2017年江蘇高考數(shù)學(xué)試題及答案

2017年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷一.填空題1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，則實數(shù)a的值為．2．（5分）已知復(fù)數(shù)z=（1+i）（1+2i），其中i是虛數(shù)單位，則z的模是．3．（5分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200，400，300，100件．為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取件．4．（5分）如圖是一個算法流程圖：若輸入x的值為，則輸出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．則tanα=．6．（5分）如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是．7．（5分）記函數(shù)f（x）=定義域為D．在區(qū)間[﹣4，5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線﹣y2=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點P，Q，其焦點是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是．9．（5分）等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項為Sn，已知S3=，S6=，則a8=．10．（5分）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是．11．（5分）已知函數(shù)f（x）=x3﹣2x+ex﹣，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．則實數(shù)a的取值范圍是．12．（5分）如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tanα=7，與的夾角為45°．若=m+n（m，n∈R），則m+n=．13．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），點P在圓O：x2+y2=50上．若≤20，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是．14．（5分）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，則方程f（x）﹣lgx=0的解的個數(shù)是．二.解答題15．（14分）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求證：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）記f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值．17．（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8．點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1，過點F2作直線PF2的垂線l2．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標(biāo)．18．（16分）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG，E1G1的長分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長度．19．（16分）對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n（n＞k）總成立，則稱數(shù)列{an}是“P（k）數(shù)列”．（1）證明：等差數(shù)列{an}是“P（3）數(shù)列”；（2）若數(shù)列{an}既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列．20．（16分）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）的極值點是f（x）的零點．（極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）（1）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）證明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于﹣，求a的取值范圍．二.非選擇題，附加題（2124選做題）【選修41：幾何證明選講】（本小題滿分0分）21．如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點C，AP⊥PC，P為垂足．求證：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2=AP?AB．[選修42：矩陣與變換]22．已知矩陣A=，B=．（1）求AB；（2）若曲線C1：=1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．設(shè)P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值．［選修45：不等式選講］24．已知a，b，c，d為實數(shù)，且a2+b2=4，c2+d2=16，證明ac+bd≤8．【必做題】25．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一個口袋有m個白球，n個黑球（m，n∈N*，n≥2），這些球除顏色外全部相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1，2，3，…，m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；（2）隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E（X）是X的數(shù)學(xué)期望，證明E（X）＜．2017年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.填空題1．（5分）（2017?江蘇）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，則實數(shù)a的值為1．【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案為：1．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意交集定義及性質(zhì)的合理運用．2．（5分）（2017?江蘇）已知復(fù)數(shù)z=（1+i）（1+2i），其中i是虛數(shù)單位，則z的模是．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案為：．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）（2017?江蘇）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200，400，300，100件．為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取18件．【分析】由題意先求出抽樣比例即為，再由此比例計算出應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取的數(shù)目．【解答】解：產(chǎn)品總數(shù)為200+400+300+100=1000件，而抽取60輛進行檢驗，抽樣比例為=，則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取300×=18件，故答案為：18【點評】本題的考點是分層抽樣．分層抽樣即要抽樣時保證樣本的結(jié)構(gòu)和總體的結(jié)構(gòu)保持一致，按照一定的比例，即樣本容量和總體容量的比值，在各層中進行抽?。?．（5分）（2017?江蘇）如圖是一個算法流程圖：若輸入x的值為，則輸出y的值是﹣2．【分析】直接模擬程序即得結(jié)論．【解答】解：初始值x=，不滿足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案為：﹣2．【點評】本題考查程序框圖，模擬程序是解決此類問題的常用方法，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）（2017?江蘇）若tan（α﹣）=．則tanα=．【分析】直接根據(jù)兩角差的正切公式計算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案為：．