人教版高中數(shù)列知識點總結(jié)知識點例題3

數(shù)學(xué)必修5數(shù)列

知識點1：等差數(shù)列及其前n項

1.等差數(shù)列的定義

2.等差數(shù)列的通項公式

如果等差數(shù)列｛&｝的首項為公差為4那么它的通項公式&,=a\+(〃-1)d.

3.等差中項

如果4=空，那么A叫做a與b的等差中項.

4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項公式的推廣：an=am+(n-m)d,(〃，機@N*).

(2)若｛〃“｝為等差數(shù)列，且％+/=/?+〃，(k,I,m,nGN*),則以+□=","+an.

(3)若｛如｝是等差數(shù)列，公差為之則僅2“｝也是等差數(shù)列，公差為2d.

(4)若｛斯｝,｛仇｝是等差數(shù)列,則｛pa〃+曲｝也是等差數(shù)列.

⑸若｛如｝是等差數(shù)列，公差為d,則詼,ak+m,以+2m，…伏，mWN*)是公差為md的等差數(shù)

列.

5.等差數(shù)列的前〃項和公式

設(shè)等差數(shù)列5｝的公差d,其前n項和S尸一做Sn=na\+%&

6.等差數(shù)列的前〃項和公式與函數(shù)的關(guān)系

S"=，?2+(a［—數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列OS”=A/+B〃，(A、3為常數(shù)).

7.等差數(shù)列的最值

在等差數(shù)列｛為｝中，ai>0,d<0,則S”存在最大值:若ai<0,d>0,則S“

存在最小值.

［難點正本疑點清源］

1.等差數(shù)列的判定

(1)定義法:小一。”-1=義("22);

(2)等差中項法:2即+1=斯+斯+2.

2.等差數(shù)列與等差數(shù)列各項和的有關(guān)性質(zhì)

(1)即，am+k,a,n+2k,am+3k,…仍是等差數(shù)列，公差為匿/.

(2)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3,"-…也是等差數(shù)列.

(3)S2n-l=(2n—l)fln.

n

(4)若n為偶數(shù)，則S偶一S寺=呼/.

若〃為奇數(shù)，則S奇一S偶=4中(中間項).

31

例1(等差數(shù)列的判定或證明)：已知數(shù)列｛斯｝中，0=5，^=2—~~■(n22,

nEN*)，數(shù)列｛bn｝滿足bn=—^—(neN*).

Cln1

(1)求證：數(shù)列｛6｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛斯｝中的最大項和最小項，并說明理由.

⑴證明V??=2--(心2,〃GN*),/??=—777.

cin-\1

.?.〃N2時，bn—bn-\=-二一■~r

an—\an-\—\

11

an-\—l斯

...數(shù)列｛九｝是以一I為首項，1為公差的等差數(shù)列.

712

⑵解由(1)知，bn=n—y則跖產(chǎn)1+而=1+2〃與,

2

設(shè)函數(shù)段)=1+云二亍，

易知危)在區(qū)間(一8,3和區(qū)+8)內(nèi)為減函數(shù).

...當(dāng)〃=3時，為取得最小值一1；當(dāng)〃=4時，如取得最大值3.

例2(等差數(shù)列的基本量的計算)設(shè)a”d為實數(shù)，首項為a”公差為d的等差

數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,滿足S5s6+15=0.

(1)若S5=5,求S6及ai

(2)求d的取值范圍.

一15

解(1)由題意知S6=H=—3,O6=S6—S5=—8.

-5?i+10J=5,

所以

0+5d=-8.

解得ai=7,所以S6=—3,“1=7.

(2)方法一VS5S6+15=0,

，(5ai+l(W)(6ai+15J)+15=0,

即2曷+9而1+10心+1=0.

因為關(guān)于⑶的一元二次方程有解，所以

/=81H—8(10d+1)=1—820,

解得dW—2啦或122啦.

方法二VS5S6+15=0,

二(5a1+1(W)(6a1+15J)+15=0,

9而?+10/+i=o.

故(4ai+9J)2=d2—8.所以"228.

故d的取值范圍為dW-2a或心2啦.

例3(前n項和及綜合應(yīng)用)(1)在等差數(shù)列｛?。?，已知0=20,前〃項和為S”

且S10=$5,求當(dāng)〃取何值時，S,取得最大值，并求出它的最大值；

(2)已知數(shù)列｛a”｝的通項公式是斯=4〃-25,求數(shù)列｛%|｝的前八項和.

