選修2-3：1.3.2二項式系數的性質 (共26張)

人教A版選修2-3第一章復習回憶:二項式定理及展開式:二項式系數通項13(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二項式系數的性質二項式系數表11121133114641151010511615201561(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）請看系數有沒有明顯的規(guī)律？2）上下兩行有什么關系嗎？

3）根據這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數嗎?a).表中每行兩端都是1。b).除1外的每一個數都等于它肩上兩個數的和。4+6=102+1=3例如：crncr-1n+crn+1=當n不大時，可用該表來求二項式系數。C23C22C12+==3C25C24C14+==10因為：二項式系數的性質111211331146411510105116152015612134610?詳解九章算法?記載的表楊輝

三角楊輝以上二項式系數表,早在我國南宋數學家楊輝1261年所著的?詳解九章算法?一書里就已經出現了，這個表稱為楊輝三角。在?詳解九章算法?一書里，還說明了表里“一〞以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和，楊輝指出這個方法出于?釋鎖?算書，且我國北宋數學家賈憲〔約公元11世紀〕已經用過它。這說明我國發(fā)現這個表不晚于11世紀。在歐洲，這個表被認為是法國數學家帕斯卡〔1623-1662〕首先發(fā)現的，他們把這個表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的。第1行———第2行——第6行-第5行--第4行—第3行—-11121133114641151010511615201561二項式系數的性質先增后減對稱函數定義：如果A、B都是非空數集，那A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函數?？煽闯墒羌希?，1，…，n｝到二項式系數的集合的映射?！飳τ诙検较禂担瑀與之間也有對應關系，即：r012

…r…n…二項式系數與函數…

從映射、函數的觀點看，二項式系數可以看作是一個定義域為{0，1，2，…，n}的函數當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值。

即：r是自變量，r自變量二項式系數是函數值，組合數公式就是相應函數的解析式。123二項式函數值二項式系數與函數①當n=6時，二項式系數〔0≤r≤6〕用圖象表示：7個孤立的點13……n…12322nOrf(r)6361420①與首末兩端“等距離〞的兩個二項式系數相等1：對稱性2：增減性與最大值①先增后減②關于r=3對稱②0~6，共7項，r=3時取得最大值f〔r〕n為奇數；如n=7f（r）rnO6152013n為偶數；如n=620103035On743①關于r=n/2對稱②r=3和r=4時取得最大值二項式系數的性質與首末兩端“等距離〞的兩個二項式系數相等性質1：對稱性性質2：增減性與最大值先增后減當n是偶數時，中間的一項的二項式系數取得最大值；當n是奇數時，中間的兩項二項式系數和相等，且同時取得最大值。即

即

和當時，二項式系數是逐漸增大的，由對稱性知它的后半部是逐漸減小的，且在中間取得最大值。

當n是偶數時，中間的一項取得最大時；當n是奇數時，中間的兩項，相等，且同時取得最大值。由于Ckn=n(n-1)(n-2)(n-3)……(n-k+1)k?(k-1)

=Ck-1n?kn–k+1Ck-1nkn–k+1Ckn所以相對于的增減情況由決定由于kn–k+1>1

k<n+12因而2.增減性與最大值且奇數項的二項式系數和等于偶數的二項式系數和性質3：各二項式系數的和二項式系數的性質2n+++…+令x=1：賦值法令x=-1：0

也就是說,(1+x)n的展開式中的各個二項式系數的和為，2n回憶例題例1、證明〔a+b〕n的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和。證明:所以〔a+b〕n的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和。上述證明過程中用到了什么方法？賦值法變式練習1：-2-10941093(1-2x)15的展開式中各項系數和是_____(1-2x)15的展開式中所有二項式系數和是_____變式練習2：37一定要看清楚：各項系數，二項式系數各指什么?。0,a1,a2,……這是系數的關系解：拔高練習：精選ppt拔高練習：證明略例5.假設的展開式中，所有奇數項的系數之和為1024，求它的中間項.解：∵展開式中各項的二項式系數與該項的的系數相等∴由可得：2n-1=1024解得n=11，∴有兩個中間項分別為T6=462x-4，T7=462x123……n…注意：

求解二項式系數和時，靈活運用賦值法可以使問題簡單化。通常選取賦值時取－1，1，0。例題講解例2、已知：

的展開式中，各項系數和比它的二項式系數和大992。（1）求展開式中二項式系數最大的項（2）求展開式中系數最大的項例題講解例2、已知：

的展開式中，各項系數和比它的二項式系數和大992。（1）求展開式中二項式系數最大的項（2）求展開式中系數最大的項練習2、求：

的求展開式中系數最大的項1、：的展開式中所有二項系數和為128，那么展開式中二項系數是最大的項提高：1、求

的展開式整理過后的常數項是多少？2、求多項式(3x4－x3+2x2－3)8·(3x－5)4·(7x4－4x－2)6展開式各項系數的和.解：設f(x)=(3x4－x3+2x2－3)8·(3x－5)4·(7x4－4x－2)6

=a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a60x60.所要求的各項系數的和就是a0+a1+a2+……+a60.又將x=1代入得f(1)=a0+a1+a2+……+a60=(3－1+2－3)8(3－5)4(7－4－2)6=16.∴各項系數的和為16.精選ppt1、在(a＋b)20展開式中，與第五項二項式系數相同的項是().C課堂練習:A.第6項B.第7項

C.第6項和第7項D.第5項和第7項CA.第15項B.第16項C.第17項D.第18項2、在(a＋b)11展開式中，二項式系數最大的項().4，化簡+++

+=3，已知展開式中只有第10項二項式系數最大，則n=______。18小結:

（2）數學思想：函數思想a圖象、圖表；b單調性；c最值?！?〕數學方法：賦值法〔1〕二項式系數的三個性質對稱性增減性與最大值各二項式系數和課后作業(yè)精選ppt1.(3-2x)5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么(1)a0+a2+a4的值為_