【點評】本題考查了兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題6．（5分）（2017?江蘇）如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是．【分析】設(shè)出球的半徑，求出圓柱的體積以及球的體積即可得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，則球的體積為：R3，圓柱的體積為：πR2?2R=2πR3．則==．故答案為：．【點評】本題考查球的體積以及圓柱的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．7．（5分）（2017?江蘇）記函數(shù)f（x）=定義域為D．在區(qū)間[﹣4，5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是．【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合幾何概型的概率公式進行計算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，則D=[﹣2，3]，則在區(qū)間[﹣4，5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率P==，故答案為：【點評】本題主要考查幾何概型的概率公式的計算，結(jié)合函數(shù)的定義域求出D，以及利用幾何概型的概率公式是解決本題的關(guān)鍵．8．（5分）（2017?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線﹣y2=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點P，Q，其焦點是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是．【分析】求出雙曲線的準(zhǔn)線方程和漸近線方程，得到P，Q坐標(biāo)，求出焦點坐標(biāo)，然后求解四邊形的面積．【解答】解：雙曲線﹣y2=1的右準(zhǔn)線：x=，雙曲線漸近線方程為：y=x，所以P（，），Q（，﹣），F(xiàn)1（﹣2，0）．F2（2，0）．則四邊形F1PF2Q的面積是：=2．故答案為：2．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．9．（5分）（2017?江蘇）等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項為Sn，已知S3=，S6=，則a8=32．【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q≠1，S3=，S6=，可得=，=，聯(lián)立解出即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．則a8==32．故答案為：32．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．10．（5分）（2017?江蘇）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是30．【分析】由題意可得：一年的總運費與總存儲費用之和=+4x，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：由題意可得：一年的總運費與總存儲費用之和=+4x≥4×2×=240（萬元）．當(dāng)且僅當(dāng)x=30時取等號．故答案為：30．【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）（2017?江蘇）已知函數(shù)f（x）=x3﹣2x+ex﹣，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．則實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，]．【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）在R上遞增；再由奇偶性的定義，可得f（x）為奇函數(shù)，原不等式即為2a2≤1﹣a，運用二次不等式的解法即可得到所求范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=x3﹣2x+ex﹣的導(dǎo)數(shù)為：f′（x）=3x2﹣2+ex+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上遞增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣=0，可得f（x）為奇函數(shù)，則f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案為：[﹣1，]．【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和應(yīng)用，注意運用導(dǎo)數(shù)和定義法，考查轉(zhuǎn)化思想的運用和二次不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．12．（5分）（2017?江蘇）如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tanα=7，與的夾角為45°．若=m+n（m，n∈R），則m+n=3．【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．A（1，0）．由與的夾角為α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．A（1，0）．由與的夾角為α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．則m+n=3．故答案為：3．【點評】本題考查了向量坐標(biāo)運算性質(zhì)、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．13．（5分）（2017?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），點P在圓O：x2+y2=50上．若≤20，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[﹣5，1]．【分析】根據(jù)題意，設(shè)P（x0，y0），由數(shù)量積的坐標(biāo)計算公式化簡變形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直線2x+y+5≤0以及直線下方的區(qū)域，聯(lián)立直線與圓的方程可得交點的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖形分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)P（x0，y0），則有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）?（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化為：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直線2x+y+5≤0以及直線下方的區(qū)域，聯(lián)立，解可得x0=﹣5或x0=1，結(jié)合圖形分析可得：點P的橫坐標(biāo)x0的取值范圍是[﹣5，1]，故答案為：[﹣5，1]．【點評】本題考查數(shù)量積的運算以及直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是利用數(shù)量積化簡變形得到關(guān)于x0、y0的關(guān)系式．14．（5分）（2017?江蘇）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，則方程f（x）﹣lgx=0的解的個數(shù)是8．【分析】由已知中f（x）是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的圖象與y=lgx圖象交點的個數(shù)，進而可得答案．