人教版平行四邊形單元 易錯題檢測試卷

一、選擇題

1.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,ZC=90°,AB=8,AD=CD=5,點(diǎn)M為8c上異于

B、C的一定點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上的一動點(diǎn)，E、F分別為DM、/WN的中點(diǎn)，當(dāng)N從A到8的

運(yùn)動過程中，線段EF掃過圖形的面積為（）

2.如圖，把正方形ABC。沿對邊中點(diǎn)所在的直線對折后展開，折痕為MN,再過點(diǎn)3折

疊紙片，使點(diǎn)A格在MN上的點(diǎn)尸處，折痕為BE,若A5長為2,則EN的長為（（）

3.如圖，正方形ABC。和正方形CEFG中，ACE三點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)。在CG

±.BC=\,CE=3,連接AF,“是AF的中點(diǎn)，連接CH,那么的長是（）

D.472

4.如圖，在矩形ABC。中，尸是邊AO上的動點(diǎn)，PELAC于E,于尸，

如果AB=3,A0=4,那么（）

D

C.PE+PF=5D.3<PE+PF<4

5.如圖，已知AABC的面積為24,點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長線上，且BF

=4CF,四邊形DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）

BCF

A.3B.4C.6D.8

6.如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,ZABC+ZDCB=90°,且BC=2AD,以AB、BC、DC為

邊向外作正方形，其面積分別為鳥、S2、S3,若5產(chǎn)3,S3=8,則S2的值為（）

24C.44D.48

7.矩形紙片ABCD中，AB=5,AD=4,將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)B'處，折

痕為AE.延長8Z交AB的延長線于點(diǎn)M,折痕AE上有點(diǎn)P,下列結(jié)論中：

①NM=NDAB'；②P4PB'；③AE=^/^；?MB'=CD,⑤若B'P_LC。，則

2

EB'=B'P.正確的有（）個(gè)

A.2B.3C.4D.5

8.如圖，在A8CO中，AB=2AO,6是的中點(diǎn)，作BE_LAO于點(diǎn)E,連接

EF、BF,下列結(jié)論：①NCBb=NA8/；②FE=FB；③25人歷8=S四邊形DEBC；

④NBFE=3NDEF；其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

9.在菱形488中，M,N,P,Q分別為邊AB,BC,CD,CM上的一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），

對于任意的菱形ABCD,下面四個(gè)結(jié)論中：

①存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；③存在無

數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形；④至少存在一個(gè)四邊形MNPQ是正方形

正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，BE=4,EC=8,將正方形邊AB延AE折

疊刀AF,延長EF交DC于G,連接AG,現(xiàn)在有如下結(jié)論：①NEAG=45。；②GC=CF；

③FC〃AG；④SAGFC=14.4；其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4,,4c=2遙，則平行四邊形ABCD

的周長等于.

12.如圖，R3ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)且CD=1,點(diǎn)P是線段

DB上一動點(diǎn)，連接AP,以AP為斜邊在AP的下方作等腰RtZiAOP.當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動

至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)0的運(yùn)動路徑長為.

13.如圖，動點(diǎn)從尸分別在正方形A8CO的邊A。、BC上,AE=CF,過點(diǎn)。作

CGA.EF,垂足為G,連接BG,若AB=4,則線段長的最小值為.

ED

14.如圖，AA8C是邊長為1的等邊三角形，取邊中點(diǎn)E,作EO//AB,

EF//AC,得到四邊形EDAE,它的周長記作￡；取展中點(diǎn)片，作EQJ/EB,

E\F"EF,得到四邊形ERFE，它的周長記作G-照此規(guī)律作下去，則

15.如圖，四邊形ABCD是菱形，ZD4B=48°,對角線AC,BD相交于點(diǎn)。，DH_LA8于

H,連接。"，貝l」NOHO=度.

16.如圖，在矩形ABCD中，AD=61AB,/BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,DHJ_AE于點(diǎn)

H,連接BH并延長交CD于點(diǎn)F,連接DE交8F于點(diǎn)。，下列結(jié)論：①NAED=/CED；

（2）OE=OD；③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤A8=HF,其中正確的有.

17.如圖，oABCD中，ZDAB=30°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點(diǎn)，則2PB+PD

的最小值等于.

18.如圖，在矩形紙片ABC。中，718=6,BC=10,點(diǎn)E在C。上，將△BCE沿8E折疊，點(diǎn)

C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G在AF上，將AASG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段8F上的

3

點(diǎn)H處,有下列結(jié)論：①NEBG=45°；②S"BG='SAFGH;?ADEF^AABG；

④AG+DF=FG.其中正確的是.（把所有正確結(jié)論的序號都選上）

19.在平行四邊形ABCD中，AE平分NBAD交邊BC于E,DF平分NADC交邊BC于F,若

AD=11,EF=5,則AB=.

