高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 練案（74）高考大題規(guī)范解答系列（六）-概率與統(tǒng)計(jì)（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[練案74]高考大題規(guī)范解答系列(六)——概率與統(tǒng)計(jì)1．(2020·江西吉安期中)據(jù)報(bào)道，全國(guó)很多省市將英語(yǔ)考試作為高考改革的重點(diǎn)，一時(shí)間“英語(yǔ)考試該如何改革”引起廣泛關(guān)注，為了解某地區(qū)學(xué)生和包括老師、家長(zhǎng)在內(nèi)的社會(huì)人士對(duì)高考英語(yǔ)改革的看法，某媒體在該地區(qū)選擇了3600人進(jìn)行調(diào)查，就“是否取消英語(yǔ)聽(tīng)力”問(wèn)題進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：態(tài)度調(diào)查人群應(yīng)該取消應(yīng)該保留無(wú)所謂在校學(xué)生2100人120人y人社會(huì)人士600人x人z人(1)已知在全體樣本中隨機(jī)抽取1人，抽到持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人的概率為0.05，現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取360人進(jìn)行問(wèn)卷訪談，問(wèn)應(yīng)在持“無(wú)所謂”態(tài)度的人中抽取多少人？(2)在持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取6人，再平均分成兩組進(jìn)行深入交流，求第一組中在校學(xué)生人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)因?yàn)槌榈匠帧皯?yīng)該保留”態(tài)度的人的概率為0.05，所以eq\f(120＋x,3600)＝0.05，所以x＝60.所以持“無(wú)所謂”態(tài)度的人數(shù)共有3600－2100－120－600－60＝720，所以應(yīng)在“無(wú)所謂”態(tài)度抽取720×eq\f(360,3600)＝72人．(2)由(1)知持“應(yīng)該保留”態(tài)度的一共有180人，所以在所抽取的6人中，在校學(xué)生為eq\f(120,180)×6＝4人，社會(huì)人士為eq\f(60,180)×6＝2人，則第一組在校學(xué)生人數(shù)ξ＝1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，即ξ的分布列為：ξ123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)∴E(ξ)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.2．(2019·湖南衡陽(yáng)模擬)2018年2月25日，平昌冬奧會(huì)閉幕式上的“北京8分鐘”驚艷了世界．某校為了讓學(xué)生更好地了解奧運(yùn)，了解新時(shí)代祖國(guó)的科技發(fā)展，在高二年級(jí)舉辦了一次知識(shí)問(wèn)答比賽．比賽共設(shè)三關(guān)，第一、二關(guān)各有兩個(gè)問(wèn)題，兩個(gè)問(wèn)題全答對(duì)，可進(jìn)入下一關(guān)；第三關(guān)有三個(gè)問(wèn)題，只要答對(duì)其中兩個(gè)問(wèn)題，則闖關(guān)成功．每過(guò)一關(guān)可一次性獲得分別為1,2,3分的積分獎(jiǎng)勵(lì)，高二(1)班對(duì)三關(guān)中每個(gè)問(wèn)題回答正確的概率依次為eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且每個(gè)問(wèn)題回答正確與否相互獨(dú)立．(1)記A表示事件“高二(1)班未闖到第三關(guān)”，求P(A)的值；(2)記X表示高二(1)班所獲得的積分總數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)令A(yù)1表示事件“高二(1)班闖過(guò)第一關(guān)”，A2表示事件“高二(1)班闖過(guò)第二關(guān)”，因?yàn)镻(A1)＝(eq\f(3,4))2＝eq\f(9,16)，P(A2)＝(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9)，所以P(A)＝P(eq\x\to(A1))＋P(A1eq\x\to(A2))＝(1－eq\f(9,16))＋eq\f(9,16)×(1－eq\f(4,9))＝eq\f(3,4).(2)隨機(jī)變量X的取值為0,1,3,6，則P(X＝0)＝1－(eq\f(3,4))2＝eq\f(7,16)，P(X＝1)＝(eq\f(3,4))2×[1－(eq\f(2,3))2]＝eq\f(5,16)，P(X＝3)＝(eq\f(3,4))2×(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))＝eq\f(1,8)，P(X＝6)＝(eq\f(3,4))2×(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))＝eq\f(1,8)，故隨機(jī)變量X的分布列為X0136Peq\f(7,16)eq\f(5,16)eq\f(1,8)eq\f(1,8)所以E(X)＝0×eq\f(7,16)＋1×eq\f(5,16)＋3×eq\f(1,8)＋6×eq\f(1,8)＝eq\f(23,16).3．(2020·百師聯(lián)盟期中)為了了解一個(gè)智力游戲是否與性別有關(guān)，從某地區(qū)抽取男、女游戲玩家各200名，其中游戲水平為高級(jí)和非高級(jí)兩種．(1)根據(jù)題意完善下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%以上的把握認(rèn)為智力游戲水平高低與性別有關(guān)？高級(jí)非高級(jí)合計(jì)女40男140合計(jì)(2)按照性別用分層抽樣的方法從這些人中抽取10人，從這10人中抽取3人作為游戲參賽選手；①若甲入選了10人名單，求甲成為參賽選手的概率．②設(shè)抽取的3名選手中女生的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0100.050.001k06.6357.87910.828[解析](1)性別高級(jí)非高級(jí)合計(jì)女40160200男60140200合計(jì)100300400K2＝eq\f(40040×140－160×602,200×200×100×300)≈5.333<6.635，所以沒(méi)有99%以上的把握認(rèn)為智力游戲水平高低與性別有關(guān)．(2)①甲入選3人名單的概率為P＝eq\f(C\o\al(2,9),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)；②根據(jù)分層抽樣的特征10人中男、女各5人，女生的人數(shù)X的所有取值為0,1,2,3；P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)；所以X的分布列為X0123Peq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(5,12)eq\f(1,12)數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(5,12)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,12)＝eq\f(3,2).4．