概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2-6

匯報(bào)人：AA概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2-62024-01-19目錄概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念和方法方差分析和回歸分析應(yīng)用舉例時(shí)間序列分析和預(yù)測方法簡介01概率論基本概念Chapter不可能事件空集?，不包含任何樣本點(diǎn)的事件。必然事件包含樣本空間中所有樣本點(diǎn)的事件，即S本身。基本事件只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件。樣本空間所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合，常用大寫字母A、B等表示。樣本空間與事件事件A發(fā)生的可能性大小，記為P(A)，滿足非負(fù)性、規(guī)范性（必然事件的概率為1）、可列可加性。對于任意事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)（加法公式）；若A和B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)（互斥事件的概率加法公式）。概率定義概率性質(zhì)概率定義及性質(zhì)在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記為P(A|B)，滿足P(A|B)=P(AB)/P(B)（條件概率公式）。若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與B相互獨(dú)立。對于多個(gè)事件，若其中任意兩個(gè)事件都相互獨(dú)立，則稱這些事件相互獨(dú)立。條件概率與獨(dú)立性事件的獨(dú)立性條件概率若事件B1，B2，…Bn構(gòu)成一個(gè)完備事件組且都有正概率，則對任意一個(gè)事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)（全概率公式）。全概率公式在全概率公式的假定下，有P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)（貝葉斯公式），用于在已知一些相關(guān)概率的情況下，計(jì)算某個(gè)事件的發(fā)生對另一個(gè)事件發(fā)生概率的影響。貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式02隨機(jī)變量及其分布Chapter隨機(jī)變量定義及分類隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量分類根據(jù)取值的不同，隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量取值為有限個(gè)或可列個(gè)，而連續(xù)型隨機(jī)變量取值則充滿某個(gè)區(qū)間。分布律定義離散型隨機(jī)變量的分布律描述了隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率。對于離散型隨機(jī)變量X，其分布律可以用一個(gè)概率質(zhì)量函數(shù)p(x)來表示，滿足非負(fù)性和規(guī)范性。常見離散型分布常見的離散型分布包括二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。這些分布各自具有不同的特點(diǎn)和適用場景。離散型隨機(jī)變量分布律VS連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是一個(gè)描述隨機(jī)變量在某個(gè)確定取值點(diǎn)附近的可能性的函數(shù)。對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，其概率密度函數(shù)f(x)滿足非負(fù)性和規(guī)范性，且在某區(qū)間內(nèi)的概率等于該區(qū)間上f(x)的定積分。常見連續(xù)型分布常見的連續(xù)型分布包括正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。這些分布各自具有不同的特點(diǎn)和適用場景。概率密度函數(shù)定義連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)分布隨機(jī)變量函數(shù)是指通過某種函數(shù)關(guān)系將原隨機(jī)變量的取值映射到新的隨機(jī)變量的取值上。這種映射關(guān)系可以是線性的，也可以是非線性的。隨機(jī)變量函數(shù)定義求隨機(jī)變量函數(shù)的分布通常需要先確定原隨機(jī)變量的分布，然后根據(jù)映射關(guān)系求出新隨機(jī)變量的分布。對于離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量，求法有所不同，但都需要用到概率論中的基本公式和定理。隨機(jī)變量函數(shù)的分布求法03多維隨機(jī)變量及其分布Chapter聯(lián)合概率密度函數(shù)對于連續(xù)型二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度函數(shù)$f(x,y)$表示在點(diǎn)$(x,y)$處的概率密度。聯(lián)合分布律對于離散型二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律可用二維表格表示，列出所有可能的取值組合及其對應(yīng)的概率。聯(lián)合分布函數(shù)描述二維隨機(jī)變量$(X,Y)$在取值范圍內(nèi)的概率分布情況，通常表示為$F(x,y)$。二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布邊緣分布函數(shù)由聯(lián)合分布函數(shù)對其中一個(gè)變量求極限得到，描述一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率分布，分為$F_X(x)$和$F_Y(y)$。邊緣概率密度函數(shù)對于連續(xù)型隨機(jī)變量，邊緣概率密度函數(shù)分別為$f_X(x)$和$f_Y(y)$，通過對聯(lián)合概率密度函數(shù)在另一個(gè)變量上積分得到。條件分布在已知一個(gè)隨機(jī)變量取值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布。對于離散型隨機(jī)變量，條件概率可直接由聯(lián)合概率計(jì)算；對于連續(xù)型隨機(jī)變量，條件概率密度函數(shù)可通過聯(lián)合概率密度函數(shù)和邊緣概率密度函數(shù)求得。邊緣分布與條件分布獨(dú)立性檢驗(yàn)和相關(guān)性分析如果兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布等于各自邊緣分布的乘積，即$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱這兩個(gè)隨機(jī)變量是獨(dú)立的。相關(guān)性描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)度和方向。相關(guān)系數(shù)$r$的取值范圍為$[-1,1]$，其中$r=0$表示不相關(guān)，$r>0$表示正相關(guān)，$r<0$表示負(fù)相關(guān)。獨(dú)立性檢驗(yàn)通過統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量是否獨(dú)立。常用的方法有卡方檢驗(yàn)、K-S檢驗(yàn)等。