20.已知：如圖，在ABC中，ADLBC,垂足為點(diǎn)。，BE1AC,垂足為點(diǎn)E,

M為A3邊的中點(diǎn)，連結(jié)ME、MD、ED,設(shè)AB=4,ND4C=3O。則

EM=；EOM的面積為,

A

三、解答題

21.已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是正方形ABC。所在平面內(nèi)一動點(diǎn)（不與點(diǎn)。重

合），AB^AE,過點(diǎn)8作DE的垂線交DE所在直線于F,連接CF.

提出問題：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動時(shí)，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？

探究問題：

（1）首先考察點(diǎn)E的一個(gè)特殊位置：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖①）時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)B也重

合.用等式表示線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系：_；

（2）然后考察點(diǎn)E的一般位置，分兩種情況：

情況1:當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（如圖②）時(shí)；

情況2：當(dāng)點(diǎn)E是正方形A8CD外部一點(diǎn)（如圖③）時(shí).

在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否相同？如

果都相同，請選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請

說明理由；

拓展問題：

（3）連接AF,用等式表示線段AF、CF、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系：

22.已知，在△A8C中，ZB^C=90°,/ABC=45°,。為直線BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C

重合），以AD為邊作正方形ADEF,連接CF.

段之間的數(shù)量關(guān)系為:

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，其他條件不變，請猜想BC與CF的位置關(guān)

系BC,CD,CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時(shí)，點(diǎn)A,F分別在直線8c的兩側(cè)，其他

13

條件不變.若正方形ADEF的對角線DF相交于點(diǎn)。，0C=—,DB=5,則△ABC的面積

2

為.（直接寫出答案）

23.如圖，在平行四邊形A8CO中，NflAQ的平分線交于點(diǎn)E,交OC的延長線于

F,以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG.

G

（1）求證：四邊形EC/G是菱形；

（2）連結(jié)30、CG,若NABC=120。，則ABOG是等邊三角形嗎？為什么？

（3）若乙43c=90°,AB=10,AD=24,M是EF的中點(diǎn)，求?！钡拈L.

24.在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點(diǎn)B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E,這時(shí)折

痕與邊BC或者邊C。（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)F（如圖1和圖2）,然后展開鋪平，連接8E,

EF.

（1）操作發(fā)現(xiàn)：

①在矩形ABCD中，任意折疊所得的ABEF是一個(gè)三角形；

②當(dāng)折痕經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，8￡與AE的數(shù)量關(guān)系為.

（2）深入探究：

在矩形ABC。中，48=73.BC=2y/3.

①當(dāng)ABEF是等邊三角形時(shí)，求出8F的長；

②A8EF的面積是否存在最大值，若存在，求出此時(shí)EF的長；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

25.如圖，在正方形ABCO中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)，請你僅用無刻度的直尺，用

連線的方法，分別在圖（1）、圖（2）中按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（1）在如圖（1）的A8邊上求作一點(diǎn)N,連接CN,使CV=A〃；

（2）在如圖（2）的AO邊上求作一點(diǎn)Q,連接C。，使CQPAM.

26.己知四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）,得到

線段CE,聯(lián)結(jié)BE、CE、DE.過點(diǎn)B作BF,DE交線段DE的延長線于F.

（1）如圖，當(dāng)BE=CE時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a的大小發(fā)生變化時(shí)，4EF的度數(shù)是否發(fā)生變化?如果變化，請用含a的

代數(shù)式表示；如果不變，請求出“所的度數(shù)；

（3）聯(lián)結(jié)AF,求證：DE=\[2AF-

27.矩形4BCD中，A8=3,BC=4.點(diǎn)E,F在對角線AC上，點(diǎn)M,N分別在邊AD,BC

上.

（1）如圖1,若AE=CF=1,M,N分別是AD,BC的中點(diǎn).求證：四邊形EMFN為矩形.

（2）如圖2,若AE=CF=0.5,AM=CN=MO＜尤＜2）,且四邊形E/WFN為矩形，求x的

值.

（圖1）（圖2）

28.如圖，四邊形ABCD為正方形.在邊AO上取一點(diǎn)E,連接3E,使NAE8=60。.

