝20eq\r(3)km.在Rt△ACD中，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(\s\up11(),\s\do4(|\o(AD,\s\up6(→))|2))＋\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(DC,\s\up6(→))|2)))＝40eq\r(3)km，∠CAD＝60°，即此時(shí)直升飛機(jī)位于A地北偏東30°方向，且距離A地40eq\r(3)km處．[歸納提升]應(yīng)用向量解決平面幾何問(wèn)題的基本步驟對(duì)點(diǎn)練習(xí)?一艘船在水中航行，水流速度與船在靜水中航行的速度均為5km/h.如果此船實(shí)際向南偏西30°方向行駛2km，然后又向西行駛2km，你知道此船在整個(gè)過(guò)程中的位移嗎？[解析]用eq\o(AC,\s\up6(→))表示船的第一次位移，用eq\o(CD,\s\up6(→))表示船的第二次位移，根據(jù)向量加法的三角形法則知：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))可表示兩次位移的和位移．由題意知，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，則BC＝eq\f(1,2)AC＝1，AB＝eq\r(3)，在等腰△ACD中，AC＝CD＝2，∴∠D＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠ACB＝30°，∴∠BAD＝60°，AD＝2AB＝2eq\r(3)，∴兩次位移的和位移的方向是南偏西60°，位移的大小為2eq\r(3)km.易錯(cuò)警示對(duì)不等式|a＋b|≤|a|＋|b|中等號(hào)成立條件理解不清致誤典例4若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，則(D)A．a(chǎn)，b同向共線B．a(chǎn)，b反向共線C．a(chǎn)，b同向共線且|b|>|a|D．a(chǎn)，b反向共線且|b|>|a|[錯(cuò)解]B[錯(cuò)因分析]錯(cuò)解只考慮了向量的方向，但沒(méi)有注意到其模的大小關(guān)系．[正解]由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|>|a|，故選D．[誤區(qū)警示]弄清a＋b的方向以及模與向量a，b的方向、模之間的關(guān)系：(1)當(dāng)a與b同向共線時(shí)，a＋b與a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(2)當(dāng)a與b反向共線時(shí)，若|a|>|b|，則a＋b與a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b與b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|；若|a|＝|b|則a＋b＝0.對(duì)點(diǎn)練習(xí)?已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，則向量a＋b的方向(A)A．與向量a的方向相同B．與向量a的方向相反C．與向量b的方向相同D．不確定1．如圖，一個(gè)人騎自行車由A地出發(fā)到達(dá)B地，然后由B地出發(fā)到達(dá)C地，則這個(gè)人由A地到C地位移的結(jié)果為(C)A．eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(CA,\s\up6(→))[解析]由題意eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，故這個(gè)人由A地到C地位移的結(jié)果為eq\o(AC,\s\up6(→))，故選C．2．若O、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式成立的是(B)A．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)) B．eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))C．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)) D．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(EO,\s\up6(→))[解析]可以畫(huà)出圖形，用三角形法則找出正確答案．3．已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下列等式中不正確的是(D)A．eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→)) B．eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝0C．eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→)) D．eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))[解析]由向量加法的平行四邊形法則可知，eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))≠eq\o(FD,\s\up6(→)).4．若向量a表示“向東航行1km”，向量b表示“向北航行eq\r(3)km”，則向量a＋b表示(B)A．向東北方向航行2kmB