矩陣分析課件

函數(shù)矩陣與矩陣微分方程函數(shù)矩陣

定義：

以實(shí)變數(shù)的函數(shù)為元素的矩陣

稱(chēng)為函數(shù)矩陣，其中所有的元素都是定義在閉區(qū)間上的實(shí)函數(shù)。函數(shù)矩陣與數(shù)字矩陣一樣也有加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等幾種運(yùn)算，並且運(yùn)算法則完全相同。例：已知計(jì)算定義：設(shè)為一個(gè)階函數(shù)矩陣，如果存在階函數(shù)矩陣使得對(duì)於任何都有那麼我們稱(chēng)在區(qū)間上是可逆的。稱(chēng)是的逆矩陣，一般記為例：已知，那麼在區(qū)間上是可逆的，其逆為函數(shù)矩陣可逆的充分必要條件定理:

階矩陣在區(qū)間上可逆的充分必要條件是在上處處不為零，並且，其中為矩陣的伴隨矩陣。定義：區(qū)間上的型矩陣函數(shù)不恒等於零的子式的最高階數(shù)稱(chēng)為的秩。特別地，設(shè)為區(qū)間上的階矩陣函數(shù)，如果的秩為，則稱(chēng)一個(gè)滿(mǎn)秩矩陣。注意：對(duì)於階矩陣函數(shù)而言，滿(mǎn)秩與可逆不是等價(jià)的。即：可逆的一定是滿(mǎn)秩的，但是滿(mǎn)秩的卻不一定是可逆的。例：已知那麼。於是在任何區(qū)間上的秩都是2。即是滿(mǎn)秩的。但是在上是否可逆，完全依賴(lài)於的取值。當(dāng)區(qū)間包含有原點(diǎn)時(shí)，在上有零點(diǎn)，從而是不可逆的。函數(shù)矩陣對(duì)純量的導(dǎo)數(shù)和積分

定義：如果的所有各元素在處有極限，即其中為固定常數(shù)。則稱(chēng)在處有極限，且記為其中如果的各元素在處連續(xù)，即則稱(chēng)在處連續(xù)，且記為其中容易驗(yàn)證下麵的等式是成立的：設(shè)則定義：如果的所有各元素在點(diǎn)處(或在區(qū)間上)可導(dǎo)，便稱(chēng)此函數(shù)矩陣在點(diǎn)處(或在區(qū)間上)可導(dǎo)，並且記為函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算有下列性質(zhì)：是常數(shù)矩陣的充分必要條件是設(shè)均可導(dǎo)，則設(shè)是的純量函數(shù)，是函數(shù)矩陣，與均可導(dǎo)，則特別地，當(dāng)是常數(shù)時(shí)有(4)設(shè)均可導(dǎo)，且與是可乘的，則因?yàn)榫仃嚊](méi)有交換律，所以(5)如果與均可導(dǎo)，則(6)設(shè)為矩陣函數(shù)，是的純量函數(shù)，與均可導(dǎo)，則定義：如果函數(shù)矩陣的所有各元素在上可積，則稱(chēng)在上可積，且函數(shù)矩陣的定積分具有如下性質(zhì)：例1：已知函數(shù)矩陣試計(jì)算證明：由於，所以下麵求。由伴隨矩陣公式可得再求例2：已知函數(shù)矩陣試求例3：已知函數(shù)矩陣試求證明：同樣可以求得例4：已知函數(shù)矩陣試計(jì)算函數(shù)向量的線性相關(guān)性定義：設(shè)有定義在區(qū)間上的個(gè)連續(xù)的函數(shù)向量如果存在一組不全為零的常實(shí)數(shù)使得對(duì)於所有的等式成立，我們稱(chēng)，在上線性相關(guān)。否則就說(shuō)線性無(wú)關(guān)。即如果只有在等式才成立，那麼就說(shuō)線性無(wú)關(guān)。定義：設(shè)是個(gè)定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)向量記以為元素的常數(shù)矩陣稱(chēng)為的Gram矩陣，稱(chēng)為Gram行列式。定理：定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是它的Gram矩陣為滿(mǎn)秩矩陣。例：設(shè)則於是的Gram矩陣為所以故當(dāng)時(shí)，在上是線性無(wú)關(guān)的。定義：設(shè)是個(gè)定義在區(qū)間上的有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)向量，記那麼稱(chēng)矩陣是的Wronski矩陣。其中分別是的一階，二階，…，階導(dǎo)數(shù)矩陣。定理：設(shè)是的Wronski矩陣。如果在區(qū)間上的某個(gè)點(diǎn)，常數(shù)矩陣的秩等於，則向量在上線性無(wú)關(guān)。例：設(shè)則因?yàn)榈闹葹?，所以與線性無(wú)關(guān)。

