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專題過(guò)關(guān)檢測(cè)(十六)立體幾何1.(2019·石家莊模擬)如圖,已知三棱錐P-ABC中,PC⊥AB,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,PB=4,∠PBC=60°.(1)證明:平面PAC⊥平面ABC;(2)設(shè)F為棱PA的中點(diǎn),在AB上取點(diǎn)E,使得AE=2EB,求三棱錐F-ACE與四棱錐C-PBEF的體積之比.解:(1)證明:在△PBC中,∠PBC=60°,BC=2,PB=4,由余弦定理可得PC=2eq\r(3),∴PC2+BC2=PB2,∴PC⊥BC,又PC⊥AB,AB∩BC=B,∴PC⊥平面ABC,∵PC?平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC.(2)設(shè)三棱錐F-ACE的高為h1,三棱錐P-ABC的高為h,則VF-ACE=eq\f(1,3)×S△ACE×h1=eq\f(1,3)×S△ABC×eq\f(2,3)×h×eq\f(1,2)=eq\f(1,3)×S△ABC×h×eq\f(1,3)=eq\f(1,3)×VP-ABC.∴三棱錐F-ACE與四棱錐C-PBEF的體積之比為1∶2.2.(2020屆高三·福建五校第二次聯(lián)考)如圖,在五面體ABCDFE中,底面ABCD為矩形,EF∥AB,BC⊥FD,過(guò)BC的平面交棱FD于P,交棱FA于Q.(1)證明:PQ∥平面ABCD;(2)若CD⊥BE,EF=EC=1,CD=2EF=eq\f(2,3)BC,求五面體ABCDFE的體積.解:(1)證明:因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以AD∥BC.又AD?平面ADF,BC?平面ADF,所以BC∥平面ADF.又BC?平面BCPQ,平面BCPQ∩平面ADF=PQ,所以BC∥PQ.又PQ?平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PQ∥平面ABCD.(2)由CD⊥BE,CD⊥CB,易證CD⊥CE.由BC⊥CD,BC⊥FD,易證BC⊥平面CDFE,所以CB⊥CE,即CD,CE,CB兩兩垂直.如圖,連接FB,F(xiàn)C,因?yàn)镋F=EC=1,CD=2EF=eq\f(2,3)BC,所以CD=2,BC=3,V四棱錐F-ABCD=eq\f(1,3)×(2×3)×1=2,V三棱錐F-BCE=eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×3×1))×1=eq\f(1,2),所以VABCDFE=V四棱錐F-ABCD+V三棱錐F-BCE=2+eq\f(1,2)=eq\f(5,2).3.如圖①,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中點(diǎn),將△ADE沿AE折起,得到如圖②所示的四棱錐D1-ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)證明:BE⊥平面D1AE;(2)設(shè)F為CD1的中點(diǎn),在線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使得MF∥平面D1AE,若存在,求出eq\f(AM,AB)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)證明:∵四邊形ABCD為矩形且AD=DE=EC=BC=2,∴∠AEB=90°,即BE⊥AE,又平面D1AE⊥平面ABCE,平面D1AE∩平面ABCE=AE,∴BE⊥平面D1AE.(2)eq\f(AM,AB)=eq\f(1,4),理由如下:取D1E的中點(diǎn)L,連接FL,AL,∴FL∥EC.又EC∥AB,∴FL∥AB,且FL=eq\f(1,4)AB,∴M,F(xiàn),L,A四點(diǎn)共面,若MF∥平面AD1E,則MF∥AL.∴四邊形AMFL為平行四邊形,∴AM=FL=eq\f(1,4)AB,即eq\f(AM,AB)=eq\f(1,4).4.(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AB=2BC=2,AP=AC,BP=3BC.(1)求證:平面PAD⊥平面ABCD;(2)若∠PAD為銳角,且PA與平面ABCD所成角的正切值為2,求點(diǎn)C到平面PAB的距離.解:(1)證明:在直角梯形ABCD中,∵BC=1,AB=2,AB⊥BC,∴AC=eq\r(5),即AP=AC=eq\r(5),BP=3BC=3,∴BA2+AP2=BP2,∴BA⊥AP,又AD∥BC,∴BA⊥AD,又AP∩AD=A,∴BA⊥平面PAD,∵BA?