（1）利用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：分別以點(diǎn)8、。為圓心，8C長為半徑作弧交正

方形內(nèi)部于點(diǎn)T,連接BT并延長交邊AO于點(diǎn)E,則NAEB=60°；

（2）在前面的條件下，取3E中點(diǎn)過點(diǎn)M的直線分別交邊A8、于點(diǎn)P、Q.

①當(dāng)PQLBE時(shí)，求證：BP=2AP；

②當(dāng)PQ=BE時(shí)，延長BE,交于N點(diǎn)，猜想NQ與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

29.如圖，在正方形ABCO中，點(diǎn)E、F是正方形內(nèi)兩點(diǎn)，BE//DF,EF1BE,為

探索這個(gè)圖形的特殊性質(zhì)，某數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)歷了如下過程：

圖1

(1)在圖1中，連接BD,且BE=DF

深證：EF與3?；ハ嗥椒?；

蹴證：(BE+DF^+EF?=2AB?；

(2)在圖2中，當(dāng)BE#DF,其它條件不變時(shí)，(8E+￡>￡>+M2=2AB?是否成

立？若成立，請證明：若不成立，請說明理由.

圖2

NOPB=135°,=時(shí)，求P。之長.

圖3

30.點(diǎn)E在正方形ABCD的邊BC上，點(diǎn)F在AE上，連接FB,FD,ZABF=ZAFB.

(1)如圖1,求證：ZAFD=ZADF；

(2)如圖2,過點(diǎn)F作垂線交AB于G,交DC的延長線于H,求證：DH=2AG；

(3)在(2)的條件下，若EF=2,CH=3,求EC的長.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除

一、選擇題

1.A

解析：A

【分析】

取MB的中點(diǎn)P,連接FP,EP,DN,由中位線的性質(zhì)，可得當(dāng)N從A到B的運(yùn)動過程中,

點(diǎn)F在FP所在的直線上運(yùn)動，即：線段￡F掃過圖形為AEFP,求出當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)，

FP的值，以及FP上的高，進(jìn)而即可求解.

【詳解】

取MB的中點(diǎn)P,連接FP,EP,DN,

；FP是AMNB的中位線，EF是ADMN的中位線，

；.FP〃BN,FP=-BN,EF〃DN,Ef==-DN,

22

當(dāng)N從A到B的運(yùn)動過程中，點(diǎn)F在FP所在的直線上運(yùn)動，即：線段EF掃過圖形為

AEFP.

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)，F(xiàn)P=-BN=-BA=4,

22

過點(diǎn)D作DQJ_AB于點(diǎn)Q,

'：AB//CD,ZC=90°,AB=8,AD=CD=5,

；.AQ=8-5=3,

???DQ=y/AD2-AQ2=752-32=4,

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)Q重合時(shí)，EF=-DN=-DQ=2,EF〃DQ,即：EF±AB,即：EF±FP,

22

1.AEFP中,FP上的高=2,

.?.當(dāng)N從A到B的運(yùn)動過程中，線段EF掃過圖形的面積=^x4x2=4.

2

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查中位線的性質(zhì)定理，勾股定理以及三角形的面積公式，添加合適的輔助線，

構(gòu)造三角形以及三角形的中位線，是解題的關(guān)鍵.

2.A

解析：A

【分析】

根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出BM、BF,根據(jù)勾股定理計(jì)算求出FM的值；再在Rt^NEF中，運(yùn)

用勾股定理列方程求解，即可得到EN的長.

【詳解】

?.?四邊形ABCD為正方形，AB=2,過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，

1

；.FB=AB=2,BM=—BC=1,BF=BA=2,ZBMF=90°,

2

則在RtZXBMF中，

FM=\lBF2-BM2=V22-12=V3'

FN=MN-FM=2-5

設(shè)AE=FE=無，則EN=1—X,

EFN中，NE2+NF2=EF2，

??.(1-X)2+(2-V3)2=X2.

解得：x=4-2百，

，EN=1—x=2石-3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對稱變換，折疊前后

圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

3.A

解析：A

【分析】

如下圖，根據(jù)點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)和HM〃FE,可得HP是4ANF的中位線，四邊形MPNE是

矩形，再根據(jù)中位線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，可推導(dǎo)求得HM、CM的長，在Rt^HCM中求CH

即可

【詳解】

如下圖，過點(diǎn)H作BE的垂線，交BE于點(diǎn)M,延長AD交FE于點(diǎn)N,交HM于點(diǎn)P

:四邊形ABCD、CEFG是正方形，AADlEF,ZE=90°

VHM±BE

二四邊形PMEN是矩形

VBC=1,CE=3

.\NE=1,；.FN=2,PM=1

VHM±BE,FE_LBE,點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)

AHM是4ANF的中位線

.,.HP=-￡F=1,AP=PN=2

2

.,.在RSCHM中，CH=V5

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)和三角形中位線定理，解題關(guān)鍵是將梯形ABEF分割成矩形和三角

形的形式，然后才可利用三角形中位線定理.