函數(shù)矩陣在微分方程中的應(yīng)用形如的線性微分方程組在引進(jìn)函數(shù)矩陣與函數(shù)向量以后可以表示成如下形式其中上述方程組的初始條件為可以表示成定理：設(shè)是一個(gè)階常數(shù)矩陣，則微分方程組滿(mǎn)足初始條件的解為定理：設(shè)是一個(gè)階常數(shù)矩陣，則微分方程組滿(mǎn)足初始條件的解為例1：設(shè)求微分方程組滿(mǎn)足初始條件的解。解：首先計(jì)算出矩陣函數(shù)由前面的定理可知微分方程組滿(mǎn)足初始條件的解為例2：設(shè)求微分方程組滿(mǎn)足初始條件的解。解：由上述定理可知滿(mǎn)足所給初始條件的微分方程組解為由上面的例題可知而所以有故有第八章廣義逆矩陣定理：設(shè)是數(shù)域上一個(gè)矩陣，則矩陣方程總是有解。如果，並且其中與分別是階、階可逆矩陣，則矩陣方程(1)的一般解(通解)為(1)(2)其中分別是任意矩陣。證明：把形如(3)的矩陣以及(2)式代入矩陣方程(1)，得到：(3)所以形如(3)的每一個(gè)矩陣都是矩陣方程(1)的解。為了說(shuō)明(3)是矩陣方程(1)的通解，現(xiàn)在任取(1)的一個(gè)解，則由(1)和(2)得因?yàn)榭赡妫詮纳鲜降?4)把矩陣分塊，設(shè)代入(4)式得即(5)由此得出，，代入(5)式便得出這證明了矩陣方程(1)得任意一個(gè)解都能表示成(3)的形式，所以公式(3)是矩陣方程(1)的通解。定義：設(shè)是一個(gè)矩陣，矩陣方程的通解稱(chēng)為的廣義逆矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)為的廣義逆。我們用記號(hào)表示的一個(gè)廣義逆。定理(非齊次線性方程組的相容性定理)：非齊次線性方程組有解的充分必要條件是證明：必要性。設(shè)有解，則。因?yàn)椋猿浞中?。設(shè)，則取得所以是的解。定理(非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理)：設(shè)非齊次線性方程組有解，則它的一般解(通解）為其中是的任意一個(gè)廣義逆。證明：任取的一個(gè)廣義逆，我們來(lái)證是方程組的解：已知有解，根據(jù)前一個(gè)定理得：這表明是的一個(gè)解。反之，對(duì)於的任意一個(gè)解，我們要證存在的一個(gè)廣義逆，使得。設(shè)是矩陣，它的秩為，且其中與分別是階、階可逆矩陣。由於的廣義逆具有形式(3)，因此我們要找矩陣，使即先分析與之間的關(guān)係。由已知，因此我們有分別把分塊，設(shè)(6)則(6)式成為所以，因?yàn)椋?，從而。設(shè)，且設(shè)。取則於是從而只要取則定理(齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理)：數(shù)域上元齊次線性方程組的通解為其中是的任意給定的一個(gè)廣義逆，取遍中任意列向量。證明：任取，我們有所以是方程組的解。反之，設(shè)是方程組的解，要證存在，使得。取我們有所以是方程組的通解。利用上述定理，可以得到非齊次線性方程組的另一種形式的通解。推論：設(shè)數(shù)域是元非齊次線性方程組有解，則它的通解為其中是的任意給定的一個(gè)廣義逆，取遍中任意列向量。證明：我們已經(jīng)知道是非齊次線性方程組的一個(gè)解，又知道是導(dǎo)出組的通解，所以是的通解。偽逆矩陣定義：設(shè)，若，且同時(shí)有則稱(chēng)是的偽逆矩陣。上述條件稱(chēng)為Moore－Penrose方程。例：設(shè)，那麼

設(shè)，那麼設(shè)，其中是可逆矩陣，則如果是一個(gè)可逆矩陣，那麼下麵我們討論偽逆矩陣的求法定理：設(shè)是的一個(gè)滿(mǎn)秩分解，則是的偽逆矩陣。例1

：設(shè)求。解：利用滿(mǎn)秩分解公式可得從而的偽逆矩陣是例2

：設(shè)求。解：由滿(mǎn)秩分解公式可得於是其偽逆矩陣為推論：若，則若，則定理：偽逆矩陣唯一。證明：設(shè)都是的偽逆矩陣，則根據(jù)此定理知，若，則。定理：設(shè)，則證明：容易驗(yàn)證(1)，(2)，現(xiàn)在只證(3)。設(shè)是的滿(mǎn)秩分解，則的滿(mǎn)秩分解可以寫(xiě)成其中是列滿(mǎn)秩，為行滿(mǎn)秩，故由式得因此同理可證：例：設(shè)，則是正定或半正定Hermite矩陣，故存在，使得證明解：因?yàn)椴环猎O(shè)則其中故於是令由，知因此由得例：已知求。解：的特徵值的特徵向量為

的特徵向量為故代入得：練習(xí)1：已知求其奇異值分解與。練習(xí)2

：設(shè)求。答案：（1）奇異值分解式為（2）其偽逆矩陣為不相容線性方程組的解定義：設(shè)，，如果維向量對(duì)於任何一個(gè)維向量，都有則稱(chēng)是方程組的一個(gè)最小二乘解。若是最小二乘解，如果對(duì)於任一個(gè)最小二乘解都有不等式則稱(chēng)是最佳最小二乘解。定理：設(shè)，則是方程組的最佳最小二乘解。例1

：求不相容方程組的最佳最小二乘解。例2

：求不相容方程組的最佳最小二乘解。

矩陣的分解

這章我們主要討論矩陣的五種分解：矩陣的滿(mǎn)秩分解，正交三角分解，奇異值分解，極分解，譜分解。

矩陣的滿(mǎn)秩分解定理：設(shè)，那麼存在使得使得其中為列滿(mǎn)秩矩陣，為行滿(mǎn)秩矩陣。我們成此分解為矩陣的滿(mǎn)秩分解。證明：假設(shè)矩陣的前個(gè)列向量是線性無(wú)關(guān)的，對(duì)矩陣只實(shí)施行初等變換可以將其化成即存在使得於是有其中

如果的前列線性相關(guān)，那麼只需對(duì)作列變換使得前個(gè)列是線性無(wú)關(guān)的。然後重複上面的過(guò)程即可。這樣存在且滿(mǎn)足