(2020·河北省石家莊市質(zhì)檢)某公司為了提高利潤(rùn)，從2012年至2018年每年對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額與年利潤(rùn)增長(zhǎng)的數(shù)據(jù)如下表：年份2012201320142015201620172018投資金額x(萬(wàn)元)4.55.05.56.06.57.07.5年利潤(rùn)增長(zhǎng)y(萬(wàn)元)6.07.07.48.18.99.611.1(1)請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸直線方程；如果2019年該公司計(jì)劃對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)的投資金額為8萬(wàn)元，估計(jì)該公司在該年的年利潤(rùn)增長(zhǎng)為多少？(結(jié)果保留兩位小數(shù))(2)現(xiàn)從2012年～2018年這7年中抽出三年進(jìn)行調(diào)查，記λ＝年利潤(rùn)增長(zhǎng)－投資金額，設(shè)這三年中λ≥2(萬(wàn)元)的年份數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與期望．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝359.6，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝259.[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝8.3,7eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝348.6，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(359.6－348.6,259－7×36)＝eq\f(11,7)≈1.571，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，那么回歸直線方程為：eq\o(y,\s\up6(^))＝1.57x－1.13，將x＝8代入方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝1.57×8－1.13＝11.43，即該公司在該年的年利潤(rùn)增長(zhǎng)大約為11.43萬(wàn)元．(2)由題意可知，年份2012201320142015201620172018λ1.521.92.12.42.63.6ξ的可能取值為1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,7)；P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,7)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(2,7).則分布列為ξ123Peq\f(1,7)eq\f(4,7)eq\f(2,7)E(ξ)＝1×eq\f(1,7)＋2×eq\f(4,7)＋3×eq\f(2,7)＝eq\f(15,7).5．(2019·安徽合肥質(zhì)檢)每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎(chǔ)．為了做好今年的世界睡眠日宣傳工作，某社區(qū)從本轄區(qū)內(nèi)同一年齡層次的人員中抽取了100人，通過(guò)問(wèn)詢的方式得到他們?cè)谝恢軆?nèi)的睡眠時(shí)間(單位：小時(shí))，并繪制出如圖的頻率分布直方圖：(1)求這100人睡眠時(shí)間的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，結(jié)果精確到個(gè)位)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，人的睡眠時(shí)間t近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似地等于樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似地等于樣本方差s2，s2≈33.6.假設(shè)該轄區(qū)內(nèi)這一年齡層次共有10000人，試估計(jì)該人群中一周睡眠時(shí)間位于區(qū)間(39.2,50.8)的人數(shù)．附：eq\r(33.6)≈5.8.若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544.[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝0.06×34＋0.18×38＋0.20×42＋0.28×46＋0.16×50＋0.10×54＋0.02×58＝44.72≈45.(2)由題意得，μ－σ≈39.2，μ＋σ≈50.8，P(39.2<t<50.8)＝0.6826，所以估計(jì)該人群中一周睡眠時(shí)間在區(qū)間(39.2,50.8)的人數(shù)約為10000×0.6826＝6826(人)．6．(2019·東莞模擬)為了調(diào)查某地區(qū)成年人血液的一項(xiàng)指標(biāo)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了成年男性、女性各20人組成一個(gè)樣本，對(duì)他們的這項(xiàng)血液指標(biāo)進(jìn)行了檢測(cè)，得到了如下莖葉圖．根據(jù)醫(yī)學(xué)知識(shí)，我們認(rèn)為此項(xiàng)指標(biāo)大于40為偏高，反之即為正常．(1)依據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)研究此項(xiàng)血液指標(biāo)與性別的關(guān)系，列出2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為此項(xiàng)血液指標(biāo)與性別有關(guān)系？(2)以樣本估計(jì)總體，視樣本頻率為概率，現(xiàn)從本地區(qū)隨機(jī)抽取成年男性、女性各2人，求此項(xiàng)血液指標(biāo)為正常的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋dP(K2≥k0)0.0250.0100.005k05.0246.6357.879[解析](1)由莖葉圖可得2×2列聯(lián)表：正常偏高合計(jì)男性16420女生12820合計(jì)281240K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(40×16×8－4×122,20×20×28×12)≈1.905<6.635，所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為此項(xiàng)血液指標(biāo)與性別有關(guān)系．(2)由樣本數(shù)據(jù)可知，男性正常的概率為eq\f(4,5)，女性正常的概率為eq\f(3,5).此項(xiàng)血液指標(biāo)為正常的人數(shù)X的可能取值為0,1,2,3,4，P(X＝0)＝(1－eq\f(4,5))2(1－eq\f(3,5))2＝eq\f(4,625)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)eq\f(4,5)(1－eq