平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD.(2)如圖,過(guò)點(diǎn)P作PO⊥AD交AD于點(diǎn)O,連接OC,由(1)可知PO⊥平面ABCD,則∠PAO為PA與平面ABCD所成的角,∴tan∠PAO=2.又AP=eq\r(5),∴AO=1,PO=2.∴AO綊BC,∴四邊形ABCO為矩形,∴OC⊥AD.設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為d,由V三棱錐C-PAB=V三棱錐P-ABC,可得eq\f(1,3)·S△PAB·d=eq\f(1,3)·S△ABC·PO,∴d=PO·eq\f(S△ABC,S△PAB)=2×eq\f(\f(1,2)×2×1,\f(1,2)×2×\r(5))=eq\f(2\r(5),5).故點(diǎn)C到平面PAB的距離為eq\f(2\r(5),5).5.如圖,在幾何體ABCDEF中,底面ABCD為矩形,EF∥CD,CD⊥EA,CD=2EF=2,ED=eq\r(3),M為棱FC上一點(diǎn),平面ADM與棱FB交于點(diǎn)N.(1)求證:ED⊥CD;(2)求證:AD∥MN;(3)若AD⊥ED,試問(wèn)平面BCF是否可能與平面ADMN垂直?若能,求出eq\f(FM,FC)的值;若不能,說(shuō)明理由.解:(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以CD⊥AD.又因?yàn)镃D⊥EA,EA∩AD=A,所以CD⊥平面EAD.因?yàn)镋D?平面EAD,所以ED⊥CD.(2)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以AD∥BC,又因?yàn)锳D?平面FBC,BC?平面FBC,所以AD∥平面FBC.又因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面FBC=MN,所以AD∥MN.(3)平面ADMN與平面BCF可以垂直.證明如下:連接DF.因?yàn)锳D⊥ED,AD⊥CD,ED∩CD=D,所以AD⊥平面CDEF.所以AD⊥DM.因?yàn)锳D∥MN,所以DM⊥MN.因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面FBC=MN,所以若使平面ADMN⊥平面BCF,則DM⊥平面BCF,所以DM⊥FC.在梯形CDEF中,因?yàn)镋F∥CD,DE⊥CD,CD=2EF=2,ED=eq\r(3),所以DF=DC=2.所以若使DM⊥FC成立,則M為FC的中點(diǎn).所以eq\f(FM,FC)=eq\f(1,2).6.(2019·福州質(zhì)檢)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,M,N分別是AB,AA1的中點(diǎn),且A1M⊥B1N.(1)求證:B1N⊥A1C;(2)求M到平面A1B1C的距離.解:(1)證明:如圖,連接CM.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,CM?平面ABC.所以AA1⊥CM.在△ABC中,AC=BC,AM=BM,所以CM⊥AB.又AA1∩AB=A,所以CM⊥平面ABB1A1.因?yàn)锽1N?平面ABB1A1,所以CM⊥B1N.又A1M⊥B1N,A1M∩CM=M,所以B1N⊥平面A1CM.因?yàn)锳1C?平面A1CM,所以B1N⊥A1C.(2)連接B1M.在矩形ABB1A1中,因?yàn)锳1M⊥B1N,所以∠AA1M=∠A1B1N.所以tan∠AA1M=tan∠A1B1N,即eq\f(AM,AA1)=eq\f(A1N,A1B1).因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,M,N分別是AB,AA1的中點(diǎn),所以AM=1,CM=eq\r(3),A1B1=2.設(shè)AA1=x,則A1N=eq\f(x,2).所以eq\f(1,x)=eq\f(\f(x,2),2),解得x=2.從而Seq\a\vs4\al(△A1B1M)=eq\f(1,2)Seq\a\vs4\al(正方形ABB1A1)=2,A1C=B1C=2eq\r(2).在△A1CB1中,cos∠A1CB1=eq\f(A1C2+B1C2-A1B\o\al(2,1),2A1C·B1C)=eq\f(3,4),所以sin∠A1CB1=eq\f(\r(7),4),所以Seq\a\vs4\al(△A1B1C)=eq\f(1,2)A1C·B1C·sin∠A1CB1=eq\r(7).設(shè)點(diǎn)M到平面A1B1C的距離為d,由V三棱錐M-A1B1C=Veq\a\vs4\al(三棱錐C
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