高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 練案（13）第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十講 函數(shù)模型及其應(yīng)用（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[練案13]第十講函數(shù)模型及其應(yīng)用A組基礎(chǔ)鞏固一、單選擇1．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是(C)A．v＝log2t B．v＝logeq\s\do4(\f(1,2))tC．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2[解析]解法一：v值隨t值增大，且增長速度越來越快，故應(yīng)選擇冪函數(shù)模型，僅選項(xiàng)C符合．解法二：取t＝1.99≈2(或t＝5.1≈5)，代入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B，得v＝logeq\s\do4(\f(1,2))2＝－1≠1.5；代入C，得v＝eq\f(22－1,2)＝1.5；代入D，得v＝2×2－2＝2≠1.5.其余4組數(shù)據(jù)同樣代入可知C最合要求．故選C.2．(2020·安陽模擬)某類產(chǎn)品按工藝共分10個(gè)檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤為8元．每提高一個(gè)檔次，每件利潤增加2元．用同樣工時(shí)，可以生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品60件，每提高一個(gè)檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品，則每天獲得利潤最大時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是(C)A．7 B．8C．9 D．10[解析]由題意，當(dāng)生產(chǎn)第k檔次的產(chǎn)品時(shí)，每天可獲得利潤為y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6(k－9)2＋864(1≤k≤10，k∈N)，所以當(dāng)k＝9時(shí)，獲得利潤最大，故選C.3．(2020·安徽馬鞍山模擬)某高校為提升科研能力，計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入．若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1300萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長12%，則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過2000萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)(B)A．2020年 B．2021年C．2022年 D．2023年[解析]若2018年是第一年，則第n年科研費(fèi)為1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研經(jīng)費(fèi)超過2000萬元．故選B.4．(2020·河南豫南豫北第二次聯(lián)考)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿垣的問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．問幾何日相逢？”意思是：有面厚五尺的墻壁，大、小兩只老鼠同時(shí)從墻的兩面，沿一直線相對打洞．大鼠第一天打1尺，以后每天的速度為前一天的2倍；小鼠第一天也打1尺，以后每天的速度是前一天的一半．它們多久可以相遇？(A)A．eq\f(36,17)天 B．eq\f(37,17)天C．eq\f(38,17)天 D．eq\f(39,17)天[解析]由于前兩天大鼠打(1＋2)尺，小鼠打(1＋eq\f(1,2))尺，因此前兩天兩只老鼠共打3＋1.5＝4.5(尺)．第三天，大鼠打4尺，小鼠打eq\f(1,4)尺，因此兩只老鼠第三天相遇．設(shè)第三天相遇時(shí)，大鼠打y尺，小鼠打(0.5－y)尺，則eq\f(y,4)＝eq\f(0.5－y,\f(1,4))，所以y＝eq\f(8,17)，因?yàn)榈谌齑笫蟮乃俣仁?尺/天，所以第三天進(jìn)行了eq\f(\f(8,17),4)＝eq\f(2,17)(天)，所以它們經(jīng)過2＋eq\f(2,17)＝eq\f(36,17)天可以相遇．故選A.5．(2020·江西南昌二輪復(fù)習(xí)測試)某地一電商2016年和2017年這兩年“雙十一”當(dāng)天的銷售額連續(xù)增加，其中2016年的增長率為a,2017年的增長率為b，則該電商這兩年“雙十一”當(dāng)天銷售額的平均增長率為(D)A．eq\r(ab) B．eq\f(a＋b,2)C.eq\f(a＋1b＋1－1,2) D．eq\r(a＋1b＋1)－1[解析]設(shè)該電商這兩年“雙十一”當(dāng)天銷售額的平均增長率為x，則(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，∴x＝eq\r(1＋a1＋b)－1，故選D.6．(2020·云南保山聯(lián)考)某種新藥服用xh后，血液中的藥物殘留量為y毫克，如圖，為函數(shù)y＝f(x)的圖象，當(dāng)血液中藥物殘留量不小于240毫克時(shí)，治療有效．設(shè)某人上午8：00第一次服藥，為保證療效，則第二次服藥最遲應(yīng)在當(dāng)日(C)A．上午10：00B．中午12：00C．下午4：00D．下午6：00[解析]當(dāng)x∈[0,4]時(shí)，設(shè)y＝k1x，把(4,320)代入，得320＝4k1，解得k1＝80，所以y＝80x.當(dāng)x∈(4,20]時(shí)，設(shè)y＝k2x＋b.把(4,320)，(20,0)分別代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(320＝4k2＋b，,0＝20k2＋b))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝－20，,b＝400，))所以y＝400－20x.