許昌市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

許昌市2021—2022學(xué)年第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測高二文科數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過解不等式求出集合、，再求交集.【詳解】由，得，故；由得，故，則，所以A正確.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z＝（）A.1－i B.－1－i C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可【詳解】由題意，，故故選：C3.下列命題中不正確的命題為（）A.三角形全等是三角形面積相等的充要條件B.每個指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)C.是周期函數(shù)D.是偶函數(shù)【答案】A【解析】【分析】對于A：三角形全等可得三角形面積相等，三角形面積相等但三角形不一定全等，結(jié)合充要條件理解判斷；對于B：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性理解判斷；對于C：根據(jù)正弦函數(shù)的周期性判斷；對于D：利用偶函數(shù)定義證明判斷．【詳解】三角形全等可得三角形面積相等，三角形面積相等但三角形不一定全等，A不正確；當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減∴每個指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，B正確；是最小正周期為的周期函數(shù)，C正確；∵，且的定義域為R，所以該函數(shù)是偶函數(shù)，D正確；故選：A．4.在等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等比數(shù)列的基本量即可完成相應(yīng)的計算.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，，即，，則，，則，所以D正確.故選：D.5.雙曲線與有相同的（）A.離心率 B.漸近線 C.實軸長 D.焦點【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程判斷焦點在軸上，并求，進而確定離心率、漸近線、實軸長和焦點．【詳解】對于雙曲線可得：焦點在軸上，則離心率，漸近線，實軸長，焦點對于雙曲線可得：焦點在軸上，則離心率，漸近線，實軸長，焦點∴ABC錯誤，D正確故選：D．6.為研究變量x，y的相關(guān)關(guān)系，收集得到下面五個樣本點（x，y）：x5.56.577.58.5y98643若由最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為，則據(jù)此計算殘差為1.1的樣本點是（）A.（5.5，9） B.（6.5，8） C.（7，6） D.（7.5，4）【答案】B【解析】【分析】先求出回歸方程樣本中心點，從而可求得，再根據(jù)殘差的定義可判斷.【詳解】由題意可知，，，所以回歸方程的樣本中心點為，因此有，所以，當時，；當時，；當時，；當時，；故選：B7.已知函數(shù)，，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的所有點（）A.橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位得到B.橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位得到C.橫坐標伸長為原來的倍，再向左平移個單位得到D.橫坐標伸長為原來的倍，再向左平移個單位得到【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象變化前后的解析式，確定圖象的變換過程.【詳解】由，而，∴將函數(shù)的圖象上的所有點橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位得到.故選：B8.已知，，向量，不共線，則向量與互相垂直的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量垂直，即可求解.【詳解】解：由題意，，解得，故選：C.9.若實數(shù)a，b，c滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別分析的范圍，結(jié)合判斷即可【詳解】因為，故，又，所以，則，所以.故選：D10.如圖，在平面四邊形ABCD中，，∠ADC＝45°，∠ACD＝105°，∠B＝60°，AB＋BC＝4，則三角形ABC的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在中，由正弦定理求出AC長，在中，由余弦定理求AB，BC，再利用三角形的面積公式求三角形ABC面積.【詳解】在中，，由正弦定理有：，解得AC=2，在中，設(shè)AB=x，則BC=4-x，由余弦定理有：，即，解得：x=2，所以AB=BC=2，由三角形的面積公式有：=.故B，C，D錯誤.故選：A.11.已知，是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上，則的最大值為（）A.13 B.12 C.9 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求得，再由橢圓的定義可得，利用基本不等式即可求解．【詳解】解：由橢圓可得，所以，因為點在上，所以，所以，當且僅當時等號成立，最大值為9.故選：C．12.如圖，在長方體中，M，N分別為棱，的中點，下列判斷中正確的個數(shù)為（）

①直線；②平面；③平面ADM.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求得相關(guān)點的坐標，利用向量的運算結(jié)合數(shù)量積的含義即可判斷①③，根據(jù)長方體的性質(zhì)可判斷②.【詳解】設(shè)長方體棱長為，以D為坐標原點，分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則故,,故直線不成立，①不正確；在長方體中，平面，②正確，因為，設(shè)平面ADM的法向量為，則，令，則，則，而，故，故平面ADM.不成立，故③錯誤，故選：B二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.若變量x，y滿足約束條件，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出平面區(qū)域，由得，即求直線在軸截距的最大值，數(shù)形結(jié)合可得在點點處取到最大值，運算求解．【詳解】平面區(qū)域如圖所示：∵，即，則求直線在軸截距的最大值結(jié)合圖像可得：在點處取到最大值聯(lián)立方程，則，即點∴的最大值為故答案為：．14.已知曲線在點處的切線方程為，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，根據(jù)切點坐標可得，列方程求解．【詳解】，則∵在點處的切線方程為∴可得，解得則故答案為：．15.在五一假期當天，假設(shè)某商業(yè)中心有一個新冠病毒感染者未被發(fā)現(xiàn)且未佩戴口罩，當天有10萬人進入過該商業(yè)中心．若其中有20%的人與感染者有近距離接觸，并且其中有15%的人未佩戴口罩．則五一當天進入該商業(yè)中心被感染的人數(shù)約為______．