4.A

解析：A

【分析】

設(shè)AC、BD交于點(diǎn)0,連接。P,根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理求出OA=OD=2.5,再求出

△A0D的面積，根據(jù)面積關(guān)系即可求出答案.

【詳解】

設(shè)AC、BD交于點(diǎn)。，連接0P,

AB—3,AD=4,

；.BD=AC=5,

.,.OA=OD=2.5,

SAOO矩形ABC。=]X3x4=3,

?e?SDOP=3，

???PE，AC于E,PF上BD于F,

：.-x2.5PE+-x2.5PF=3,

22

gx|(PE+PF)=3,

PE+PF=—,

5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AAOD的面積是解題的關(guān)鍵.

5.D

解析：D

【分析】

連接EC,過A作AM〃BC交FE的延長線于M,求出平行四邊形ACFM,根據(jù)等底等高的

三角形面積相等得出4BDE的面積和4CDE的面積相等，AADE的面積和4AME的面積相

等，推出陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半，求出CFxhcF的值即可.

【詳解】

連接DE、EC,過A作AM〃BC交FE的延長線于M,

?.?四邊形CDEF是平行四邊形，

；.DE〃CF,EF〃CD,

；.AM〃DE〃CF,AC〃FM,

四邊形ACFM是平行四邊形，

VABDE邊DE上的高和4CDE的邊DE上的高相同，

...△BDE的面積和4CDE的面積相等，

同理4ADE的面積和4AME的面積相等，

即陰影部分的面積等于平行四邊形ACFM的面積的一半，是gxCFxhcF，

「△ABC的面積是24,BC=3CF

11

/.一BCX|IBC=_x3CFxhcF=24,

/.CFxhcp=16,

陰影部分的面積是1xl6=8,

2

【點(diǎn)睛】

此題考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，同底等高三角形面積的關(guān)系，解題中注意陰影部分面

積的求法，根據(jù)圖形的特點(diǎn)選擇正確的求法是解題的關(guān)鍵.

6.C

解析：c

【分析】

根據(jù)已知條件得到AB=J5，CD=2及，過A作AE〃CD交BC于E,則NAEB=NDCB,

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CE=AD,AE=CD=2及，由已知條件得到/BAE=90°,根

據(jù)勾股定理得到BE=7AB2+AE2，于是得到結(jié)論.

【詳解】

：Si=3,S3=8

;.AB=G，CD=2也

過A作AE〃CD交BC于E

則NAEB=/DCB

VAD/7BC

四邊形AECD是平行四邊形

；.CE=AD,AE=CD=20

VZABC+ZDCB=90°

.".ZAEB+ZABC=90°

AZBAE=90°

；.BE="兩=vn

VBC=2AD

.,.BC=2BE=2A/1T

??&=(2曰『=44

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，能正確作輔助線構(gòu)造直角三角形是解決此

題的關(guān)鍵.

7.C

解析：C

【分析】

①由翻折知NABE=/AB'E=903再證NM=/CB'E=/B'AD即可；②借助軸對稱可知；③利

用計(jì)算，勾股定理求夕D,構(gòu)造方程，求EB,在構(gòu)造勾股定理求MB，=上嶼；④由相似

2

CB'BM=CE：BE,BM=—,在計(jì)算B'M>5；⑤證ABEG&Z\BrG得BE=B'P,再證菱形即

：3

可.

【詳解】

①由折疊性質(zhì)知/ABE=/AB'E=90。，

AZCB'E+ZAB'D=909

VZD=909

/B'AD+/AB'D=90。

AZCB'E=ZB'AD,

：CD〃MB,

AZM=ZCB'E=ZB'AD；

②點(diǎn)P在對稱軸上，則B，P=BP；

③由翻折，AB=AB'=5,AD=4,

由勾股定理DB'=3,

.?.CB'=5-3=2,

設(shè)BE=x=B'E,CE=4-x,

在RtZ\B'CE中，ZC=90°,

由勾股定理(4-x)2+22=X2,

解得X=4,

2

53

；.CE=4-=-

22

④由BM〃CB'

.*.AECB,^AEBM,

.".CB'：BM=CE：BE,

35

A2：BM=一：-

22

10

>5=CD；

⑤連接BB',由對稱性可知,BG=B'G,EPJ_BB',

BE〃B'P,

...△BEGgZXB'PG,

.?.BE=B'P,

，四邊形BPB乍為平行四邊形,

又BE=EB',

所以四邊形BPB，E是菱形,

所以PB'=B'E.