所以y＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80x，0≤x≤4，,400－20x，4<x≤20.))令f(x)＝240，得x＝3或x＝8.故第二次服藥最遲應(yīng)在當(dāng)日下午4：00.二、多選題7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則要洗的次數(shù)是(CD)A．2 B．3C．4 D．5[解析]設(shè)至少要洗x次，則(1－eq\f(3,4))x≤eq\f(1,100)，所以eq\f(1,4x)≤eq\f(1,100)，4x≥100，因此至少洗4次，故選C、D.8.已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛，甲、乙兩車的速度曲線分別為v甲和v乙，如圖所示，那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中不一定正確的是(BCD)A．在t1時(shí)刻，甲車在乙車前面B．t1時(shí)刻后，甲車在乙車后面C．在t0時(shí)刻，兩車的位置相同D．t0時(shí)刻后，乙車在甲車前面[解析]由圖象可知，曲線v甲比v乙在0～t0,0～t1與t軸所圍成的圖形面積大，則在t0，t1時(shí)刻，甲車均在乙車前面．故選B、C、D.三、填空題9．“彎弓射雕”描述了游牧民族的豪邁氣概，當(dāng)弓箭以每秒a米的速度從地面垂直向上射出時(shí)，t秒后的高度為x米，可由x＝at－5t2確定，已知射箭2秒后箭離地面高100米，則弓箭能達(dá)到的最大高度為__180米__.[解析]由x＝at－5t2且t＝2時(shí)，x＝100，解得a＝60，所以x＝60t－5t2，而x＝60t－5t2＝－5(t－6)2＋180，則當(dāng)t＝6時(shí)，x的最大值為180米，即弓箭能達(dá)到的最大高度為180米．10．一個(gè)容器裝有細(xì)沙acm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，tmin后剩余的細(xì)沙最為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過__16__min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一．[解析]當(dāng)t＝8時(shí)，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，所以e－8b＝eq\f(1,2).容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24.所以再經(jīng)過16min容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一．11．為了在“十一”黃金周期間降價(jià)搞促銷，某超市對顧客實(shí)行購物優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)定一次購物付款總額：①如果不超過200元，則不予優(yōu)惠；②如果超過200元，但不超過500元，則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)惠；③如果超過500元，其中500元按第②條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7折優(yōu)惠．小明和她母親兩次去購物，分別付款168元和423元，假設(shè)她們一次性購買上述同樣的商品，則應(yīng)付款額為546.6元．[解析]依題意，價(jià)值為x元商品和實(shí)際付款數(shù)f(x)之間的函數(shù)關(guān)系式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0≤x≤200，,0.9x200<x≤500，,500×0.9＋x－500×0.7x>500，))當(dāng)f(x)＝168時(shí)，由168÷0.9≈187<200，故此時(shí)x＝168；當(dāng)f(x)＝423時(shí)，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此時(shí)x＝470.所以兩次共購得價(jià)值為470＋168＝638元的商品，又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6，即若一次性購買上述商品，應(yīng)付款額為546.6元．四、解答題12．某自來水廠的蓄水池存有400噸水，水廠每小時(shí)可向蓄水池中注水60噸，同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水，t小時(shí)內(nèi)供水總量為120eq\r(6t)噸(0≤t≤24)．(1)從供水開始到第幾小時(shí)時(shí)，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少噸？(2)若蓄水池中水量少于80噸時(shí)，就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，請問：在一天的24小時(shí)內(nèi)，有幾小時(shí)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象．[解析](1)設(shè)t小時(shí)后蓄水池中的存水量為y噸，則y＝400＋60t－120eq\r(6t)，令eq\r(6t)＝x，則x2＝6t，即t＝eq\f(x2,6)，所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，(構(gòu)建二次函數(shù))所以當(dāng)x＝6，即t＝6時(shí)，ymin＝40，即從供水開始到第6小時(shí)時(shí)，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40噸．(2)由(1)及題意得400＋10x2－120x<80，即x2－12x＋32<0，解得4<x<8，即4<eq\r(6t)<8，eq\f(8,3)<t<eq\f(32,3).因?yàn)閑q\f(32,3)－eq\f(8,3)＝8，所以每天約有8小時(shí)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象．13．