獨(dú)立性多維隨機(jī)變量的函數(shù)設(shè)$(X,Y)$是二維隨機(jī)變量，$g(X,Y)$是$(X,Y)$的函數(shù)，則$Z=g(X,Y)$是一維隨機(jī)變量。要點(diǎn)一要點(diǎn)二分布求法首先確定$(X,Y)$的聯(lián)合概率分布，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系求出$Z$的分布函數(shù)或概率密度函數(shù)。對于離散型隨機(jī)變量，需列出$Z$的所有可能取值并計(jì)算對應(yīng)的概率；對于連續(xù)型隨機(jī)變量，可通過變換法或卷積公式求得$Z$的概率密度函數(shù)。多維隨機(jī)變量函數(shù)分布04數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念和方法Chapter研究對象的全體個(gè)體組成的集合，具有相同的分布規(guī)律。總體樣本描述性統(tǒng)計(jì)量從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體性質(zhì)。用于描述樣本或總體特征的統(tǒng)計(jì)量，如均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度等。030201總體和樣本描述性統(tǒng)計(jì)量通過樣本數(shù)據(jù)對總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的方法，包括矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法等。評價(jià)點(diǎn)估計(jì)量的好壞，通常使用無偏性、有效性、一致性等標(biāo)準(zhǔn)。點(diǎn)估計(jì)方法評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計(jì)方法及評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間估計(jì)方法根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)包含總體參數(shù)的置信區(qū)間，并給出該區(qū)間對應(yīng)的置信水平。置信水平選擇根據(jù)實(shí)際需求選擇合適的置信水平，通常選擇95%或99%。區(qū)間估計(jì)方法及置信水平選擇假設(shè)檢驗(yàn)原理先對總體參數(shù)提出一個(gè)假設(shè)，然后根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對該假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷假設(shè)是否成立。假設(shè)檢驗(yàn)步驟包括建立假設(shè)、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域、計(jì)算p值或臨界值、作出決策等步驟。假設(shè)檢驗(yàn)原理及步驟05方差分析和回歸分析應(yīng)用舉例Chapter原理：單因素方差分析是用于研究一個(gè)控制變量的不同水平是否對觀察變量產(chǎn)生了顯著影響。通過計(jì)算組間方差和組內(nèi)方差，并進(jìn)行比較，從而判斷控制變量對觀察變量的影響是否顯著。1.提出假設(shè)：無顯著差異或有顯著差異。2.構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：計(jì)算F值。3.確定顯著性水平：通常取0.05或0.01。4.作出決策：根據(jù)F值和顯著性水平，判斷假設(shè)是否成立。0102030405單因素方差分析原理及步驟雙因素方差分析原理及步驟1.提出假設(shè)：無顯著差異或有顯著差異。3.確定顯著性水平：通常取0.05或0.01。2.構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：計(jì)算F值。雙因素方差分析原理及步驟根據(jù)F值和顯著性水平，判斷假設(shè)是否成立。4.作出決策如果交互作用顯著，需進(jìn)一步分析兩個(gè)控制變量不同水平組合下的觀察變量均值差異。5.進(jìn)一步分析雙因素方差分析原理及步驟建立一元線性回歸模型是用于描述兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。通過最小二乘法求解回歸系數(shù)，得到回歸方程y=ax+b，其中a為斜率，b為截距。通過計(jì)算決定系數(shù)R2，判斷模型對數(shù)據(jù)的擬合程度。R2越接近于1，說明模型擬合效果越好。通過t檢驗(yàn)判斷回歸系數(shù)是否顯著不為0，從而判斷自變量對因變量的影響是否顯著。通過F檢驗(yàn)判斷模型是否顯著成立，即自變量對因變量的影響是否顯著。1.擬合優(yōu)度檢驗(yàn)2.回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)3.模型的顯著性檢驗(yàn)一元線性回歸模型建立與檢驗(yàn)多元線性回歸模型是用于描述一個(gè)因變量與多個(gè)自變量之間線性關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。通過最小二乘法求解回歸系數(shù)，得到回歸方程y=a1x1+a2x2+...+anxn+b，其中ai為各自變量的回歸系數(shù)，b為截距。建立通過計(jì)算調(diào)整后的決定系數(shù)R2，判斷模型對數(shù)據(jù)的擬合程度。調(diào)整后的R2考慮了自變量個(gè)數(shù)的影響，更加準(zhǔn)確地反映模型的擬合效果。1.擬合優(yōu)度檢驗(yàn)通過t檢驗(yàn)或F檢驗(yàn)判斷各自變量的回歸系數(shù)是否顯著不為0，從而判斷各自變量對因變量的影響是否顯著。2.回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)通過F檢驗(yàn)判斷模型是否顯著成立，即所有自變量對因變量的影響是否顯著。如果模型顯著成立，則說明至少有一個(gè)自變量對因變量的影響是顯著的。3.模型的顯著性檢驗(yàn)多元線性回歸模型建立與檢驗(yàn)06時(shí)間序列分析和預(yù)測方法簡介Chapter數(shù)據(jù)清洗去除異常值、缺失值和平滑處理，以保證數(shù)據(jù)質(zhì)量。描述性統(tǒng)計(jì)量計(jì)算均值、方差、自協(xié)方差、自相關(guān)函數(shù)等，以初步了解時(shí)間序列數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律。時(shí)間序列數(shù)據(jù)預(yù)處理和描述性統(tǒng)計(jì)量計(jì)算對建立的模型進(jìn)行殘差分析、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)等，以確保模型的有效性。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的截尾、拖尾性質(zhì)，選擇合適的模型階數(shù)。通過圖形、統(tǒng)計(jì)量等方法檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性。采用最小二乘法、極大似然法等方法估計(jì)模型參數(shù)。模型定階平穩(wěn)性檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)模型檢驗(yàn)平穩(wěn)時(shí)間序列模型建立與預(yù)測方法選擇通過擬合趨勢線、移動平均等方法提取時(shí)間序列中的確定性趨勢。確定性趨勢分析采用差分、對數(shù)轉(zhuǎn)換等方法將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平