從而其中例：分別求下麵三個(gè)矩陣的滿(mǎn)秩分解解：（1）對(duì)此矩陣只實(shí)施行變換可以得到由此可知，且該矩陣第一列，第三列是線性無(wú)關(guān)的。選取同樣，我們也可以選取解：（2）對(duì)此矩陣只實(shí)施行變換可以得到所以，且此矩陣的第三，第四，第五列任意一列都是線性無(wú)關(guān)的，所以選取哪一列構(gòu)成列滿(mǎn)秩矩陣均可以。選取也可以選取解：（3）對(duì)此矩陣只實(shí)施行變換可以得到所以，且容易看出此矩陣的第二列和第四列是線性無(wú)關(guān)的，選取

由上述例子可以看出矩陣的滿(mǎn)秩分解形式並不唯一。一般地我們選取階梯型矩陣主元所在的列對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成列滿(mǎn)秩矩陣，將階梯型矩陣全為零的行去掉後即可構(gòu)成行滿(mǎn)秩矩陣。但是不同的分解形式之間有如下聯(lián)系：定理：如果均為矩陣的滿(mǎn)秩分解，那麼（1）存在矩陣滿(mǎn)足（2）

矩陣的正交三角分解例：設(shè)，那麼可唯一地分解為或其中，是正線上三角矩陣，是正線下三角矩陣。證明：先證明分解的存在性。將矩陣按列分塊得到由於，所以是線性無(wú)關(guān)的。利用Schmidt正交化與單位化方法，先得到一組正交向量組並且向量組之間有如下關(guān)係再單位化，這樣得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組其中，於是有其中，顯然矩陣是一個(gè)正線上三角矩陣。

下麵考慮分解的唯一性。設(shè)有兩種分解式那麼有注意到是酉矩陣，而是一個(gè)正線上三角矩陣，由前面的結(jié)論可知因此有因?yàn)橛校?，按照分解的存在性可知其中是正線上三角矩陣。於是其中是正線下三角矩陣，而。此結(jié)論也可以被推廣為定理：設(shè)，則可以唯一地分解為其中是階正線上三角矩陣，，即是一個(gè)次酉矩陣。證明：分解的存在性證明，同上面的例題完全一樣。分解的唯一性證明。設(shè)則因?yàn)槭钦ǖ腍ermite矩陣（為什麼？），由正定二次型的等價(jià)定理可知，其三角分解是唯一的，故，進(jìn)一步有。例1

：求下列矩陣的正交三角分解解：（1）容易判斷出，即是一個(gè)列滿(mǎn)秩矩陣。按照定理的證明過(guò)程，將的三個(gè)列向量正交化與單位化。先得到一個(gè)正交向量組再將其單位化，得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組這樣，原來(lái)的向量組與標(biāo)準(zhǔn)正交向量之間的關(guān)係可表示成將上面的式子矩陣化，即為（2）首先判斷出，由定理可知必存在，以及三階正線上三角矩陣使得推論：設(shè)，則可分解為其中，是階正線上三角矩陣，是階正線下三角矩陣。

矩陣的奇異值分解引理1：對(duì)於任何一個(gè)矩陣都有引理2：對(duì)於任何一個(gè)矩陣都有與都是半正定的Hermite-矩陣。設(shè)，是的特徵值，是的特徵值，它們都是實(shí)數(shù)。如果記特徵值與之間有如下關(guān)係。定理：設(shè)，那麼。同時(shí)，我們稱(chēng)為矩陣的正奇異值，簡(jiǎn)稱(chēng)奇異值。例：求下列矩陣的奇異值解：（1）由於顯然的特徵值為5，0，0，所以的奇異值為（2）由於顯然的特徵值為2，4，所以的奇異值為。例2

證明：正規(guī)矩陣的奇異值為其非零特徵值的模長(zhǎng)。定理：設(shè)，是的個(gè)奇異值，那麼存在階酉矩陣和階酉矩陣使得其中，且滿(mǎn)足。證明：由於，所以的特徵值為因?yàn)槭且粋€(gè)H-陣，所以存在階酉矩陣且滿(mǎn)足將酉矩陣按列進(jìn)行分塊，記

，其中於是有從而有記，這裏令，那麼容易驗(yàn)證選取使得是酉矩陣，則由上述式子可得這裏，要注意。我們稱(chēng)此定理為奇異值分解定理。稱(chēng)運(yùn)算式為矩陣的奇異值分解式。如何求此分解運(yùn)算式？特別要注意下麵的關(guān)係式即由此可知的列向量就是的標(biāo)準(zhǔn)正交特徵向量；而的列向量就是的標(biāo)準(zhǔn)正交特徵向量。例：求下列矩陣的奇異值分解運(yùn)算式解：（1）容易計(jì)算的特徵值為5，0，0，所以的奇異值為。下麵計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)正交特徵向量，解得分別與5，0，0對(duì)應(yīng)的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特徵向量由這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特徵向量組成矩陣，所以有再計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)正交特徵向量，解得分別與5，0對(duì)應(yīng)的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特徵向量由這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特徵向量組成矩陣那麼有於是可得奇異值分解式為解：（2）容易計(jì)算，那麼的非零奇異值為，對(duì)應(yīng)於特徵值5，2的標(biāo)準(zhǔn)特徵向量為由這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特徵向量組成矩陣那麼有再計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)正交特徵向量，解得分別與5，2，0，0對(duì)應(yīng)的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特徵向量由這四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特徵向量組成矩陣，所以有於是可得奇異值分解式為練習(xí)：求下麵矩陣的奇異值分解式推論：設(shè)，是的個(gè)奇異值，那麼存在次酉矩陣使得

