廣東中考綜合題圓計(jì)算題

廣東中考綜合題圓計(jì)算題1.〔2023廣東佛山8分〕如圖，直尺、三角尺都和圓O相切，AB=8cm．求圓O的直徑．【答案】解：設(shè)三角尺和⊙O相切于點(diǎn)E，連接OE、OA、OB，∵AC、AB都是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是E、B，∴∠OBA=90°，∠OAE=∠OAB=∠BAC。∵∠CAD=60°，∴∠BAC=120°?！唷螼AB=×120°=60°。∴∠BOA=30°。∴OA=2AB=16。由勾股定理得：，即⊙O的半徑是cm?！唷袿的直徑是cm?！究键c(diǎn)】切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線長定理?！痉治觥窟B接OE、OA、OB，根據(jù)切線長定理和切線性質(zhì)求出∠OBA=90°，∠OAE=∠OAB=∠BAC，求出∠BAC，求出∠OAB和∠BOA，求出OA，根據(jù)勾股定理求出OB即可。2.〔2023廣東佛山11分〕〔1〕按語句作圖并答復(fù)：作線段AC〔AC=4〕，以A為圓心a為半徑作圓，再以C為圓心b為半徑作圓〔a＜4，b＜4，圓A與圓C交于B、D兩點(diǎn)〕，連接AB、BC、CD、DA．假設(shè)能作出滿足要求的四邊形ABCD，那么a、b應(yīng)滿足什么條件？〔2〕假設(shè)a=2，b=3，求四邊形ABCD的面積．【答案】解：〔1〕作圖如下：能作出滿足要求的四邊形ABCD，那么a、b應(yīng)滿足的條件是a+b＞4?！?〕連接BD，交AC于E，∵⊙A與⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。設(shè)CE=x，那么AE=4－x，∵BC=b=3，AB=a=2，∴由勾股定理得：解得：?！??！嗨倪呅蜛BCD的面積是。答：四邊形ABCD的面積是?！究键c(diǎn)】作圖〔復(fù)雜作圖〕，相交兩圓的性質(zhì)，勾股定理。【分析】〔1〕根據(jù)題意畫出圖形，只有兩圓相交，才能得出四邊形，即可得出答案；〔2〕連接BD，根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)得出DB⊥AC，BE=DE，設(shè)CE=x，那么AE=4－x，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，求出x，根據(jù)三角形的面積公式求出即可。3.〔2023廣東廣州12分〕如圖，⊙P的圓心為P〔﹣3，2〕，半徑為3，直線MN過點(diǎn)M〔5，0〕且平行于y軸，點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方．〔1〕在圖中作出⊙P關(guān)于y軸對(duì)稱的⊙P′．根據(jù)作圖直接寫出⊙P′與直線MN的位置關(guān)系．〔2〕假設(shè)點(diǎn)N在〔1〕中的⊙P′上，求PN的長．【答案】解：〔1〕如下圖，⊙P′即為所求作的圓?！裀′與直線MN相交?！?〕設(shè)直線PP′與MN相交于點(diǎn)A，那么由⊙P的圓心為P〔﹣3，2〕，半徑為3，直線MN過點(diǎn)M〔5，0〕且平行于y軸，點(diǎn)N在⊙P′上，得P′N=3，AP′=2，PA=8?！嘣赗t△AP′N中，。在Rt△APN中，?！究键c(diǎn)】網(wǎng)格問題，作圖〔軸對(duì)稱變換〕，直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理?！痉治觥俊?〕根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等找出點(diǎn)P′的位置，然后以3為半徑畫圓即可。再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解答?！?〕設(shè)直線PP′與MN相交于點(diǎn)A，在Rt△AP′N中，利用勾股定理求出AN的長度，在Rt△APN中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求出PN的長度。24．〔2023廣東廣州，24，14分〕如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，弦AB垂直平分線段OP，點(diǎn)D是上任一點(diǎn)〔與端點(diǎn)A、B不重合〕，DE⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點(diǎn)A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C．〔1〕求弦AB的長；〔2〕判斷∠ACB是否為定值，假設(shè)是，求出∠ACB的大?。环衲敲矗?qǐng)說明理由〔3〕記△ABC的面積為S，假設(shè)＝4，求△ABC的周長.CPDCPDOBAE5.〔2023廣東湛江10分〕如圖，點(diǎn)E在直角△ABC的斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與直角邊BC相切于點(diǎn)D．〔1〕求證：AD平分∠BAC；〔2〕假設(shè)BE=2，BD=4，求⊙O的半徑．【答案】〔1〕證明：連接OD，∵BC是⊙O的切線，∴OD⊥BC。又∵AC⊥BC，∴OD∥AC?！唷?=∠3?！逴A=OD，∴∠1=∠3?！唷?=∠2?！郃D平分∠BAC。〔2〕解：∵BC與圓相切于點(diǎn)D，∴BD2=BE?BA?！連E=2，BD=4，∴BA=8。∴AE=AB﹣BE=6?！唷袿的半徑為3。【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，切割線定理?！痉治觥俊?