【解答】解：∵在區(qū)間[0，1）上，f（x）=，第一段函數(shù)上的點的橫縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，又f（x）是定義在R上且周期為1的函數(shù)，∴在區(qū)間[1，2）上，f（x）=，此時f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；同理：區(qū)間[2，3）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間[3，4）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間[4，5）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間[5，6）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間[6，7）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間[7，8）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；區(qū)間[8，9）上，f（x）的圖象與y=lgx有且只有一個交點；在區(qū)間[9，+∞）上，f（x）的圖象與y=lgx無交點；故f（x）的圖象與y=lgx有8個交點；即方程f（x）﹣lgx=0的解的個數(shù)是8，故答案為：8【點評】本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．二.解答題15．（14分）（2017?江蘇）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求證：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及線面平行判定定理可得結(jié)論；（2）通過取線段CD上點G，連結(jié)FG、EG使得FG∥BC，則EG∥AC，利用線面垂直的性質(zhì)定理可知FG⊥AD，結(jié)合線面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，從而可得結(jié)論．【解答】證明：（1）因為AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四點共面，所以AB∥EF，又因為EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以由線面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在線段CD上取點G，連結(jié)FG、EG使得FG∥BC，則EG∥AC，因為BC⊥BD，所以FG∥BC，又因為平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因為AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【點評】本題考查線面平行及線線垂直的判定，考查空間想象能力，考查轉(zhuǎn)化思想，涉及線面平行判定定理，線面垂直的性質(zhì)及判定定理，注意解題方法的積累，屬于中檔題．16．（14分）（2017?江蘇）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）記f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值．【分析】（1）根據(jù)向量的平行即可得到tanx=﹣，問題得以解決，（2）根據(jù)向量的數(shù)量積和兩角和余弦公式和余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，當(dāng)x=0時，f（x）有最大值，最大值3，當(dāng)x=時，f（x）有最小值，最大值﹣2．【點評】本題考查了向量的平行和向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題17．（14分）（2017?江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8．點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1，過點F2作直線PF2的垂線l2．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標(biāo)．【分析】（1）由橢圓的離心率公式求得a=2c，由橢圓的準(zhǔn)線方程x=±，則2×=8，即可求得a和c的值，則b2=a2﹣c2=3，即可求得橢圓方程；（2）設(shè)P點坐標(biāo)，分別求得直線PF2的斜率及直線PF1的斜率，則即可求得l2及l(fā)1的斜率及方程，聯(lián)立求得Q點坐標(biāo)，由Q在橢圓方程，求得y02=x02﹣1，聯(lián)立即可求得P點坐標(biāo)；方法二：設(shè)P（m，n），當(dāng)m≠1時，=，=，求得直線l1及l(fā)1的方程，聯(lián)立求得Q點坐標(biāo)，根據(jù)對稱性可得=±n2，聯(lián)立橢圓方程，即可求得P點坐標(biāo)．【解答】解：（1）由題意可知：橢圓的離心率e==，則a=2c，①橢圓的準(zhǔn)線方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，則b2=a2﹣c2=3，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）方法一：設(shè)P（x0，y0），則直線PF2的斜率=，則直線l2的斜率k2=﹣，直線l2的方程y=﹣（x﹣1），直線PF1的斜率=，則直線l2的斜率k2=﹣，直線l2的方程y=﹣（x+1），聯(lián)立，解得：，則Q（﹣x0，），由P，Q在橢圓上，P，Q的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)應(yīng)相等，則y0=，∴y02=x02﹣1，則，解得：，則，又P在第一象限，所以P的坐標(biāo)為：P（，）．方法二：設(shè)P（m，n），由P在第一象限，則m＞0，n＞0，當(dāng)m=1時，不存在，解得：Q與F1重合，不滿足題意，當(dāng)m≠1時，=，=，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，則=﹣，=﹣，直線l1的方程y=﹣（x+1），①直線l2的方程y=﹣（x﹣1），②聯(lián)立解得：x=﹣m，則Q（﹣m，），由Q在橢圓方程，由對稱性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在橢圓方程，，解得：，或，無解，又P在第一象限，所以P的坐標(biāo)為：P（，）．【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率公式，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查計算能力，屬于中檔題．18．（16分）（2017?江蘇）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG，E1G1的長分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長度．【分析】（1）設(shè)玻璃棒在CC1上的點為M，玻璃棒與水面的交點為N，過N作NP∥MC，交AC于點P，推導(dǎo)出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推導(dǎo)出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l沒入水中部分的長度．（2）設(shè)玻璃棒在GG1上的點為M，玻璃棒與水面的交點為N，過點N作NP⊥EG，交EG于點P，過點E作EQ⊥E1G1，交E1G1于點Q，推導(dǎo)出EE1G1G為等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l沒入水中部分的長度．【解答】解：（1）設(shè)玻璃棒在CC1上的點為M，玻璃棒與水面的交點為N，在平面ACM中，過N作NP∥MC，交AC于點P，∵ABCD﹣A1B1C1D1為正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC?平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm．（2）設(shè)玻璃棒在GG1上的點為M，玻璃棒與水面的交點為N，在平面E1EGG1中，過點N作NP⊥EG，交EG于點P，過點E作EQ⊥E1G1，交E1G1于點Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1為正四棱臺，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G為等腰梯形，畫出平面E1EGG1的平面圖，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos，根據(jù)正弦定理得：=，∴sin，cos，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm．【點評】本題考查玻璃棒l沒入水中部分的長度的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．19．（16分）（2017?江蘇）對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n（n＞k）總成立，則稱數(shù)列{an}是“P（k）數(shù)列”．（1）證明：等差數(shù)列{an}是“P（3）數(shù)列”；（2）若數(shù)列{an}既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列．