矩陣的極分解定理：設(shè)，那麼必存在酉矩陣與正定的H-矩陣使得且這樣的分解式是唯一的。同時(shí)有。稱(chēng)分解式為矩陣的極分解運(yùn)算式。定理：設(shè)，則存在與半正定H-矩陣使得且滿(mǎn)足證明：根據(jù)矩陣的奇異值分解定理可知，存在酉矩陣使得其中，為的個(gè)奇異值。於是有如果令從而有其中是半正定的H-矩陣，是酉矩陣。由上面的結(jié)論可以給出正規(guī)矩陣的另外一種刻劃。定理：設(shè)，則是正規(guī)矩陣的充分必要條件是其中是半正定的H-矩陣，是酉矩陣，且

矩陣的譜分解我們主要討論兩種矩陣的普分解：正規(guī)矩陣與可對(duì)角化矩陣。設(shè)為正規(guī)矩陣，那麼存在使得其中是矩陣的特徵值所對(duì)應(yīng)的單位特徵向量。我們稱(chēng)上式為正規(guī)矩陣的譜分解運(yùn)算式。

設(shè)正規(guī)矩陣有個(gè)互異的特徵值，特徵值的代數(shù)重?cái)?shù)為，所對(duì)應(yīng)的個(gè)兩兩正交的單位特徵向量為，則的譜分解運(yùn)算式又可以寫(xiě)成其中，並且顯然有

有上面的譜分解運(yùn)算式又可以給出正規(guī)矩陣的一種刻劃。定理：設(shè)為一個(gè)階矩陣，其有個(gè)互異的特徵值，的代數(shù)重?cái)?shù)為，那麼為正規(guī)矩陣的充分必要條件是存在個(gè)階矩陣且滿(mǎn)足（6）滿(mǎn)足上述性質(zhì)的矩陣是唯一的。我們稱(chēng)為正交投影矩陣。例1：求正規(guī)矩陣的譜分解運(yùn)算式。解：首先求出矩陣的特徵值與特徵向量。容易計(jì)算從而的特徵值為當(dāng)時(shí)，求得三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特徵向量為當(dāng)時(shí)，求得一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特徵向量為將正交化與單位化可得將單位化可得：於是有這樣可得其譜分解運(yùn)算式為例2：求正規(guī)矩陣的譜分解運(yùn)算式。解：首先求出矩陣的特徵值與特徵向量。容易計(jì)算從而的特徵值為可以求出分別屬於這三個(gè)特徵值的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特徵向量再將其單位化可得三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的特徵向量於是有這樣可得其譜分解運(yùn)算式為練習(xí)：求正規(guī)矩陣的譜分解運(yùn)算式。下麵我們討論可對(duì)角化矩陣的譜分解運(yùn)算式。

設(shè)是一個(gè)階可對(duì)角化的矩陣，特徵值為，與其相應(yīng)的特徵向量分別為，如果記那麼其中由於，所以有又由於，從而現(xiàn)在觀察矩陣與列向量之間的關(guān)係：這說(shuō)明矩陣的列向量是矩陣的特徵向量。另外注意到可對(duì)角化矩陣的譜分解步驟：（1）首先求出矩陣的全部互異特徵值及每個(gè)特徵值所決定的線性無(wú)關(guān)特徵向量（2）寫(xiě)出（3）令（4）最後寫(xiě)出例：已知矩陣為一個(gè)可對(duì)角化矩陣，求其譜分解運(yùn)算式。解:首先求出矩陣的特徵值與特徵向量。容易計(jì)算從而的特徵值為可以求出分別屬於這三個(gè)特徵值的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特徵向量於是取令那麼其譜分解運(yùn)算式為練習(xí)：設(shè)矩陣（1）取何值時(shí)，可以對(duì)角化?（2）當(dāng)可對(duì)角化時(shí)，求可逆矩陣使得為對(duì)角矩陣。（3）當(dāng)可對(duì)角化時(shí)，求其譜分解運(yùn)算式。

矩陣函數(shù)

矩陣的多項(xiàng)式表示與矩陣的極小多項(xiàng)式定義：

已知和關(guān)於變數(shù)的多項(xiàng)式那麼我們稱(chēng)為的矩陣多項(xiàng)式。設(shè)為一個(gè)階矩陣，為其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，則於是有我們稱(chēng)上面的運(yùn)算式為矩陣多項(xiàng)式的Jordan表示。其中例已知多項(xiàng)式與矩陣求。解：首先求出矩陣的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及其相似變換矩陣那麼有定義：已知和關(guān)於變數(shù)的多項(xiàng)式如果滿(mǎn)足，那麼稱(chēng)為矩陣的一個(gè)零化多項(xiàng)式。定理：已知，為其特徵多項(xiàng)式，則有我們稱(chēng)此定理為Hamilton-Cayley定理。定義：已知，在的零化多項(xiàng)式中，次數(shù)最低且首項(xiàng)係數(shù)為1的零化多項(xiàng)式稱(chēng)為的最小多項(xiàng)式，通常記為。最小多項(xiàng)式的性質(zhì)：已知，那麼（1）矩陣的最小多項(xiàng)式是唯一的。（2）矩陣的任何一個(gè)零化多項(xiàng)式均能被整除。（3）相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式。如何求一個(gè)矩陣的最小多項(xiàng)式?首先我們考慮Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的最小多項(xiàng)式。例1：已知一個(gè)Jordan塊求其最小多項(xiàng)式。解：注意到其特徵多項(xiàng)式為，則由上面的定理可知其最小多項(xiàng)式一定具有如下形狀其中。但是當(dāng)時(shí)因此有例2：已知對(duì)角塊矩陣，分別為子塊的最小多項(xiàng)式，則的最小多項(xiàng)式為即為的最小公倍數(shù)。例3：求下列矩陣的最小多項(xiàng)式解：（1）首先求出其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為所以其最小多項(xiàng)式為。（2）此矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為從而其最小多項(xiàng)式為。（3）該矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為故其最小多項(xiàng)式為。（4）此矩陣本身就是一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，所以其最小多項(xiàng)式。