〕先連接OD，雜而OD⊥BC和AC⊥BC，再由其平行從而得證；〔2〕利用切割線定理可先求出AB，進(jìn)而求出圓的直徑，半徑那么可求出。【沒有學(xué)習(xí)切割線定理的可連接DE，證△ABD∽△DBE，得AB：BD=BD：BE求得AB=8，···】1.〔2023廣東省6分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔－4，0〕，⊙P的半徑為2，將⊙P沿軸向右平移4個(gè)單位長度得⊙P1．〔1〕畫出⊙P1，并直接判斷⊙P與⊙P1的位置關(guān)系；〔2〕設(shè)⊙P1與軸正半軸，軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，求劣弧AB與弦AB圍成的圖形的面積〔結(jié)果保存π〕．【答案】解：〔1〕畫出⊙P1如下：⊙P與⊙P1外切?！?〕劣弧AB與弦AB圍成的圖形的面積為：【考點(diǎn)】圖形的平移，圓與圓的位置關(guān)系，圓和三角形的面積?！痉治觥俊?〕將⊙P沿軸向右平移4個(gè)單位長度得⊙P1后，兩圓圓心距與兩圓半徑之和相等，故⊙P與⊙P1外切?！?〕劣弧AB與弦AB圍成的圖形的面積實(shí)際等于圓的四分之一面積減去?OAB的面積，這樣根據(jù)條件即易求出。2.〔2023佛山6分〕如圖，AB是O的弦，半徑，，求△AOB的面積?！敬鸢浮拷猓喝鐖D，作OC⊥AB于點(diǎn)C。那么有?！究键c(diǎn)】垂徑定理，解直角三角形。【分析】作弦心距，由垂徑定理，可利用解直角三角形求出△AOB的底和高，從而求出面積3.〔茂名8分〕如圖，⊙P與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O〔0，0〕，與軸相交于點(diǎn)A〔5，0〕，過點(diǎn)A的直線AB與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，與⊙P交于點(diǎn)C．〔1〕AC=3，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕假設(shè)AC=a，D是OB的中點(diǎn)．問：點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)是否在同一圓上？請(qǐng)說明理由．如果這四點(diǎn)在同一圓上，記這個(gè)圓的圓心為O1，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)O1，求的值〔用含的代數(shù)式表示〕．【答案】解：〔1〕連接OC，∵OA是⊙P的直徑，∴OC⊥AB，在Rt△AOC中，，在Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB，∴Rt△AOC∽R(shí)t△ABO。?！?〕點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上。理由如下：連接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D為OB上的中點(diǎn)，∴?！唷?=∠4。又∵OP=CP，∴∠1=∠2。∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°∴PC⊥CD。又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形。∴PD上的中點(diǎn)到點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)的距離相等?！帱c(diǎn)O、P、C、D在以DP為直徑的同一個(gè)圓上。由上可知，經(jīng)過點(diǎn)O、P、C、D的圓心O1是DP的中點(diǎn)，圓心。由〔1〕知：Rt△AOC∽R(shí)t△ABO，∴，求得：AB=。在Rt△ABO中，，，∴，∵點(diǎn)O1在函數(shù)的圖象上，∴?！??！究键c(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，圓周角定理。【分析】〔1〕連接OC，根據(jù)OA是⊙P的直徑，可得OC⊥AB，利用勾股定理求得OC，再求證Rt△AOC∽R(shí)t△ABO，利用其對(duì)應(yīng)變成比例求得OB即可。〔2〕連接CP、CD、DP，根據(jù)OC⊥AB，D為OB上的中點(diǎn)，可得，求證Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，可得PD上的中點(diǎn)到點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)的距離相等，由上可知，經(jīng)過點(diǎn)O、P、C、D的圓心O1是DP的中點(diǎn)，圓心，由〔1〕知：Rt△AOC∽R(shí)t△ABO，可得，求得：AB、OD即可。4.〔清遠(yuǎn)8分〕如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切，切點(diǎn)為A，D為⊙O上一點(diǎn)，AD與OC相交于點(diǎn)E，且∠DAB＝∠C．BBOACDE求證：OC∥BD；假設(shè)AO＝5，AD＝8，求線段CE的長．【答案】解：〔1〕∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90o。∵AC與⊙O相切，∴∠CAB＝90o?！摺螪AB＝∠C，∴∠AOC＝∠B?！郞C∥BD?！?〕∵AO＝5，∴AB＝10。又∵AD＝8，∴BD＝6?！逴為AB的中點(diǎn)，OC∥BD，∴OE＝3?！摺螪AB＝∠C，∠AOC＝∠B，∴△AOC∽△DBA?！鄀q\f(CO,AB)＝eq\f(AO,DB)。