數(shù)學(xué)九年級上冊專題21.3 直接開平方法解一元二次方程-重難點題型（人教版）（教師版）

專題21.3直接開平方法解一元二次方程-重難點題型【人教版】【知識點1直接開平方法解一元二次方程】根據(jù)平方根的意義直接開平方來解一元二次方程的方法，叫做直接開平方法.直接降次解一元二次方程的步驟:①將方程化為x2=p(p≥0)或②直接開平方化為兩個一元一次方程；③解兩個一元一次方程得到原方程的解.【題型1直接開平方法解一元二次方程的條件】【例1】（2020秋?環(huán)江縣期末）若關(guān)于x的方程x2﹣m＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0【分析】根據(jù)直接開平方法求解可得．【解答】解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故選：D．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2020秋?樂亭縣期中）若方程（x﹣1）2＝m+1有解，則m的取值范圍是（）A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m為任意實數(shù) D．m＞0【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可知（x﹣1）2≥0，所以當m+1≥0時，關(guān)于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，由此求出m的取值范圍．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（x﹣1）2＝m+1有解，∴m+1≥0，∴m≥﹣1．故選：B．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．【變式1-2】（2020春?南崗區(qū)校級月考）若（4x﹣3）2＝m+3無實數(shù)解，則m的取值范圍是．【分析】根據(jù)方程無實數(shù)根，得到方程右邊為負數(shù)，求出m的范圍即可．【解答】解：∵（4x﹣3）2＝m+3無實數(shù)解，∴m+3＜0，解得：m＜﹣3．故答案為：m＜﹣3．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握平方根性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2020秋?鼓樓區(qū)校級月考）已知關(guān)于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有兩個實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若方程有一個根為2，求方程的另外一個根．【分析】（1）利用非負數(shù)的性質(zhì)得到4m﹣1≥0，然后解不等式即可；（2）先把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1中求出m，則方程化為（x﹣1）2＝1，然后利用直接開平方法解方程即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得4m﹣1≥0，解得m≥1（2）把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1得（2﹣1）2＝4m﹣1，解得m=1∴方程化為（x﹣1）2＝1，∴x﹣1＝±1，解得x1＝2，x2＝0，∴方程的另一個根為0．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．【題型2解形如x2=p(p【例2】（2020秋?梁溪區(qū)校級期中）解方程：（1）x2＝9；（2）4x2﹣25＝0．【分析】利用直接開平方法求解即可．【解答】解：（1）∵x2＝9，∴x1＝3，x2＝﹣3；（2）∵4x2﹣25＝0，∴4x2＝25，則x2=25∴x1=52，x2【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2020秋?江城區(qū)期中）解方程4x2﹣13＝12【分析】移項，合并同類項，兩邊開方，即可求出答案．【解答】解：移項得：4x2＝13+12，4x2＝25，x2x=±25x1【點評】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．【變式2-2】（2020秋?馬山縣期中）解方程：1﹣8x+16x2＝2﹣8x．【分析】先將方程移項、合并同類項得到16x2＝1，再兩邊同時除以16，得到x2=116，從而把問題轉(zhuǎn)化為求【解答】解：1﹣8x+16x2＝2﹣8x，移項、合并同類項，得16x2＝1，兩邊同時除以16，得x2=1解得x＝±14【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．注意：（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．【變式2-3】（2020春?金山區(qū)期中）解關(guān)于x的方程：x2﹣1＝1﹣ax2（a≠﹣1）．【分析】采用直接開平方的方法解一元二次方程解答即可．【解答】解：x2﹣1＝1﹣ax2（a≠﹣1）．（1+a）x2＝2，當a＜﹣1，無解，當a＞﹣1，x=±2x1【點評】此題考查解一元二次方程，關(guān)鍵是直接開平方的方法解一元二次方程解答．【題型3解形如(mx+n)2=p(p【例3】（2021?廣州校級期中）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．【分析】根據(jù)直接開方法即可求出答案．【解答】解：∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，∴（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝±3，∴x＝2或﹣1【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式3-1】（2020春?蜀山區(qū)期中）解方程：12（y+2）2【分析】先把給出的方程進行整理，再利用直接開方法求出解即可．【解答】解：12（y+2）2（y+2）2＝12，y+2＝±23，y1＝23?2，y2＝﹣23【點評】此題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握各種解法是解本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2020秋?孟津縣期末）解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．【分析】直接開平方法解一元二次方程，關(guān)鍵把方程化為x2＝p或（mx+n）2＝p（p≥0）形式，再運用算術(shù)平方根意義求解．【解答】解：直接開平方，得y+2＝±（3y﹣1）即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），解得：y1=32，y2【點評】考查了解一元二次方程﹣直接開平方法．解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．（2）運用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體．（3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．【變式3-3】（2021秋?孝南區(qū)月考）解方程：4x2+12x+9＝81．【分析】利用完全平方公式變形得到（2x+3）2＝81，然后利用直接開平方法解方程．【解答】解：（2x+3）2＝81，2x+3＝±9，即2x+3＝9或2x+3＝﹣9，所以x1＝3，x2＝﹣6．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．【題型4已知方程的根求字母的值】【例4】（2020秋?武昌區(qū)校級期中）如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一個根，這個方程的另一個根為．【分析】將x＝2代入方程得出c的值，從而還原方程，再利用直接開平方法求解即可得出答案．【解答】解：將x＝2代入方程，得：4﹣c＝0，解得c＝4，∴方程為x2﹣4＝0，則x2＝4，∴x＝2或x＝﹣2，即這個方程的另一個根為x＝﹣2，故答案為：x＝﹣2．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2020秋?龍湖區(qū)期末）若關(guān)于x的方程（ax﹣1）2﹣16＝0的一個根為2，則a的值為．【分析】將x＝2代入原方程即可求出a的值．