矩陣函數(shù)及其計(jì)算函數(shù)在矩陣譜上的值與矩陣函數(shù)定義：設(shè)，為的個(gè)互不相同的特徵值，為其最小多項(xiàng)式且有其中如果函數(shù)具有足夠高階的導(dǎo)數(shù)並且下列個(gè)值存在，則稱(chēng)函數(shù)在矩陣的譜上有定義。例：設(shè)又已知容易求得矩陣的最小多項(xiàng)式為並且所以在的譜上有定義。但是如果取容易求得矩陣的最小多項(xiàng)式為顯然不存在，所以在的譜上無(wú)定義?？紤]下麵兩個(gè)問(wèn)題：（1）設(shè)，如果有定義，那麼是否也有定義？（2）設(shè)且可逆，如果有定義，那麼是否也有定義？如果上述說(shuō)法正確，請(qǐng)予以證明；如果上述說(shuō)法不正確，請(qǐng)舉反例加以說(shuō)明。定義：設(shè)矩陣的最小多項(xiàng)式為函數(shù)在矩陣的譜上有定義，如果存在多項(xiàng)式且滿(mǎn)足則定義矩陣函數(shù)為如何求矩陣函數(shù)？矩陣函數(shù)的Jordan表示，多項(xiàng)式表示與冪級(jí)數(shù)表示定理：設(shè)，為矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，為其相似變換矩陣且使得

，如果函數(shù)在矩陣的譜上有定義，那麼其中我們稱(chēng)此運(yùn)算式為矩陣函數(shù)的Jordan表示。例1：設(shè)求的Jordan表示並計(jì)算。解：首先求出其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣與相似變換矩陣從而的Jordan表示為當(dāng)時(shí)，可得從而有當(dāng)時(shí)，可得於是有當(dāng)時(shí)，可得同樣可得例2：設(shè)求的Jordan表示並計(jì)算解：首先求出其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣與相似變換矩陣從而的Jordan表示為當(dāng)時(shí)，可得於是有當(dāng)時(shí)，可得故類(lèi)似可求得矩陣函數(shù)的多項(xiàng)式表示定理：設(shè)函數(shù)與函數(shù)在矩陣的譜上都有定義，那麼的充分必要條件是與在的譜上的值完全相同。設(shè)矩陣的最小多項(xiàng)式為其中為矩陣的個(gè)互異特徵值且

如何尋找多項(xiàng)式使得與所求的矩陣函數(shù)完全相同？根據(jù)計(jì)算方法中的Hermite插值多項(xiàng)式定理可知，在眾多的多項(xiàng)式中有一個(gè)次數(shù)為次的多項(xiàng)式且滿(mǎn)足條件這樣，多項(xiàng)式中的係數(shù)完全可以通過(guò)關(guān)係式確定出來(lái)。則我們稱(chēng)為矩陣函數(shù)的多項(xiàng)式表示。例1：設(shè)求的多項(xiàng)式表示並且計(jì)算解：容易觀察出該矩陣的最小多項(xiàng)式為這是一個(gè)3次多項(xiàng)式，從而存在一個(gè)次數(shù)為2的多項(xiàng)式且滿(mǎn)足於是可得解得所以其多項(xiàng)式表示為當(dāng)時(shí)，可得於是有當(dāng)時(shí)，可得故有類(lèi)似地有例2：設(shè)求的多項(xiàng)式表示並且計(jì)算解：容易觀察出該矩陣的最小多項(xiàng)式為這是一個(gè)3次多項(xiàng)式，從而存在一個(gè)次數(shù)為2的多項(xiàng)式且滿(mǎn)足於是有解得所以其多項(xiàng)式表示為當(dāng)時(shí)，可得於是有當(dāng)時(shí)，可得故有類(lèi)似地有例3：設(shè)求的多項(xiàng)式表示並且計(jì)算解：容易觀察出該矩陣的最小多項(xiàng)式為這是一個(gè)2次多項(xiàng)式，從而存在一個(gè)次數(shù)為1的多項(xiàng)式且滿(mǎn)足於是有解得所以其多項(xiàng)式表示為當(dāng)時(shí)，可得從而可得當(dāng)時(shí)，可得故有同樣可以得到練習(xí)：設(shè)求的多項(xiàng)式表示並且計(jì)算矩陣函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示定義：設(shè)，一元函數(shù)能夠展開(kāi)成關(guān)於的冪級(jí)數(shù)並且該冪級(jí)數(shù)地收斂半徑為。當(dāng)矩陣的譜半徑時(shí)，我們將收斂矩陣冪級(jí)數(shù)的和定義為矩陣函數(shù)，一般記為，即因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有所以對(duì)於任意的矩陣，當(dāng)時(shí)，我們有由此可以得到一些簡(jiǎn)單的推論：