∴eq\f(CO,10)＝eq\f(5,6)?！郈O＝eq\f(25,3)。∴CE＝CO－OE＝eq\f(25,3)－3＝eq\f(16,3)【考點(diǎn)】直徑所對(duì)的圓周角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥俊?〕根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠AOC＝∠B，再根據(jù)同位角相等兩直線平行的判定，證得OC∥BD?！?〕要求CE，只要求出CO和OE即可。一方面OC∥BD，AO=OB，OE是?ABD的中位線，根據(jù)三角形中位線定理OE=BD，而由應(yīng)用勾股定理可求BD。另一方面由于△AOC∽△DBA，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可求。5.〔深圳8分〕如圖1，在⊙O中，點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)，連接AC并延長至D，使CA=CD，連接DB并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接AE.〔1〕求證：AE是⊙O的直徑；圖1圖2〔2〕如圖2，連接CE，⊙O的半徑為5，AC長圖1圖2為4，求陰影局部面積之和.(保存與根號(hào))【答案】解：〔1〕證明：如圖，連接AB、BC，∵點(diǎn)C是劣弧AB上的中點(diǎn)，∴?！郈A＝CB。又∵CD＝CA，∴CB＝CD＝CA。∴在△ABD中，CB=AD?！唷螦BD＝90°?！唷螦BE＝90°。∴AE是⊙O的直徑。(2)如圖，由〔1〕可知，AE是⊙O的直徑，∴∠ACE＝90°?！摺袿的半徑為5，AC＝4，∴AE＝10，⊙O的面積為25π。在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：CE=∴∴【考點(diǎn)】直角三角形的判定，直徑與圓周角的關(guān)系，勾股定理。【分析】〔1〕要證AE是⊙O的直徑，只要證AE所對(duì)的圓周角是直角即可。故作輔助線連接AB、BC，由的點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)和CA=CD即易證得。(2)求陰影局部面積之和，只要求⊙O的面積減去△ACE的面積即可。6.〔湛江12分〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且∠A+∠CDB=90°，過點(diǎn)A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點(diǎn)E．〔1〕求證：直線BD與⊙O相切；〔2〕假設(shè)AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直徑．【答案】解：〔1〕證明：連接OD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO。又∵∠A+∠CDB=90°，∴∠ADO+∠CDB=90°?！唷螼DB=180°﹣〔∠ADO+∠CDB〕=90°?！郆D⊥OD?！郆D是⊙O切線?！?〕連接DE，∵AE是直徑，∴∠ADE=90°。又∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C?！郉E∥BC。又∵D是AC中點(diǎn)，∴AD=CD。∴AD：CD=AE：BE。∴AE=BE。∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB?！郃D：AE=AC：AB。∴AC：AB=4：5。設(shè)AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，∴BC：AB=3：5?！連C=6，∴AB=10?！郃E=AB=10。【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，圓周角定理?！痉治觥俊?〕連接OD，由∠A=∠ADO，進(jìn)而證得∠ADO+∠CDB=90°，而證得BD⊥OD?！?〕連接DE，證得∠ADE=90°，∠ADE=∠C，而得DE∥BC，所以△ADE∽△ACB，設(shè)AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，而求得。7.〔肇慶10分〕：如圖．△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DF⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD。〔1〕求證：∠DAC=∠DBA〔2〕求證：P是線段AF的中點(diǎn)〔3〕假設(shè)⊙O的半徑為5，AF=，求tan∠ABF的值。【答案】解：〔1〕證：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA。∵∠DAC與∠CBD都是弧DC所對(duì)的圓周角，∴∠DAC=∠CBD?！唷螪AC=∠DBA?！?〕∵AB是直徑，∴∠DAC=900。又∵DF⊥AB，∴∠DEB=900。∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=900?！唷螦DE=∠ABD=∠DAP?！郟D=PA。又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=900，且∠DAC=∠ADE，∴∠PDF=∠DFA=∠DFP。∴PD=PF?！郟A=PF。即P是線段AF的中點(diǎn)?！?〕∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA，∴△FDA∽△ADB?！?。