（近距離接觸時，若你和感染者都未佩戴口罩，則感染率為90%；若你戴口罩，感染者未戴口罩，則感染率為30%）【答案】【解析】【分析】分別計算戴口罩和未戴口罩被感染的人數(shù)求和即可【詳解】由題意，當天有人與感染者有近距離接觸，其中未戴口罩的有人，戴口罩的有人.故估計五一當天進入該商業(yè)中心被感染的人數(shù)約為故答案為：16.已知直線l過點，且垂直于x軸.若l被拋物線截得的線段長為，則拋物線的焦點坐標為___________.【答案】【解析】【分析】確定，將代入中，求得，進而根據(jù)弦長求得a，可得拋物線方程，即得答案.【詳解】由題意可判斷，將代入中，可得，則，故，則，其焦點坐標為，故答案為：三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求；（2）若，.①求的值；②求的面積.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；（2）①由正弦定理求出，再代入計算可得；②首先利用兩角和的正弦公式求出，再根據(jù)面積公式計算可得；小問1詳解】解：由得，由余弦定理知，，又，所以.【小問2詳解】解：①由正弦定理，有，又，所以，所以，所以.②由所以.18.某測試團隊為了研究“飲酒”對“駕車安全”的影響，隨機選出100名駕駛員先后在無酒狀態(tài)?酒后狀態(tài)下進行“停車距離”測試，測試的方案：電腦模擬駕駛，以某速度勻速行駛，記錄下駕駛員的“停車距離”（駕駛員從看到意外情況到車子停下所需要的距離），無酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗數(shù)據(jù)分別列于下表.表1停車距離d（米）頻數(shù)26ab82表2平均每毫升血液酒精含量x（毫克）1030507090平均停車距離y（米）3050607090已知表1數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值為26，完成下列各題.（1）求a，b的值，并估計駕駛員在無酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù)；（2）根據(jù)最小二乘法，由表2的數(shù)據(jù)計算y關(guān)于x的回歸方程；（3）該測試團隊認為：若駕駛員酒后駕車的平均“停車距離”y大于（1）中無酒狀態(tài)下的停車距離的平均數(shù)的3倍，則認定駕駛員是“醉駕”;請根據(jù)（2）中的回歸方程，預(yù)測當每毫升血液酒精含量大于多少毫克時為“醉駕”.【答案】（1）=40，=24，平均數(shù)為27（2）（3）當每毫升血液酒精含量大于80毫克時，認定為“醉駕”【解析】【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義列出方程，解得a的值，結(jié)合抽查人數(shù)求得b，根據(jù)平均數(shù)的計算公式求得數(shù)據(jù)的平均值;（2）根據(jù)最小二乘法求得，即得回歸方程；（3）確定醉駕時，解不等式可得答案【小問1詳解】依題意，得，解得,又，解得=24，故停車距離的平均數(shù)為.【小問2詳解】依題意，得，，,，所以回歸方程為.【小問3詳解】由（1）知當時，認定駕駛員是“醉駕”.令，得，解得，則當每毫升血液酒精含量大于80毫克時，認定為“醉駕”.19.如圖，四棱錐的底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是SD上的點，且.（1）求證：；（2）若點B到平面ACE的距離為，求實數(shù)的值.【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】（1）連接，即可得到，再由線面垂直的性質(zhì)得到，即可得到AC⊥平面SBD，即可得證；（2）設(shè)點B到平面ACE的距離為，由利用等體積法，求出，即可求出；【小問1詳解】證明：連接BD，由底面ABCD是正方形，可得AC⊥BD.∵SD⊥平面ABCD，平面ABCD∴SD⊥AC，又，平面SBD，∴AC⊥平面SBD.∵平面SBD，∴AC⊥BE.【小問2詳解】解：設(shè)點B到平面ACE的距離為h.△ABC的面積，故三棱錐E-ABC的體積.，△AEC的面積，故三棱錐B-AEC的體積.由可得，解得，又，解得.即實數(shù)的值為1.20.已知雙曲線的離心率為，右焦點F與點的連線與其一條漸近線平行.（1）求雙曲線C的方程；（2）經(jīng)過點F的直線l與雙曲線C的右支交于點A?B，試問是否存在一定點P，使恒成立，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于a,b的等式，結(jié)合離心率即可求得a,b，可得雙曲線方程；（2）判斷出符合題意的點存在，并判斷其位于軸上；然后進行說明理由，設(shè)直線線方程，并聯(lián)立雙曲線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合可得?的斜率之和為，列出等式并化簡即可求得參數(shù)的值，從而說明結(jié)論成立.【小問1詳解】設(shè)，由條件知的斜率等于，即，又，,，，雙曲線的方程為：.【小問2詳解】存在點滿足恒成立，且點在軸上.理由如下:設(shè)點，過點，設(shè)直線,由,消去得,,設(shè)，由韋達定理得，①,，②，?的斜率之和為，即，因為，，所以代入整理得：，③將①②代入③可得，即,④④式對任意實數(shù)都成立，，,即存在點滿足恒成立，且點在軸上.21.已知，其中．（1）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：當時，．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論a的取值范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可確定函數(shù)的最小值為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，證明大于即可證明結(jié)論.【小問1詳解】函數(shù)的定義域是，，①當時，令，得：或；令，得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．②當時，，所以在上單調(diào)遞增．③當時，令，得：或；令，得：．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述：當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．小問2詳解】證明:因為，且，所以由（1）知當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增,所以,設(shè)，，則，則令，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以當時，成立．22.在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，直線與曲線C交于A，B兩點.（1）求直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）已知點P的極坐標為，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)加減消元法得直線的普通方程，再根據(jù)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）先求直角坐標，再設(shè)直線的參數(shù)方程標準式，代入曲線的直角坐標方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義以及利用韋達定理得結(jié)果.【小問1詳解】根據(jù)上下兩式相加可得的普通方程為：，又，所