高等數(shù)學課件-D19連續(xù)函數(shù)的運算

高等數(shù)學課件--D19連續(xù)函數(shù)的運算目錄連續(xù)函數(shù)的基本概念連續(xù)函數(shù)的四則運算復合函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性01連續(xù)函數(shù)的基本概念如果函數(shù)在某點的極限值等于函數(shù)值，則函數(shù)在該點連續(xù)。連續(xù)性定義對于函數(shù)在某點的極限，可以分別考慮從左側和右側趨近該點的函數(shù)值，這兩個極限值分別稱為左極限和右極限。左極限與右極限根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)性的不同，可以分為第一類間斷點（可去間斷點和跳躍間斷點）和第二類間斷點（無窮間斷點和振蕩間斷點）。連續(xù)性的分類連續(xù)性的定義局部性質如果函數(shù)在某點的極限存在，則該點附近的函數(shù)值可以由該極限值唯一確定。整體性質如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則該函數(shù)在該區(qū)間上取得最大值和最小值。介值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且該區(qū)間兩端點的函數(shù)值異號，則該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少存在一個零點。連續(xù)函數(shù)的性質123如果函數(shù)在某點的導數(shù)存在，則該函數(shù)在該點可微?？晌⒑瘮?shù)的定義一階導數(shù)存在且連續(xù)的函數(shù)不一定是可微的，但可微的函數(shù)其一階導數(shù)必定存在且連續(xù)。一階導數(shù)與連續(xù)性高階導數(shù)的連續(xù)性與函數(shù)的可微性沒有直接關系，但高階導數(shù)的連續(xù)性有助于研究函數(shù)的局部性質。高階導數(shù)與連續(xù)性連續(xù)函數(shù)與可微函數(shù)的關系02連續(xù)函數(shù)的四則運算兩個連續(xù)函數(shù)之和仍為連續(xù)函數(shù)總結詞設$f(x)$和$g(x)$在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則$F(x)=f(x)+g(x)$在對應區(qū)間內(nèi)也連續(xù)。詳細描述加法運算總結詞兩個連續(xù)函數(shù)之差仍為連續(xù)函數(shù)詳細描述設$f(x)$和$g(x)$在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則$F(x)=f(x)-g(x)$在對應區(qū)間內(nèi)也連續(xù)。減法運算乘法運算總結詞兩個連續(xù)函數(shù)之積仍為連續(xù)函數(shù)詳細描述設$f(x)$和$g(x)$在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則$F(x)=f(x)timesg(x)$在對應區(qū)間內(nèi)也連續(xù)。兩個連續(xù)函數(shù)相除可能為連續(xù)函數(shù)，也可能為不連續(xù)函數(shù)設$f(x)$和$g(x)$在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且$g(x)neq0$，則$frac{f(x)}{g(x)}$在對應區(qū)間內(nèi)也連續(xù)。但若$g(x)=0$，則函數(shù)$frac{f(x)}{g(x)}$在該點處不連續(xù)。除法運算詳細描述總結詞03復合函數(shù)的連續(xù)性由兩個或多個函數(shù)通過一定的規(guī)則組合而成的函數(shù)。復合函數(shù)設$f(x)$和$g(u)$是兩個函數(shù)，若對所有$x$，存在$u=g(x)$，使得$f(u)=f[g(x)]$有意義，則稱$f[g(x)]$為復合函數(shù)。形式化定義復合函數(shù)的定義復合函數(shù)的連續(xù)性判斷如果對于復合函數(shù)$f[g(x)]$，當$x$在某區(qū)間內(nèi)取值時，$f[g(x)]$的值隨$x$的變化而連續(xù)變化，則稱復合函數(shù)$f[g(x)]$在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)。連續(xù)性定義首先確定函數(shù)$g(x)$在某區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性，然后檢查$f(u)$在$u=g(x)$處的連續(xù)性。如果兩者都連續(xù)，則復合函數(shù)$f[g(x)]$在該區(qū)間內(nèi)也連續(xù)。判斷方法原函數(shù)連續(xù)性對復合函數(shù)連續(xù)性的影響如果原函數(shù)$f(u)$和$g(x)$都連續(xù)，則復合函數(shù)$f[g(x)]$也連續(xù)。但如果只有$f(u)$連續(xù)，而$g(x)$不連續(xù)，則復合函數(shù)$f[g(x)]$可能不連續(xù)。要點一要點二復合函數(shù)連續(xù)性對原函數(shù)連續(xù)性的影響如果復合函數(shù)$f[g(x)]$連續(xù)，這并不能保證原函數(shù)$f(u)$或$g(x)$一定連續(xù)。復合函數(shù)與原函數(shù)的連續(xù)性關系04反函數(shù)的連續(xù)性VS如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)，并且f(x)值域為J，則存在反函數(shù)x=g(y)，使得當y在J上任意取值時，x在I上有唯一確定的值與之對應。反函數(shù)的性質反函數(shù)與原函數(shù)在對應區(qū)間上單調(diào)性相反，即如果原函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)遞增（或遞減），則反函數(shù)在對應的值域J上單調(diào)遞減（或遞增）。反函數(shù)的定義反函數(shù)的定義與性質如果對于任意給定的正數(shù)ε，存在一個正數(shù)δ，使得當|x-c|<δ時，有|f(x)-f(c)|<ε，則稱函數(shù)f在點c處連續(xù)。如果原函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，則反函數(shù)在對應的值域J上也連續(xù)。具體來說，如果f(x)在I上連續(xù)，則g(y)在J上也連續(xù)。連續(xù)性的定義反函數(shù)連續(xù)性判斷反函數(shù)的連續(xù)性判斷原函數(shù)與反函數(shù)連續(xù)性一致如果原函數(shù)在某點連續(xù)，則其反函數(shù)在該點的值域內(nèi)也連續(xù)。同樣地，如果反函數(shù)在某點連續(xù)，則原函數(shù)在該點的定義域內(nèi)也連續(xù)。單調(diào)性與連續(xù)性關系如果一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)，并且連續(xù)，則其反函數(shù)在該值域上也是連續(xù)的。這一性質在解決一些數(shù)學問題時非常有用，例如求極限、判斷積分等。反函數(shù)與原函數(shù)的連續(xù)性關系05初等函數(shù)的連續(xù)性總結詞冪函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，其圖像在定義域內(nèi)是光滑的。詳細描述冪函數(shù)$f(x)=x^a$（$a$為實數(shù)）在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。這是因為當$x$在定義域內(nèi)變化時，$f(x)$的值會連續(xù)變化，不會出現(xiàn)跳躍或間斷的情況。冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，其圖像在定義域內(nèi)是光滑的?？偨Y詞指數(shù)函數(shù)$f(x)=a^x$（$a$為正實數(shù)，且$aneq1$）在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。這是因為當$x$在定義域內(nèi)變化時，$f(x)$的值會連續(xù)變化，不會出現(xiàn)跳躍或間斷的情況。詳細描述指數(shù)函數(shù)總結詞對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，其圖像在定義域內(nèi)是光滑的。詳細描述對數(shù)函數(shù)$f(x)=log_ax$（$a$為正實數(shù)，且$a>0$）在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。這是因為當$x$在定義域內(nèi)變化時，$f(x)$的值會連續(xù)變化，不會出現(xiàn)跳躍或間斷的情況。對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)在其定義域內(nèi)