故選擇：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換以及相似三角形的性質(zhì)等知識的應(yīng)用，此題的關(guān)

鍵是能夠發(fā)現(xiàn)^BEG9Z\B'PG.

8.C

解析：c

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合AB=2AD,CD=2CF可得CF=CB,從而可得/CBF=NCFB,再根據(jù)

CD〃AB,得NCFB=/ABF,繼而可得NC8E=NABE,可以判斷①正確；延長EF交BC

的延長線與M,證明4DFE與△CFM(AAS),繼而得EF=FM=gEM,證明

ZCBE=ZAEB=90°,然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判斷②正確；由上可得

SABEF=S,ABMF>SADFE=SACFM，繼而可得SAEBF=S/、BMF=SAEDF+SAFBC，繼而可得

2sA=S四邊形DEBC，可判斷③正確；過點(diǎn)F作FN_LBE，垂足為N，則NFNE=90。，則可得

AD〃FN,則有/DEF=/EFN,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NBFE=2/EFN,繼而得

NBFE=2NDEF,判斷④錯誤.

【詳解】

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD=BC,AB=CD,AD//BC,

VAB=2AD,CD=2CF,

，CF=CB,

.,.ZCBF=ZCFB,

：CD〃AB,

NCFB=NABF,

:.NCBF=NABF,故①正確；

延長EF交BC的延長線與M,

VAD//BC,

.,?ZDEF=ZM,

XVZDFE=ZCFM,DF=CF,

.'.△DFE與△CFM(AAS),

1

，EF=FM=—EM,

2

VBF1AD,

NAEB=90°,

?.?在平行四邊形ABCD中，AD〃BC,

，/CBE=NAEB=90°,

1

，BF=—EM,

2

；.BF=EF,故②正確;

VEF=FM,

SABEF=SABMF>

VADFE^ACFM,

SADFE=$ACFM>

?'?SAEBF=SABMF=S/">.EDF+SAFBC>

2s.FB=S四邊形DEBC，故③正確；

過點(diǎn)F作FNJ_BE,垂足為N,則NFNE=90°,

.,.ZAEB=ZFEN,

.?.AD//EF,

AZDEF=ZEFN,

又：EF=FB,

/BFE=2NEFN,

AZBFE=2ZDEF,故④錯誤，

所以正確的有3個(gè)，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判斷與性質(zhì)

等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題

的關(guān)鍵.

9.D

解析:D

【分析】

根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，正方形的判定，平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)

論.

【詳解】

①如圖，連接AC,BD交于。，

四邊形ABCD是菱形，過點(diǎn)。直線MP和QN,分別交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,

則四邊形MNPQ是平行四邊形，

故存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；故正確;

②如圖，

當(dāng)PM=QN時(shí)，四邊形MNPQ是矩形，故存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；故正確;

③如圖，

當(dāng)PMJ_QN時(shí)，存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形；故正確;

④如圖，

當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，四邊形MNPQ是正方形，故至少存在一個(gè)四邊形MNPQ是正

方形；故④正確；

綜上，①②③④4個(gè)均正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟記各

定理是解題的關(guān)鍵.

10.C

解析：C

【分析】

選項(xiàng)①正確.證明/GAF=/GAD,/EAB=NEAF即可.選項(xiàng)②錯誤.可以證明

DG=GC=FG,顯然aGFC不是等邊三角形，可得結(jié)論.選項(xiàng)③正確.證明CFJ_DF,AG±DF

即可.選項(xiàng)④正確.證明FG：EG=3：5,求出4ECG的面積即可.

【詳解】

解：如圖，連接DF.