解方法一??3=20,Sio=Si5,

10X915X145

A10X20+—^―</=15X20+―內(nèi)—d,：.d=~y

斯=20+(〃-1)X(-§=一5〃+號

."13=0,即當(dāng)〃W12時，小>0,〃214時，斯<0,

12X11

...當(dāng)〃=12或13時,S,取得最大值，且最大值為Si3=Si2=12X20-2~

=130.

方法二同方法一求得4=一生

、

?.$C=2”0〃+,?(f?-—1)<(—于5=-^5+2,—125n=一5初f一2寸5Y十,3丁1?25

VnEN*,當(dāng)〃=12或13時，S,有最大值，且最大值為Si2=S3=130.

(2)9.an—^n—25,?！?1=4(〃+1)—25,

??1—=4=d,又a]=4X1—25=-21.

所以數(shù)列｛斯｝是以一21為首項，以4為公差的遞增的等差數(shù)列.

fa〃=4〃-25<0,①

令《

1斯+1=4(〃+1)-2520,②

由①得〃<6：；由②得心5女,所以〃=6.即數(shù)列｛|斯|｝的前6項是以21為首項,

公差為-4的等差數(shù)列，從第7項起以后各項構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，

而|a7|=S=4X7—24=3.

設(shè)｛|編｝的前〃項和為4,則

n(n—1)

21H+2X(-4)(〃<6)

T?=S

,?八?(〃一6)(〃一7)

66+3(〃-6)+2義4(〃27)

1―2層+23〃("<6),

―12層-23〃+132(〃27).

例4,已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之和為30,則其

公差為3

例5等差數(shù)列｛叫也｝的前〃項和分別為｛S“｝,｛7J，且東=7〃+,，則使得更為正

ln〃?3bn

整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是3.(先求an/bnn=5,13,35)

已知遞推關(guān)系求通項：這類問題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有三常

見思路：

⑴算出前幾項，再歸納、猜想；

⑵“an+l=pan+q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為a〃+l+4=p(a〃+幾),由待定系數(shù)法求出,

再化為等比數(shù)列；

(3)逐差累加或累乘法.

例6已知數(shù)列｛q｝中，，當(dāng)〃時，其前〃項和S,,滿足為=而\，則數(shù)列｛/｝

1

的通項公式為-

3n=1)

2

2

1-4/2

2s2

5-S?=——」

nw-1CC1

=S“1-x7

nS—\n=2nSnSn-1.=-C——C*—=2(/1'2)

°〃一1

nS—_I-

=、〃一2〃+l?

a.a、.

—,—,Qi,〃22.

%?1

例7在數(shù)列｛4｝中，q=2,a?+l=an+ln(l+-^),則2+呼

知識點2：等比數(shù)列及其n項和

I.等比數(shù)列的定義

2.等比數(shù)列的通項公式

3.等比中項

若(ab^O),那么G叫做“與人的等比中項.

4.等比數(shù)列的常用性質(zhì)

m

(1)通項公式的推廣：&n=an(f~,(n,m￡N*).

(2)若⑶｝為等比數(shù)列，且k+l=m+n,(k,1,m,n6N*),則&??=&?4.

(3)若｛an｝,｛回｝(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則｛Mn｝G#O),

/，｛硝，面?。?怖｝仍是等比數(shù)列.

5.等比數(shù)列的前n項和公式

等比數(shù)列｛an｝的公比為q(qWO),其前n項和為Sn,

當(dāng)q=l時，Sn=nai；

當(dāng)q4時，S產(chǎn)叫匕豆=手則

1—q1-q

6.等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)

公比不為一1的等比數(shù)列｛an｝的前n項和為S“，則Sn，S2n-Sn,S3n-s2n仍成等比數(shù)列，其

公比為/.

7.等比數(shù)列的單調(diào)性

q>i0<9<14=19<0

a>0遞增遞減常數(shù)列擺動數(shù)列

遞減遞增常數(shù)列擺動數(shù)列

【難點】

1.等比數(shù)列的特征

從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項都是非零的，公比4也是非常數(shù).

2.等比數(shù)列中的函數(shù)觀點

利用函數(shù)、方程的觀點和方法，揭示等比數(shù)列的特征及基本量之間的關(guān)系.在借

用指數(shù)函數(shù)討論單調(diào)性時，要特別注意首項和公比的大小.

3.等比數(shù)列的前〃項和S”

(1)等比數(shù)列的前〃項和*是用錯位相減法求得的，注意這種思想方法在數(shù)列求

和中的運用.