∴在△ADB中，。即tan∠ABF=?！究键c(diǎn)】同弧所對(duì)的圓周角性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等量代換，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥俊?〕利用同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)和角平分線定義可證?！?〕利用直徑所對(duì)的圓周角是直角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，經(jīng)過等量代換可證?！?〕利用相似三角形的判定和性質(zhì)可求。6.〔深圳2023年8分〕如圖，點(diǎn)D是⊙O的直徑CA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．〔1〕求證：BD是⊙O的切線．〔2〕假設(shè)點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，AE與BC相交于點(diǎn)F，且△BEF的面積為8，cos∠BFA＝，求△ACF的面積．【答案】解：〔1〕證明：連接BO，∵AB=AO，BO=AO，∴AB＝AD＝AO?！唷鰽BO為等邊三角形?！唷螧AO=∠ABO=60°?！逜B=AD，∴∠D=∠ABD。又∠D+∠ABD=∠BAO=60°，∴∠ABD=30°?！唷螼BD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO。又∵BO是⊙O的半徑，∴BD是⊙O的切線?！?〕∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF?！逜C是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°。在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴。又∵＝8，∴。【考點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角定理，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥俊?〕由等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角定理和等腰三角形的性質(zhì)判斷△DOB是直角三角形，那么∠OBD=90°，BD是⊙O的切線。〔2〕同弧所對(duì)的圓周角相等，可證明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面積比等于相似比的平方即可求解。10〔深圳2023年8分〕如圖1，在⊙O中，點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)，連接AC并延長至D，使CA=CD，連接DB并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接AE.〔1〕求證：AE是⊙O的直徑；圖1圖2〔2〕如圖2，連接CE，⊙O的半徑為5，AC長圖1圖2為4，求陰影局部面積之和.(保存與根號(hào))【答案】解：〔1〕證明：如圖，連接AB、BC，∵點(diǎn)C是劣弧AB上的中點(diǎn)，∴?！郈A＝CB。又∵CD＝CA，∴CB＝CD＝CA?！嘣凇鰽BD中，CB=AD?！唷螦BD＝90°。∴∠ABE＝90°?！郃E是⊙O的直徑。(2)如圖，由〔1〕可知，AE是⊙O的直徑，∴∠ACE＝90°。∵⊙O的半徑為5，AC＝4，∴AE＝10，⊙O的面積為25π。在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：CE=∴∴【考點(diǎn)】直角三角形的判定，直徑與圓周角的關(guān)系，勾股定理?！痉治觥俊?〕要證AE是⊙O的直徑，只要證AE所對(duì)的圓周角是直角即可。故作輔助線連接AB、BC，由的點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)和CA=CD即易證得。(2)求陰影局部面積之和，只要求⊙O的面積減去△ACE的面積即可。11.〔2023廣東深圳9分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：y=－2x＋b(b≥0)的位置隨b的不同取值而變化．(1)⊙M的圓心坐標(biāo)為(4，2)，半徑為2．當(dāng)b=時(shí)，直線：y=－2x＋b(b≥0)經(jīng)過圓心M：當(dāng)b=時(shí)，直線：y=－2x＋b(b≥0)與OM相切：(2)假設(shè)把⊙M換成矩形ABCD，其三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A(2，0)、B〔6，0〕、C(6，2).設(shè)直線掃過矩形ABCD的面積為S，當(dāng)b由小到大變化時(shí)，請(qǐng)求出S與b的函數(shù)關(guān)系式，【答案】解：〔1〕10；?！?〕由A(2，0)、B〔6，0〕、C(6，2)，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得D〔2，2〕。如圖，當(dāng)直線經(jīng)過A(2，0)時(shí)，b=4；當(dāng)直線經(jīng)過D〔2，2〕時(shí)，b=6；當(dāng)直線經(jīng)過B〔6，0〕時(shí)，b=12；當(dāng)直線經(jīng)過C(6，2)時(shí)，b=14。當(dāng)0≤b≤4時(shí)，直線掃過矩形ABCD的面積S為0。當(dāng)4＜