高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題11 函數(shù)與方程及其應(yīng)用（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題11函數(shù)與方程及其應(yīng)用一、【知識(shí)精講】1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點(diǎn)，而是y＝f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù).2．函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件.3．二分法的定義對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(diǎn)有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)．二、【典例精練】eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、所在區(qū)間)例1.(1)設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，則x0所在的區(qū)間是________.(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx，則函數(shù)y＝f(x)()A．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)B．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn)C．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn)D．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)【答案】(1)C(2)D【解析】(1)設(shè)f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)，則x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y＝x3與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)的圖象如圖所示.因?yàn)閒(1)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝－1<0，f(2)＝8－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2).(2)法一：圖象法令f(x)＝0得eq\f(1,3)x＝lnx．作出函數(shù)y＝eq\f(1,3)x和y＝lnx的圖象，如圖，顯然y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)無零點(diǎn)，在(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)．法二：定理法當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))時(shí)，函數(shù)圖象是連續(xù)的，且f′(x)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,x)＝eq\f(x－3,3x)<0，所以函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上單調(diào)遞減．又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,3e)＋1>0，f(1)＝eq\f(1,3)>0，f(e)＝eq\f(1,3)e－1<0，所以函數(shù)有唯一的零點(diǎn)在區(qū)間(1，e)內(nèi)．【解法小結(jié)】掌握判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法(1)解方程法若對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0可解，通過解方程，即可判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)，其中方程有幾個(gè)解就對(duì)應(yīng)有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)定理法利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷，但必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(3)數(shù)形結(jié)合法合理轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象(易畫出圖象)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其是否有交點(diǎn)，若有交點(diǎn)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用)考法(一)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍例2.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)【答案】C【解析】令h(x)＝－x－a，則g(x)＝f(x)－h(huán)(x)．在同一坐標(biāo)系中畫出y＝f(x)，y＝h(x)的示意圖，如圖所示．若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則y＝f(x)的圖象與y＝h(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，平移y＝h(x)的圖象，可知當(dāng)直線y＝－x－a過點(diǎn)(0,1)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)1＝－0－a，a＝－1.當(dāng)y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1時(shí)，僅有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意．綜上，a的取值范圍為[－1，＋∞)．考法(二)已知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍例3.(2019·安慶摸底)若函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))【解析】∵函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點(diǎn)，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a＝4x－2x可變形為a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，∵x∈[－1,1]，∴2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).例4.(2018·浙江卷)已知λ∈R，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x<λ.))(1)當(dāng)λ＝2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是________.(2)若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是________.【答案】(1)(1，4)(2)(1，3]∪(4，＋∞)【解析】(1)若λ＝2，當(dāng)x≥2時(shí)，令x－4<0，得2≤x<4；當(dāng)x<2時(shí)，令x2－4x＋3<0，解得1<x<2.綜上可知，1<x<4，所以不等式f(x)<0的解集為(1，4).(2)令f(x)＝0，當(dāng)x≥λ時(shí)，x＝4，當(dāng)x<λ時(shí)，x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合如圖函數(shù)的圖象知，1<λ≤3或λ>4.【解法小結(jié)】1．利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的3種方法直接法直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍分離參數(shù)法分離參數(shù)(a＝g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y＝g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y＝a與y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解數(shù)形結(jié)合法先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解2.利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的步驟三、【名校新題】1.(2019·北京西城區(qū)模擬)若函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.2.(2019·岳陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))則函數(shù)y＝f(x)＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】函數(shù)y＝f(x)＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是y＝f(x)與y＝－3x兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖所示，由函數(shù)的圖象可知，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.3.(2019·鄭州質(zhì)量測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≤0，,2x－a，x>0))(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(－∞，1]【答案】A【解析】畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，需0<a≤1；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，需－a<0，即a>0.綜上，0<a≤1.4.(2019·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8) C.－eq\f(7,8) D.－eq\f(3,8)【答案】C【解析】令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，則f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以2x2＋1＝x－λ，只有一個(gè)實(shí)根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一個(gè)實(shí)根，則Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f(7,8).5.已知函數(shù)f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零點(diǎn)依次為a，b，c，則()A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c【答案】A【解析】令函數(shù)f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0；令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，則0<x<1，即0<b<1；令h(x)＝log2x－1＝0，可知x＝2，即c＝2.顯然a<b<c.6.(2018·濟(jì)南月考)若函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋a沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，1) B.(1，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2＋2x＋a沒有零點(diǎn)，所以方程x2＋2x＋a＝0無實(shí)根，即Δ＝4－4a<0，由此可得a>1.7.(2019·北京燕博園聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（x＋1）,x3－3x))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(（x≥0），,（x<0），))若函數(shù)y＝f(x)－k有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(－2，2) B.(－2，1) C.(0，2) D.(1，3)【答案】C【解析】當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x3－3x，則f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1(舍去正根)，故f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，0)上單調(diào)遞減.又f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.則函數(shù)f(x)圖象如圖所示.f(x)極大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，故當(dāng)k∈(0，2)時(shí)，y＝f(x)－k有三個(gè)不同零點(diǎn).8.(2019·永州模擬)已知函數(shù)f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值為8，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)【答案】A【解析】由于f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－∞，0)上是減函數(shù)，∴f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8.令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.則g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，又g(a)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴實(shí)數(shù)a所在的區(qū)間為(5，6).9.(2018·鄭州一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝x2.令g(x)＝f(x)－kx－k，若在區(qū)間[－1，3]內(nèi)，函數(shù)g(x)＝0有4個(gè)不相等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(0，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))【答案】C【解析】令g(x)＝0，得f(x)＝k(x＋1)，由f(x)的周期性，作出y＝f(x)在[－1，3]上的圖象如圖所示.設(shè)直線y＝k1(x＋1)經(jīng)過點(diǎn)(3，1)，則k1＝eq\f(1,4).∵直線y＝k(x＋1)經(jīng)過定點(diǎn)(－1，0)，且由題意知直線y＝k(x＋1)與y＝f(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，∴0<k≤eq\f(1,4).10.(2019·太原模擬)若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))【解析】依題意并結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠2，,f－1·f0<0，,f1·f2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠2，,[m－2－m＋2m＋1]2m＋1<0，,[m－2＋m＋2m＋1][4m－2＋2m＋2m＋1]<0，))解得eq\f(1,4)<m<eq\f(1,2).11.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))則函數(shù)y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.【答案】5【解析】由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝1，作出函數(shù)y＝f(x)的圖象.由圖象知y＝eq\f(1,2)與y＝f(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，