?.?四邊形ABCD是正方形，

；.AB=AD=BC=CD,ZABE=ZBAD=ZADG=ZECG=90°,

由折疊可知：AB=AF,ZABE=ZAFE=ZAFG=90°,BE=EF=4,ZBAE=ZEAF,

VZAFG=ZADG=90°,AG=AG,AD=AF,

ARtAAGD^RtAAGF(HL),

/.ZGAF=ZGAD,

AZEAG=ZEAF+ZGAF=(ZBAF+ZDAF)=45",故①正確，

設(shè)GD=GF=x,

在RtAECG中，：EG2=EC2+CG2,

(4+X)2=82+(12-X)2,

?\x=6,

VCD=BC=BE+EC=12,

DG=CG=6,

AFG=GC,

易知aGFC不是等邊三角形，顯然FG片F(xiàn)C,故②錯誤，

VGF=GD=GC,

AZDFC=90°,

.\CF±DF,

VAD=AF,GD=GF,

.,.AG1DF,

；.CF〃AG,故③正確，

1

,?,SAECG=—X6X8=24,FG：FE=6：4=3：2,

/.FG：EG=3：5,

372

，SAGFC=)X24=-^-=14.4,故④正確，

故①③④正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題時(shí)

設(shè)要求的線段長為x,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長

度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.

二、填空題

11.12或20

【分析】

根據(jù)題意分別畫出圖形，BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部，進(jìn)而利用勾股定理求出

即可.

【詳解】

解：情況一：當(dāng)BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部時(shí)，如圖1所示:

圖1

在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4,AB=5,AC=2出,

2

在RtAACE中，由勾股定理可知：CE=VAC-AE2=7(2^)2-42=2，

在由△ABE中，由勾股定理可知：BE=VAB2-AE2=>/52-42=3/

BC=BE+CE=3+2=5,

此時(shí)平行四邊形ABCD的周長等于2X(AB+BC)=2x(5+5)=20；

情況二：當(dāng)BC邊上的高在平行四邊形的外部時(shí)，如圖2所示：

在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為AE=4,AB=5,AC=2石

在R3ACE中，由勾股定理可知：CE=\lAC2-={(26)2_4?=2,

在RSABE中，由勾股定理可知：BE=JAB2_A￡2;6-不=3,

ABC=BE-CE=3-2=1,

，平行四邊形ABCD的周長為2X(AB+BC)=2x(5+l)=12,

綜上所述，平行四邊形ABCD的周長等于12或20.

故答案為：12或20.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，分高在平行四邊形內(nèi)部還是外部

討論是解題關(guān)鍵.

12.272

【解析】

分析：過。點(diǎn)作OE_LCA于E,OF_LBC于F,連接CO,如圖，易得四邊形OECF為矩形，

由AAOP為等腰直角三角形得到0A=0P,ZAOP=90°,則可證明AOAE四△OPF,所以

AE=PF,OE=OF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到CO平分/ACP,從而可判斷當(dāng)P

從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動路徑為一條線段，接著證明

CE=；(AC+CP),然后分別計(jì)算P點(diǎn)在D點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)0C的長，從而計(jì)算它們的差即可得

到P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動路徑長.

詳解：過。點(diǎn)作OE_LCA于E,OFJ_BC于F,連接CO,如圖,

???△AOP為等腰直角三角形,

/.OA=OP,ZAOP=90°,

易得四邊形OECF為矩形,

/EOF=90°,CE=CF,

AZAOE=ZPOF,

.,.△OAE^AOPF,

；.AE=PF,OE=OF,

ACO平分NACP,

/.當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)0的運(yùn)動路徑為一條線段，

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

ACE=—(AC+CP),

2

5

.,.OC=V2CE=^(AC+CP),

當(dāng)AC=2,CP=CD=1時(shí)，0C=—x(2+1)=￡1,

22

當(dāng)AC=2,CP=CB=5時(shí)，OC=Y2x(2+5)=2叵，

22

當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動路徑長=迪-里=20.

22

故答案為2&.

點(diǎn)睛：本題考查了軌跡：靈活運(yùn)用幾何性質(zhì)確定圖形運(yùn)動過程中不變的幾何量，從而判定

軌跡的幾何特征，然后進(jìn)行幾何計(jì)算.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì).

13.V10-V2

【分析】

連結(jié)AC,取0C中點(diǎn)M,連結(jié)MB,MG,則MB,MG為定長，利用兩點(diǎn)之間線段最短解

決問題即可.

【詳解】

連接AC,交EF于。，

：AD〃BC,

NEAO=/FCO,NAEO=NCFO,

；AE=CF,

.".△AEO^ACFO(ASA),

AOA=OC,

AO是正方形的中心，

VAB=BC=4,

；.AC=4a,0C=2拒，

取OC中點(diǎn)M,連結(jié)MB,MG,過點(diǎn)M作MH_LBC于H,

VMC=y0C=72>

.,.MH=CH=1,

/.BH=4-1=3,

由勾股定理可得MB="+12=回,

在RtAGOC中，M是OC的中點(diǎn)，則MG=；OC=0,

VBG>BM-MG=V10-亞，

當(dāng)B,M,G三點(diǎn)共線時(shí)，BG最小=而-血，

故答案為：V10->/2?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出當(dāng)E,F運(yùn)動到AD,BC的中點(diǎn)時(shí),

MG最小是解決本題的關(guān)鍵.