矩陣指數(shù)函數(shù)與矩陣三角函數(shù)這裏我們主要討論兩種特殊矩陣函數(shù)的性質(zhì)，即定理：設(shè)，那麼當(dāng)時(shí)，我們有證明：首先證明第一個(gè)等式現(xiàn)在證明第二個(gè)等式同樣可以證明其餘的結(jié)論。注意：這裏矩陣與的交換性條件是必不可少的。例：設(shè)那麼容易計(jì)算並且於是有故有顯然三者互不相等。另外，關(guān)於矩陣的指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)還有下麵幾個(gè)特殊性質(zhì)。例：設(shè)是一個(gè)Hermite矩陣，那麼是一個(gè)酉矩陣。證明：由矩陣指數(shù)函數(shù)公式可得這表明為一個(gè)酉矩陣。例：設(shè)是一個(gè)實(shí)的反對(duì)稱(chēng)矩陣（或反-H陣），那麼為一個(gè)正交矩陣(或酉矩陣)。證明：設(shè)為一個(gè)實(shí)的反對(duì)稱(chēng)矩陣，那麼由矩陣指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示可得同樣可以證明當(dāng)為一個(gè)反H-矩陣時(shí)，為一個(gè)酉矩陣。其中為維輸入變數(shù)，維狀態(tài)向量，為矩陣?yán)碚摰暮?jiǎn)單應(yīng)用一：矩陣線上性系統(tǒng)與多變量控制中的應(yīng)用線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間性方程為

線性空間和線性映射分別為維輸出向量，矩陣為型矩陣且均為時(shí)間的函數(shù)矩陣。定義：如果上述方程中的矩陣都是常數(shù)矩陣，則稱(chēng)該系統(tǒng)是線性定常的。其狀態(tài)空間形方程為考慮一個(gè)線性定常系統(tǒng)

定義：對(duì)於上述系統(tǒng)，如果從狀態(tài)空間中的任意一點(diǎn)開(kāi)始，可以找到一個(gè)輸入，在有限的時(shí)間內(nèi)將狀態(tài)變數(shù)驅(qū)動(dòng)到原點(diǎn)，則稱(chēng)該系統(tǒng)是可控的；否則，稱(chēng)該系統(tǒng)是不可控的。定義：對(duì)於上述系統(tǒng)，如果在任一時(shí)刻的狀態(tài)可以由從這一時(shí)刻開(kāi)始的一個(gè)有限時(shí)間間隔上對(duì)輸入維零下的輸出的觀測(cè)來(lái)決定，則稱(chēng)該系統(tǒng)是可觀測(cè)的;否則，稱(chēng)該系統(tǒng)是不可觀測(cè)的。我們首先以單輸入單輸出系統(tǒng)為例。考慮系統(tǒng)下麵的單輸入單輸出系統(tǒng)：其中和是維向量，是矩陣，及是標(biāo)量。定理：上面的單輸入單輸出系統(tǒng)是可控的充分必要條件是可控性判別矩陣是可逆（非奇異）矩陣。例1：設(shè)由於矩陣是可逆矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可控的。例2：設(shè)由於矩陣是不可逆（奇異）矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是不可控的。定理：上面的單輸入單輸出系統(tǒng)是可觀測(cè)的充分必要條件是可觀測(cè)性判別矩陣是可逆（非奇異）矩陣。例3：設(shè)由於矩陣是可逆矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可觀測(cè)的。例4：設(shè)由於矩陣是不可逆（奇異）矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是不可觀測(cè)的。我們?cè)僖远噍斎攵噍敵鱿到y(tǒng)為例。考慮系統(tǒng)下麵的多輸入多輸出系統(tǒng)：定理：上面的多輸入多輸出系統(tǒng)是可控制的充分必要條件是可控制性判別矩陣是行滿(mǎn)秩的。該系統(tǒng)是可觀測(cè)的充分必要條件是可觀測(cè)性判別矩陣是列滿(mǎn)秩的。由於矩陣是行滿(mǎn)秩的，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可控制的。例5：設(shè)二矩陣?yán)碚撛谏飻?shù)學(xué)中的應(yīng)用在化的花瓣中存在一種特殊的生物模式。幾乎所有花，其花瓣數(shù)都是一種有規(guī)律的級(jí)數(shù)。例如百合花的花瓣有3瓣；毛茛屬的植物有5瓣花；許多翠雀屬的植物有8瓣花；萬(wàn)壽菊的花瓣有13瓣；紫菀屬的植物有21瓣花；大多數(shù)的雛菊有34，55，89

瓣花。另外，在向日葵的花盤(pán)內(nèi)葵花籽的螺旋式排列中也可以發(fā)現(xiàn)類(lèi)似的排列模式，同時(shí)植物的葉序中也存在此種現(xiàn)象。這就是著名的Fibonacci級(jí)數(shù)模式。我們稱(chēng)下麵的數(shù)列為Fibonacci級(jí)數(shù)。它滿(mǎn)足下述第推公式：以及初始條件：試求該數(shù)列的通項(xiàng)公式，並且求出極限

解：設(shè)因?yàn)椋粤钅屈N我們有於是我們?yōu)榱饲驠ibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式只需求出

即可，我們利用的相似標(biāo)準(zhǔn)形來(lái)化簡(jiǎn)的計(jì)算。

的特徵多項(xiàng)式為，它的兩個(gè)特徵根為：由此可以看出可以對(duì)角化。解齊次線性方程組可以得到它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：同理可得一個(gè)基礎(chǔ)解系是令那麼從而由遞推公式以及初始條件可得比較上式的第二個(gè)分量得這就是著名的Fibonacci數(shù)列通項(xiàng)公式，容易計(jì)算出：