【解答】解：將x＝2代入（ax﹣1）2﹣16＝0，∴（2a﹣1）2﹣16＝0，∴2a﹣1＝±4，∴a1=52或a2故答案為：52或?【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式4-2】（2020秋?楊浦區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程a（x﹣m）2＝3的兩根為12±123，其中a、m為兩數(shù)，則a＝，m【分析】利用配方法求解即可．【解答】解：∵a（x﹣m）2＝3，∴（x﹣m）2=3則x﹣m＝±3a∴x＝m±3a根據(jù)題意知m=12，故答案為：4，12【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2020秋?于洪區(qū)校級月考）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩個根分別是m+1與2m﹣4，則ab=【分析】根據(jù)直接開方法即可求出答案．【解答】解：由題意可知：m+1+2m﹣4＝0，∴m＝1，∴m+1＝2，∴x2=ba=（m∴ab故答案為：14【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．【題型5已知方程的解求另一個方程的解】【例5】（2020秋?湖里區(qū)校級月考）方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，則方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（）A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣4，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝x2＝﹣2【分析】根據(jù)方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，可知方程a（x+m+2）2+b＝0的解比方程a（x+m）2+b＝0的解小2，從而可以得到方程a（x+m+2）2+b＝0的解．【解答】解：∵方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，∴方程a（x+m+2）2+b＝0的兩個解是x3＝﹣2﹣2＝﹣4，x4＝1﹣2＝﹣1，故選：B．【點評】本題考查解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出所求方程的解．【變式5-1】（2021春?阜陽月考）若關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），則方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝0【分析】將方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0變形為a（x+m﹣1）2+b＝0，再結(jié)合關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1知方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，從而得出答案．【解答】解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，∴a（x+m﹣1）2+b＝0，又∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），∴方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，解得x1＝3，x2＝0，故選：D．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2020秋?石家莊期中）關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m為常數(shù)，a≠0），則方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是．【分析】可把方程a（x+m+1）2+b＝0看作關(guān)于x+1的一元二次方程，從而得到x+1＝﹣3，x+1＝2，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：把方程a（2x+m+1）2+b＝0看作關(guān)于2x+1的一元二次方程，而關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，所以2x+1＝﹣3，2x+1＝2，所以x1＝﹣2，x2＝12故答案為x1＝﹣2，x2＝12【點評】本題考查了一元二次方程的解，根據(jù)題意得到關(guān)于x的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2020秋?海陵區(qū)校級月考）已知關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m均為常數(shù)，且a≠0）的兩個解是x1＝3和x2＝7，則方程4a(x+12m)2+【分析】根據(jù)題意可求出ba、m的值，然后代入方程4a(x+1【解答】解：∵a（x+m）2+b＝0的兩解為x1＝3和x2＝7，∴a(3+m)解得：m=?5b∵4a(x+12∴4（x+12m）2∴4（x?52）∴x=72或x故答案為：x=72或【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出ba、m【題型6直接開平方法解新定義問題】【例6】（2020秋?欽州期末）給出一種運算：對于函數(shù)y＝xn，規(guī)定y'＝nxn﹣1．例如：若函數(shù)y＝x4，則有y'＝4x3．已知函數(shù)y＝x3，那么方程y′＝18的解是（）A．x1=6，x2=?6 B．x1＝6，x2C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x1＝32，x2＝﹣32【分析】先根據(jù)新定義得出y′＝3x2，再結(jié)合y′＝18知3x2＝18，據(jù)此利用直接開平方法求解即可．【解答】解：∵y＝x3，∴y′＝3x2，∵y′＝18，∴3x2＝18，則x2＝6，∴x1=6，x2=?故選：A．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2020秋?樊城區(qū)期末）實數(shù)p，q用符號min（p，q）表示p，q，兩數(shù)中較小的數(shù)，如min（1，2）＝1，若min（x2﹣1，x2）＝1，則x＝．【分析】先判斷出x2﹣1＜x2，從而由min（x2﹣1，x2）＝1知x2﹣1＝1，再利用直接開平方法求解即可．【解答】解：∵x2﹣1＜x2，∴由min（x2﹣1，x2）＝1知x2﹣1＝1，則x2＝2，∴x=±2故答案為：±2【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2020秋?灌云縣期中）定義一種新運算“a*b”：當a≥b時，a*b＝a+3b；當a＜b時，a*b＝a﹣3b，例如：3*（﹣4）＝3+（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6﹣36＝﹣42．（1）x2*（x2﹣2）＝30，則x＝；（2）小明在計算（﹣3x2+6x﹣5）（﹣x2+2x+3）隨取了一個x的值進行計算，得到的結(jié)果是40，小華說小明計算錯了，請你說明小華是如何判斷的．【分析】（1）根據(jù)x2*（x2﹣2）＝30知x2+3（x2﹣2）＝30，解之可得答案；（2）由（﹣3x2+6x﹣5）﹣（﹣x2+2x+3）＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0知﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3，據(jù)此得（﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣14，從而得出答案．【解答】解：（1）∵x2*（x2﹣2）＝30，∴x2+3（x2﹣2）＝30，解得x＝±3，故答案為：±3．（2）∵（﹣3x2+6x﹣5）﹣（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0，∴﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3，（﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣3x2+6x﹣5+3x2﹣6x﹣9＝﹣14，∵化簡后的結(jié)果與x取值無關(guān)，∴不論x取何值，結(jié)果都應(yīng)該等于﹣14，不可能等于40，∴小華說小明計算錯誤．【點