14-L

220,8

【分析】

根據(jù)幾何圖形特征，先求出G、G、c3)根據(jù)求出的結(jié)果，找出規(guī)律，從而得出GO2O-

【詳解】

?點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，ED〃AB,EF〃AC

ADE,EF是△ABC的中位線

?.,等邊4ABC的邊長為1

1

.*.AD=DE=EF=AF=-

2

則G=Jx4=2

同理可求得：C,=l,C,=-

-2

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：規(guī)律為依次縮小為原來的!

2

。2020=灑T

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查找規(guī)律和中位線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是求解出幾組數(shù)據(jù)，根據(jù)求解的數(shù)據(jù)尋找規(guī)

律.

15.24

【分析】

由菱形的性質(zhì)可得OD=OB,ZCOD=90°,由直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半，可

得OH=,BD=OB,可得NOHB=NOBH,由余角的性質(zhì)可得NDHO=NDCO,即可求解.

2

【詳解】

【解答】解：???四邊形A8C。是菱形，

：.OD=OB,ZCOD=90",NDAB=NDCB=48°,

'：DH±AB,

1

AOH=—BD=OB,

2

；.NOHB=NOBH,

又,：AB〃CD,

：.NOBH=NODC,

在Rt^C。。中，ZODC+ZDCO=90°,

在RtZ\D”8中，ZDHO+ZOHB=90°,

1

；.NDHO=NDCO=—/DCB=24°,

2

故答案為:24.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，是幾何綜合題，判斷

出0H是BD的一半，和/DHO=NDC。是解決本題的關(guān)鍵.

16.①②③④

【分析】

①根據(jù)角平分線的定義可得NBAE=NDAE=45°,可得出aABE是等腰直角三角形，根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=&A8,從而得到AE=AD,然后利用“角角邊”證明AABE

和△A”D全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DH,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求

出/ADE=NAED=67.5°,根據(jù)平角等于180°求出NCED=67.5。，從而判斷出①正確；

②求出NAH8=67.5°,ZDHO=ZODH=22.5<1,然后根據(jù)等角對等邊可得。E=OD=OH,判斷

出②正確；

③求出NEBH=NOHD=22.5°,NAEB=NHDF=45°,然后利用“角邊角”證明△8EH和

△HDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BH=HF,判斷出③正確；

④根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=HE,然后根據(jù)“E=AE-A”=8C-CD,BC-CF=BC-

(CD-DF)=2HE,判斷出④正確;

⑤判斷出△A8”不是等邊三角形，從而得到即A8WHF,得到⑤錯誤.

【詳解】

?.?在矩形A8CD中，AE平分NBA。，，NBAE=N￡ME=45°,...△A8E是等腰直角三角形，

：.AE=yj2AB.

,:AD=歷AB,：.AE=AD.

NBAE=NDAE

在aABE和△AHD中，NABE=NAHD=90°，二/XABE^/XAHD(AAS),

AE=AD

：.BE=DH,：.AB=BE=AH=HD,：.ZADE=ZAED=-(180°-45°)=67.5°,

2

：.ZCED=180°-45°-67.5°=67.5°,AZAED=ZCED,故①正確：

VZAHB^^(180°-45°)=67.5°,NOHE=NAHB(對頂角相等)，

:.NOHE=NAED,：.OE=OH.

VZDOH=90°-67.50=22.5°,ZODH=67.5°-45°=22.5°,：.ZDOH=ZODH,

：.OH=OD,.*.OE=OD=OH,故②正確；

；NEBH=90°-67.5°=22.5°,：.ZEBH=ZOHD.

NEBH=NOHD

在△BE"和△HDF中，＜BE=DH,:.△BEH^AHDF(ASA),：.BH=HF,

ZAEB=ZHDF

HE=DF,故③正確；

由上述①、②、③可得CD=8E、DF=EH=CE,CF=CD-DF,/.BC-CF=(CD+HF)-(CD-

HE)=2HE,所以④正確；

'：AB=AH,N8AE=45°,.'.△ABH不是等邊三角形,J.AB^BH,.,.即A8WHF,故⑤錯

誤；

綜上所述：結(jié)論正確的是①②③④.