(2020·山東三校聯(lián)考，21)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．調(diào)研過程中發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W(單位：千克)與肥料費(fèi)用10x(單位：元)滿足如下關(guān)系：W(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x2＋2，0≤x≤2，,\f(50x,1＋x)，2<x≤5，))其他成本投入(如培育管理、施肥等人工費(fèi))20x元．已知這種水果的市場價(jià)大約為15元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求，記該珍稀水果樹的單株利潤為f(x)(單位：元)．(1)求f(x)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該珍稀水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？[解析](1)由已知得f(x)＝15W(x)－20x－10x＝15W(x)－30x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15×5x2＋2－30x，0≤x≤2，,15×\f(50x,1＋x)－30x，2<x≤5))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(75x2－30x＋150，0≤x≤2，,\f(750x,1＋x)－30x，2<x≤5.))(2)由(1)得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(75x2－30x＋150，0≤x≤2，,\f(750x,1＋x)－30x，2<x≤5，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(75x－\f(1,5)2＋147，0≤x≤2，,780－30[\f(25,1＋x)＋1＋x]，2<x≤5，))當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)max＝f(2)＝390；當(dāng)2<x≤5時(shí)，f(x)＝780－30[eq\f(25,1＋x)＋(1＋x)]≤780－30×2eq\r(\f(25,1＋x)·1＋x)＝480，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(25,1＋x)＝1＋x，即x＝4時(shí)等號成立．因?yàn)?90<480，所以當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)max＝480.答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為40元時(shí)，種植該果樹的單株利潤最大，最大利潤是480元．B組能力提升1．(2020·上海浦東新區(qū)期中)國際上通常用恩格爾系數(shù)衡量一個(gè)國家和人民生活水平的狀況，它的計(jì)算公式為n＝eq\f(x,y)(x代表人均食品支出總額，y代表人均個(gè)人消費(fèi)支出總額)，且y＝2x＋475，各種類型的家庭標(biāo)準(zhǔn)如表：家庭類型貧困溫飽小康富裕nn≥59%50%≤n<59%40%≤n<50%30%≤n<40%張先生居住區(qū)2019年比2018年食品支出下降7.5%，張先生家在2019年購買食品和2018年完全相同的狀況下，人均個(gè)人消費(fèi)少支出75元，則張先生家2019年屬于(D)A．貧困 B．溫飽C．小康 D．富裕[解析]設(shè)2018年人均食品支出x元，則2019年人均食品支出x(1－7.5%)＝92.5%x,2019年人均消費(fèi)支出2×92.5%x＋475，由題意，有2×92.5%x＋475＋75＝2x＋475，∴x＝500.此時(shí)，n＝eq\f(92.5%×500,2×92.5%×500＋475)≈0.3304＝33.04%，由表知屬富裕．2．(2020·山西朔州一中期末)設(shè)某公司有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn)，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬元(均正常數(shù))，公司決定從原有員工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去進(jìn)行新開發(fā)的產(chǎn)品B的生產(chǎn)、分流后，繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年人創(chuàng)造產(chǎn)值在原有基礎(chǔ)上增長了1.2x%，若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少，則最多能分流的人數(shù)是(B)A．15 B．16C．17 D．18[解析]依題意，分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100t(萬元)，分流x人后，每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為(100－x)(1＋1.2x%)t，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<100，x∈N*,100－x1＋1.2x%t≥100t))，解得0<x≤eq\f(50,3)，又因?yàn)閤∈N*，所以x的最大值為16，故選B.3．(2020·湖北省七市高三聯(lián)考)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時(shí)間t(時(shí))的關(guān)系為P＝P0e－kt.如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費(fèi)的時(shí)間為__10__小時(shí)．[解析]前5小時(shí)污染物消除了10%，此時(shí)污染物剩下90%，即t＝5時(shí)，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝eq\r(5,0.9)＝0.9eq\f(1,5)，∴P＝P0e－kt＝P0(0.9eq\f(1,5))t.當(dāng)污染物