這個(gè)數(shù)在最優(yōu)化中有重要的應(yīng)用，在最優(yōu)化中我們經(jīng)常運(yùn)用這個(gè)數(shù)來(lái)迅速縮短搜索區(qū)間，以便找出最優(yōu)點(diǎn)，這種方法也常稱(chēng)其為黃金分割法。第一節(jié)線性空間一：線性空間的定義與例子定義

設(shè)是一個(gè)非空的集合，是一個(gè)數(shù)域，在集和中定義兩種代數(shù)運(yùn)算,一種是加法運(yùn)算,用來(lái)表示;另一種是數(shù)乘運(yùn)算,用來(lái)表示,並且這兩種運(yùn)算滿(mǎn)足下列八條運(yùn)算律：（1）加法交換律（2）加法結(jié)合律（3）零元素在中存在一個(gè)元素，使得對(duì)於任意的都有（4）負(fù)元素對(duì)於中的任意元素都存在一個(gè)元素使得

（5）（6）（7）（8）稱(chēng)這樣的為數(shù)域上的線性空間。例1

全體實(shí)函數(shù)集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間。例2

複數(shù)域上的全體型矩陣構(gòu)成的集合為上的線性空間。

例3

實(shí)數(shù)域上全體次數(shù)小於或等於的多項(xiàng)式集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間例4

全體正的實(shí)數(shù)在下面的加法與數(shù)乘的定義下也構(gòu)成線性空間：

例5

表示實(shí)數(shù)域上的全體無(wú)限序列組成的的集合。即在中定義加法與數(shù)乘：則為實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間。例6

在中滿(mǎn)足Cauchy條件的無(wú)限序列組成的子集合也構(gòu)成上的線性空間。Cauchy條件是：使得對(duì)於都有例7

在中滿(mǎn)足Hilbert條件的無(wú)限序列組成的子集合不構(gòu)成上的線性空間。Hilbert條件是：級(jí)數(shù)收斂例8

在中有界的無(wú)限序列組成的子集也構(gòu)成上的線性空間。一個(gè)無(wú)限序列稱(chēng)為有界的，如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得二：線性空間的基本概念及其性質(zhì)定義:線性組合；線性表出；線性相關(guān)；線性無(wú)關(guān)；向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；向量組的秩基本性質(zhì)：（1）含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；（2）整體無(wú)關(guān)部分無(wú)關(guān)；部分相關(guān)整體相關(guān)；（3）如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那麼含有向量多的向量組一定線性相關(guān)；（4）向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無(wú)關(guān)並不唯一；（5）如果向量組（I）可以由向量組（II）線性表出，那麼向量組（I）的秩向量組（II）的秩；（6）等價(jià)的向量組秩相同。例1

實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組是一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的實(shí)數(shù)。例2

實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組是一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的實(shí)數(shù)。例3

實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組也是線性無(wú)關(guān)的。例4

實(shí)數(shù)域上的線性空間空間中，函數(shù)組與函數(shù)組都是線性相關(guān)的函數(shù)組。線性空間的基底，維數(shù)與座標(biāo)變換定義設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)線性空間。如果在中存在個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量使得中的任意一個(gè)向量都可以由線性表出則稱(chēng)為的一個(gè)基底；為向量在基底下的座標(biāo)。此時(shí)我們稱(chēng)為一個(gè)維線性空間，記為例1

實(shí)數(shù)域上的線性空間中向量組與向量組

都是的基。是3維線性空間。例2

實(shí)數(shù)域上的線性空間中的向量組與向量組都是的基。是4維線性空間。例3

實(shí)數(shù)域上的線性空間中的向量組

與向量組都是的基底。的維數(shù)為注意：

通過(guò)上面的例子可以看出線性空間的基底並不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。利用維數(shù)的定義線性空間可以分為有限維線性空間和無(wú)限維線性空間。目前，我們主要討論有限維的線性空間。例4

在4維線性空間中，向量組

與向量組是其兩組基，求向量在這兩組基下的座標(biāo)。解：設(shè)向量在第一組基下的座標(biāo)為於是可得解得同樣可解出在第二組基下的座標(biāo)為由此可以看出：一個(gè)向量在不同基底下的座標(biāo)是不相同的。基變換與座標(biāo)變換設(shè)（舊的）與（新的）是維線性空間的兩組基底，它們之間的關(guān)係為

將上式矩陣化可以得到下麵的關(guān)係式：稱(chēng)階方陣是由舊的基底到新的基底的過(guò)渡矩陣，那麼上式可以寫(xiě)成定理：過(guò)渡矩陣是可逆的。任取，設(shè)在兩組基下的座標(biāo)分別為

與，那麼我們有：稱(chēng)上式為座標(biāo)變換公式。例1在4維線性空間中，向量組與向量組為其兩組基，求從基到基的過(guò)渡矩陣，並求向量在這兩組基下的座標(biāo)。解：容易計(jì)算出下麵的矩陣運(yùn)算式向量第一組基下的座標(biāo)為利用座標(biāo)變換公式可以求得在第二組基下的座標(biāo)為例2

教材13頁(yè)例1.2.6

線性空間的子空間定義設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)維線性空間，為的一個(gè)非空子集合，如果對(duì)於任意的以及任意的都有那麼我們稱(chēng)為的一個(gè)子空間。例1對(duì)於任意一個(gè)有限維線性空間，它必有兩個(gè)平凡的子空間，即由單個(gè)零向量構(gòu)成的子空間

以及線性空間本身。例2

設(shè)，那麼線性方程組的全部解為維線性空間的一個(gè)子空間，我們稱(chēng)其為齊次線性方程組的解空間。當(dāng)齊次線性方程組有無(wú)窮多解時(shí)，其解空間的基底即為其基礎(chǔ)解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)。例3