故答案為①②③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定

與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角

形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

17.6

【分析】

過點(diǎn)P作PELAD交AD的延長線于點(diǎn)E,根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB〃CD,

推出PE=；PD,由此得到當(dāng)PB+PE最小時(shí)2PB+PD有最小值，此時(shí)P、B、E三點(diǎn)在同一條

直線上，利用NDAB=30°,ZAEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值=gAB=3,得到2PB+

PD的最小值等于6.

【詳解】

過點(diǎn)P作PE±AD交AD的延長線于點(diǎn)E,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB〃CD,

NEDC=NDAB=30°,

：2PB+PD=2(PB+—PD)=2(PB+PE),

.?.當(dāng)PB+PE最小時(shí)2PB+PD有最小值，此時(shí)P、B、E三點(diǎn)在同一條直線上,

VZDAB=30°,/AEP=90°,AB=6,

APB+PE的最小值=^AB=3,

/.2PB+PD的最小值等于6,

故答案為：6.

DJ，\P

【點(diǎn)睛】

此題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形含30。角的問題，動點(diǎn)問題，將線段2PB+PD轉(zhuǎn)化

為三點(diǎn)共線的形式是解題的關(guān)鍵.

18.①②④.

【分析】

利用折疊性質(zhì)得/CBE=/FBE,NABG=NFBG,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH,則可得到

/EBG=：/ABC,于是可對①進(jìn)行判斷；在RtZXABF中利用勾股定理計(jì)算出AF=8,則

DF=AD-AF=2,設(shè)AG=x,則GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=4,利用勾股定理得到(8-x)

2,解得x=3,所以AG=3,GF=5,于是可對②④進(jìn)行判斷；接著證明△ABFS/\DFE,利用

r)>7A17AARARDF

相似比得到蕓=黑=9而K=5=2,所以工廠/二，所以4DEF與4ABG不相

DFAB3AG3AGDF

似，于是可對③進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：:△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，

將aABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段8F上的點(diǎn)H處，

：.ZCBE=ZFBE,ZABG=ZFBG,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH,

AZEBG=ZEBF+ZFBG=yZCBF+^-ZABF=yZABC=45°,所以①正確；

在Rt/\ABF中，AF=^BF2-AB2=71O2-62=8，

：.DF=AD-AF^W-8=2,

設(shè)AG=x,則GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=10-6=4,

在RtAGFH中，

:GH2+HF2=GP,

.\X2+42=(8-x)2,解得x=3,

：.GF=5,

.：AG+DF=FG=5,所以④正確；

「△8CE沿8E折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處，

.?./8FE=NC=90°,

：.ZEFD+ZAFB=90°,

而/AFB+NABF=90°,

ZABF=ZEFD,

，AABFsADFE,

.AB_AF

"DF-DE)

?DE_AF_8_4

DF-AB-6

十AB6

而---=—=2,

AG3

ABDE

Z.——W-,

AGDF

...△DEF與AABG不相似；所以③錯誤.

11

：3AABG=-X6X3=9,SAGHF=yX3X4=6,

3

*??SAABG5AFGH?所以立)正確.

故答案是：①②④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有

的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；在利用相似三角形的性質(zhì)

時(shí)，主要利用相似比計(jì)算線段的長.也考查了折疊和矩形的性質(zhì).

19.8或3

【分析】

根據(jù)AE和DF是否相交分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線

的性質(zhì)、角平分線的定義和等角對等邊即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：①當(dāng)AE和DF相交時(shí)，如下圖所示

圖1

:四邊形ABCD為平行四邊形，AD=11,EF=5,

.?.BC=AD=ll,AD〃BC,AB=CD

；./DAE=/BEA,NADF=NCFD

：AE平分NBAD,DF平分/ADC

；./DAE=/BAE,ZADF=ZCDF

.\ZBEA=ZBAE,ZCFD=ZCDF

，BE=AB,CF=CD

；.BE=AB=CD=CF

VBE+CF=BC+EF

.\2AB=ll+5

解得：AB=8；

②當(dāng)AE和DF不相交時(shí)，如下圖所示

???四邊形ABCD為平行四邊形，AD=11,EF=5,

.?.BC=AD=11,AD〃BC,AB=CD

.".ZDAE=ZBEA,ZADF=ZCFD

TAE平分NBAD,DF平分NADC

???NDAE=NBAE,ZADF=ZCDF

.\ZBEA=ZBAE,ZCFD=ZCDF

ABE=AB,CF=CD

ABE=AB=CD=CF

VBE+CF+EF=BC

A2AB+5=11

解得：AB=3

綜上所述：AB=8或3

故答案為：8或3.