【分析】（1）由題意可知根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an，根據(jù)“P（k）數(shù)列”的定義，可得數(shù)列{an}是“P（3）數(shù)列”；（2）由“P（k）數(shù)列”的定義，則an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，變形整理即可求得2an=an﹣1+an+1，即可證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列．【解答】解：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列{an}首項為a1，公差為d，則an=a1+（n﹣1）d，則an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），=2an+2an+2an，=2×3an，∴等差數(shù)列{an}是“P（3）數(shù)列”；（2）證明：由數(shù)列{an}是“P（2）數(shù)列”則an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，①數(shù)列{an}是“P（3）數(shù)列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，②由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1，③an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，④由②﹣（③+④）：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1，整理得：2an=an﹣1+an+1，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的新定義的性質(zhì)，考查數(shù)列的運算，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20．（16分）（2017?江蘇）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）的極值點是f（x）的零點．（極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）（1）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）證明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于﹣，求a的取值范圍．【分析】（1）通過對f（x）=x3+ax2+bx+1求導(dǎo)可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，進而再求導(dǎo)可知g′（x）=6x+2a，通過令g′（x）=0進而可知f′（x）的極小值點為x=﹣，從而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），結(jié)合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值可知f′（x）=0有兩個不等的實根，進而可知a＞3．（2）通過（1）構(gòu)造函數(shù)h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），結(jié)合a＞3可知h（a）＞0，從而可得結(jié)論；（3）通過（1）可知f′（x）的極小值為f′（﹣）=b﹣，利用韋達定理及完全平方關(guān)系可知y=f（x）的兩個極值之和為﹣+2，進而問題轉(zhuǎn)化為解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得結(jié)論．【解答】（1）解：因為f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于當(dāng)x＞﹣時g′（x）＞0，g（x）=f′（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＜﹣時g′（x）＜0，g（x）=f′（x）單調(diào)遞減；所以f′（x）的極小值點為x=﹣，由于導(dǎo)函數(shù)f′（x）的極值點是原函數(shù)f（x）的零點，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因為f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有兩個不等的實根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）證明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的極小值為f′（﹣）=b﹣，設(shè)x1，x2是y=f（x）的兩個極值點，則x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因為f（x），f′（x）這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因為a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3時2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范圍是（3，6]．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，屬于難題．二.非選擇題，附加題（2124選做題）【選修41：幾何證明選講】（本小題滿分0分）21．（2017?江蘇）如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點C，AP⊥PC，P為垂足．求證：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2=AP?AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圓的性質(zhì)可得∠ACB=90°．再利用三角形內(nèi)角和定理即可證明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可證明．【解答】證明：（1）∵直線PC切半圓O于點C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB為半圓O的直徑，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2=AP?AB．【點評】本題考查了弦切角定理、圓的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形相似的判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．[選修42：矩陣與變換]22．（2017?江蘇）已知矩陣A=，B=．（1）求AB；（2）若曲線C1：=1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩陣乘法規(guī)律計算；（2）求出變換前后的坐標(biāo)變換規(guī)律，代入曲線C1的方程化簡即可．【解答】解：（1）AB==，（2）設(shè)點P（x，y）為曲線C1的任意一點，點P在矩陣AB的變換下得到點P′（x0，y0），則=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲線C2的方程為x2+y2=8．【點評】本題考查了矩陣乘法與矩陣變換，屬于中檔題．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]23．（2017?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）．設(shè)P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值．【分析】求出直線l的直角坐標(biāo)方程，代入距離公式化簡得出距離d關(guān)于參數(shù)s的函數(shù)，從而得出最短距離．【解答】解：直線l的直角坐標(biāo)方程為x﹣2y+8=0，∴P到直線l的距離d==，∴當(dāng)s=時，d取得最小值=．【點評】本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．［選修45：不等式選講］24．（2017?江蘇）已知a，b，c，d為實數(shù)，且a2+b2=4，c2+d2=16，證明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化簡，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可證明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】證明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