設(shè)為維線性空間中的一組向量，那麼非空子集合

構(gòu)成線性空間的一個(gè)子空間，稱(chēng)此子空間為有限生成子空間，稱(chēng)為該子空間的生成元。的基底即為向量組

的極大線性無(wú)關(guān)組，的維數(shù)即為向量組的秩。例4

實(shí)數(shù)域上的線性空間中全體上三角矩陣集合，全體下三角矩陣集合，全體對(duì)稱(chēng)矩陣集合，全體反對(duì)稱(chēng)矩陣集合分別都構(gòu)成的子空間，問(wèn)題：這幾個(gè)子空間的基底與維數(shù)分別時(shí)什麼？子空間的交與和

矩陣（或線性變換）的特徵值與特徵向量

定義設(shè)是數(shù)域上的線性空間的一個(gè)線性變換，如果對(duì)於數(shù)域中任一元素，中都存在一個(gè)非零向量，使得

那麼稱(chēng)為的一個(gè)特徵值，而稱(chēng)為的屬於特徵值的一個(gè)特徵向量?，F(xiàn)在設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，中取定一個(gè)基，設(shè)線性變換在這組基下的矩陣是，向量在這組基下的座標(biāo)是，。那麼我們有

由此可得定理：

是的特徵值是的特徵值

是的屬於的特徵向量是的屬於的特徵向量因此，只要將的全部特徵值求出來(lái)，它們就是線性變換的全部特徵值；只要將矩陣的屬於的全部特徵向量求出來(lái)，分別以它們?yōu)樽鶚?biāo)的向量就是的屬於的全部特徵向量。例1

設(shè)是數(shù)域上的3維線性空間，是上的一個(gè)線性變換，在的一個(gè)基下的矩陣是求的全部特徵值與特徵向量。解：的特徵多項(xiàng)式為所以的特徵值是（二重）與。對(duì)於特徵值，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：從而的屬於的極大線性無(wú)關(guān)特徵向量組是於是的屬於的全部特徵向量是

這裏為數(shù)域中不全為零的數(shù)對(duì)。對(duì)於特徵值，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：

從而的屬於的極大線性無(wú)關(guān)特徵向量組是於是的屬於的全部特徵向量這裏為數(shù)域中任意非零數(shù)。

矩陣的相似與相似對(duì)角化相似矩陣的性質(zhì)：相似矩陣有相同的特徵多項(xiàng)式，有相同的特徵值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡，有相同的譜。矩陣的特徵值與特徵向量的性質(zhì)：（1）階矩陣的屬於特徵值的全部特徵向量再添上零向量，可以組成的一個(gè)子空間，稱(chēng)之為矩陣的屬於特徵值的特徵子空間，記為，不難看出正是特徵方程組的解空間。（2）屬於不同特徵值的特徵向量是線性無(wú)關(guān)的。（3）設(shè)是的個(gè)互不同的特徵值，的幾何重?cái)?shù)為，是對(duì)應(yīng)於的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特徵向量，則的所有這些特徵向量仍然是線性無(wú)關(guān)的。（4）任意一個(gè)特徵值的幾何重?cái)?shù)不大於它的代數(shù)重?cái)?shù)。（5）一個(gè)特徵向量不能屬於不同的特徵值。矩陣（線性變換）的相似對(duì)角化定義數(shù)域上的維線性空間的一個(gè)線性變換稱(chēng)為可以對(duì)角化的，如果中存在一個(gè)基底，使得在這個(gè)基底下的矩陣為對(duì)角矩陣。我們?cè)谥腥《ㄒ粋€(gè)基底，設(shè)線性變換在這個(gè)基下的矩陣為，那麼可以得到下麵的定理定理：可以對(duì)角化可以對(duì)角化。定理：階矩陣可以對(duì)角化的充分必要條件是

有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特徵向量。定理：階矩陣可以對(duì)角化的充分必要條件是每一個(gè)特徵值的代數(shù)重?cái)?shù)等於其幾何重?cái)?shù)。例1

判斷矩陣是否可以對(duì)角化？解：先求出的特徵值於是的特徵值為（二重）由於是單的特徵值，它一定對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特徵向量。下麵我們考慮於是從而不可以相似對(duì)角化。例2

設(shè)是數(shù)域上的3維線性空間，是上的一個(gè)線性變換，在的一個(gè)基下的矩陣是判斷是否可以對(duì)角化？解：根據(jù)前面例題的討論可知有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特徵向量:因此可以對(duì)角化，在這組基下的矩陣是由基到基的過(guò)渡矩陣是於是有例3

數(shù)域上的維線性空間的任一冪等變換一定可以對(duì)角化。

第二章－矩陣與矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形再見(jiàn)！再見(jiàn)！

向量與矩陣的範(fàn)數(shù)

定義：

設(shè)是實(shí)數(shù)域（或複數(shù)域）上的維線性空間，對(duì)於中的任意一個(gè)向量按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)稱(chēng)為的範(fàn)數(shù)，記為，並且要求範(fàn)數(shù)滿(mǎn)足下列運(yùn)算條件：

（1）非負(fù)性：當(dāng)只有且僅有當(dāng)

（2）齊次性：為任意數(shù)。（3）三角不等式：對(duì)於中的任意兩個(gè)向量都有例：在維線性空間中，對(duì)於任意的向量定義證明：都是上的範(fàn)數(shù)，並且還有引理（Hoider不等式）：設(shè)則其中且。引理（Minkowski不等式）：設(shè)則其中實(shí)數(shù)。幾種常用的範(fàn)數(shù)定義：設(shè)向量，對(duì)任意的數(shù)