(2)等比數(shù)列的通項公式及前幾項*口公式)="；；；，(qWl)

共涉及五個量防，an,q,n,Sf?知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用.

(3)在使用等比數(shù)列的前〃項和公式時，如果不確定q與1的關(guān)系，一般要用分

類討論的思想，分公比q=l和兩種情況.

例1：(1)在等比數(shù)列■〃｝中,已知%一的=24,a3a5=64,求｛%｝的前8項和Sg;

(2)設(shè)等比數(shù)列｛知｝的公比為q(q>0),它的前〃項和為40,前2〃項和為3280,

且前〃項中數(shù)值最大的項為27,求數(shù)列的第2〃項.

(1)設(shè)數(shù)列｛?！ǎ墓葹閝,

由通項公式斯=aq"?及已知條件得：

。6—。4=。1夕3(/-1)=24,①

<

、。3?。5=(。1。3)2=64.②

由②得ai/=±8.

將。)=—8代入①式，得爐=—2,無解將。4=8代入①式，得/=4,二夕

=±2.,故舍去.

,.?i(l—?8)

當(dāng)夕=2時，0=1,.,.58=—^——=255；

i-q

.4Z|(1—O8)

當(dāng)4=—2時，ci1——1,??S&-I:85.

11—q

(2)若q=l,則〃s=40,2〃ai=3280,矛盾.

0(1—4).

—；-------=40n,①

i-q

ai(l—q2n)

—4~—=3280,

i-q

小得：l+g"=82,；.g"=81,③

將③代人①得q=1+20.④

又???g>0,...Ol,...aiX),｛斯｝為遞增數(shù)列.

11

arl=aicf=21,⑤

由③、④、⑤得q=3,Gi=1,〃=4.

；?a2,i=a8=1X3，=2187.

例2己知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,數(shù)列｛bn｝中，bi=ai,bn=

an-an-i(n22),且an+Sn=n.

(1)設(shè)Cn=an-1,求證：｛Cn｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式.

1)證明Van+Sn=n,①

??an+i+Sn+1=n+1.②

②—①得an+i—an+an+i=l,

=—

/.2an+ian+l,**.2(an+i—l)=an1,

??.包三/=1'｛an—1｝是等比數(shù)列.

,首項ci=ai—1,又ai+ai=l,

.\ai=2>?,?C]=一2,公比q=.

又Cn=an-1,

，｛Cn｝是以一g為首項，3為公比的等比數(shù)列?

(2)解由(1)可知品=

/?an=Cn+1=1—??當(dāng)11N2時，bn=Hn—3n-l

=1

又加=0=另代入上式也符合，，為=

例3在等比數(shù)列｛<;"｝中，（1）若已知02=4,“5=一/求?！?；

(2)若已知a304a5=8,求a2a3a4a5恁的值.

解⑴設(shè)公比為q,則竽=。即,=

CL2o

n4

：.an=a5q$=(-￡)".

(2)f。3。4。5=8,又。3。5=曷，，。?=8,。4=2.

??4a5。6=鬲=2,=32.

例已知數(shù)列｛｝滿足。"+馴岑

4a"a=l,“2=2,2=T,z?GN*.

（1）令濟=4+1—斯,證明：｛為｝是等比數(shù)列;

⑵求｛斯｝的通項公式.

規(guī)范解答

⑴證明b\=a2—a\=\,[1分]

wnj.,an-\+an

3〃32時，~an

=-一1)=-2^-1,[5分]

.?.伯”｝是首項為1,公比為一3的等比數(shù)列.

[6分]

71-1

(2)解由(1)知bn=an+i—an[8分]

當(dāng)“22時，斯=。1+（。2-。1）+（俏-。2）+…+（如—斯-1）[10分]

（三角函數(shù)）

例5若數(shù)列1,2cos9,22cos②9,23cos。，…，前100項之和為0,則9的值為

角成等差數(shù)列，三邊成等比數(shù)列，則三角形的形狀為—等邊三角形

【綜合應(yīng)用】

例7.已知等差數(shù)列｛圓｝的首項ai=l,公差d>0,且第2項、第5項、第14項分

別是等比數(shù)列｛d｝的第2項、第3項、第4項.

(1)求數(shù)列｛斯｝與□”｝的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛&｝對〃GN*均有詈■+2H---卜詈=。”+1成立，求ci+c2+c3H---卜C2013.

02Un

解(1)由已知有G2=l+d,(75=1+4<7,04=1+134,

.,.(1+4J)2=(1+J)(1+13J).解得d=2(VJ>0).

=

an1