浙江省2021屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷(十)(4月份)(含答案解析)

浙江省2021屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷(10)(4月份)

一、單選題(本大題共10小題，共40.0分)

1.己知A={燈|幻<1},8={制2*<1},則4UB=()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-l,+oo)D.(-co,1)

2.已知sina=-回,且Q是第三象限角，則sin2a-tana=()

A.0B.0C.0D.正

遇

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線3x+4y-5=0與圓X?+=4相交于A,B兩點，則弦AB

的長等于()

A.36B.2sC.出D.1

4.已知三條不重合的直線搐和兩個不重合的平面a,產(chǎn)，則下列命題正確的是()

A.若幽//n,maa,則演//a

B.若aJ?戶，戶口。=因％_L那則%J_)

C.若？_L&,活_L戶，且網(wǎng)則&_L戶

D.若】上程,則附Hl

5.在等比數(shù)列{a}(N*)中，若1=,a4=9亥數(shù)的前10項和為()

O

A.2一表B.2一套C.2一/D.2一看

6.下列命題中正確的個數(shù)為()

①"ac<0"是"二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,ceR)有兩個異號零點”的必要不充分條件；

②"sin。=針是""針充分不必要條件；

③“偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=0成軸對稱”的逆否命題：

④“若sinx-cosx=圣則sinx+cosx=日的逆命題；

⑤設(shè)a,b€R,則“a>b”是“a|a|>b\b\"的充分條件

A.1B.2C.2D.3

7.有紅、藍(lán)、黃三種顏色的球各7個，每種顏色的7個球分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6、7,從

中任取3個標(biāo)號不同的球，這3個顏色互不相同且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的取法種數(shù)為()

A.42B.48C.54D.60

8.雙曲線C的左、右焦點為0,F2,尸為C的右支上動點(非頂點)，/為A&PFz的內(nèi)心.當(dāng)P變

化時，/的軌跡為()

A.雙曲線的一部分B.橢圓的一部分

C.直線的一部分D.無法確定

9.如圖，長方體4BCD-A1B1C10中，AAr=AB=2,AD=1,E、F、--------

G分別是。5、AB、CG的中點，則異面直線4住與G尸所成的角是()PlL

A.arccos—'A

B〃.kzlH

B.;AFR

cVio

C.arccos——

D了

10.12、對函數(shù)/(x),在使/(x)2M成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最大值叫做函數(shù)/(%)的下確

界.現(xiàn)已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(l-x)==/(I+%),當(dāng)％G[0,1]時,/(x)=-3x2+2,

則f(x)的下確界為()

A.2B.1C.0D.-1

二、單空題(本大題共7小題，共36.0分)

11.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR,i是虛數(shù)單位)，且z?=；li,則a+b=_____.

12.已知tan(兀+a)=|,則ta?12a=______.

72

13.若%4+(%+l)=a0+ax(x+2)+a2(x+2)4--?+。7(%+2)7,則r3=______

14.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的體積是一—，該四1\/

：L\ZJ

面體四個面的面積中最大的是__.

-4-y3-

tl.<i>視圖ftj<圖％

/

ftjrtffl

15.若隨機(jī)變量X?8(4,P),且E(X)=2,則。(2X-3)=______

16.已知a>0,b>0,a+2b=4,若加之5+^有解，則機(jī)的取值范圍是

17.在四邊形ABC。中，￡.ADC=^.BCD=120%AD=DC=2CB=1,

則希?AC=.

三、解答題(本大題共5小題，共60.0分)

18.(本題滿分13分)如圖，某巡邏艇在乂處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距表+0海里的B處有一艘走私船,

正沿東偏南45°的方向以3海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以2立海里/小時的速

度沿著正東方向直線追去，1小時后，巡邏艇到達(dá)c處，走私船到達(dá)Z)處，此時走私船發(fā)現(xiàn)了

巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以30海里/小時的速度沿

著直線追擊.

(I)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距多少海里?

(n)問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船?

19.如圖，在四棱錐P—48CD中，^.BAD=120°,AB=AD=2,△BCD是等

邊三角形，E是BP中點，AC與80交于點O,HOPABCD.

(1)求證：PD〃平面ACE；

(2)當(dāng)OP=1時，求直線PA與平面ACE所成角的正弦值.

n

20.已知數(shù)列滿足的￡R,an+1=2-3an,(n=0,1,2,...)

(1)設(shè)垢=工，試用即，”表示b(即求數(shù)列也｝的通項公式)；

(2)求使得數(shù)列｛即｝遞增的所有劭的值.

21.已知拋物線E：y2=2Px(p>0)的焦點過為F,過F且傾斜角為[的

直線/被E截得的線段長為8.

(1)求拋物線后的方程；

(U)已知點C是拋物線上的動點，以C為圓心的圓過F,且圓C與直線

%=:相交于4,B兩點，求|F4|?|FB|的取值范圍.

22.已知函數(shù)f(x)=出nx+/x-1>，aER.

(1)當(dāng)Q=-2時，求函數(shù)/(%)的極值；

(2)若VxG[1,+8),都有f(%)之0,求實數(shù)Q的取值范圍；

(3)設(shè)g(%)=+:無2+r+$若使得f(&)>g(%o)成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：D

解析：解：因為4=團(tuán)設(shè)|<1}=(-1,1),

B={x\2x<1}=(-00,0),

則AUB=(-co,1).

故選：D.

分別求出A,B即可求得結(jié)論.

本題主要考查集合之間的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.

2.答案：C

解析：由sina=—邪.,a為第三象限角，得cosa=~,由sin2a=2sinacosa=叵|,tana=

第軍

2^,得sin2a-tana=2^.

&端

3.答案：B

解析：圓產(chǎn)+嚴(yán)=4的圓心為。(0,0),半徑為,=2.

所以圓心到直線3x+4)-5=。的距離為

I-51________,______

d=/不？=1'故弦A8的長為2-屋=2轉(zhuǎn)-F=2y/3-

4.答案：C

解析：本題考查線面平行，線面垂直，面面垂直的判定。A選項，mUCL，則搐〃&不可能成

立；B選項，若%匚即，則用，雄，但沒有條件制亡墀，直線做與平面露位置關(guān)系不確定；C

選項，若，，&，掰，戶，且/_LM則根據(jù)面面垂直的判定定理得到a，戶；對于選項。，

若？_1_花，冽_1_然，則根〃，或，〃與/相交。故選C。

5.答案：B

解析：解：由。4=Q193=熄=2=q=g

oN

所以10==笨=2一套.

1-己2

故選.

由等比列的通項式求出公比q,再根據(jù)等比數(shù)〃項和公式求前1即可.

本題考查等數(shù)列的通項公前〃項和式.

6.答案：B

解析：解：①，ac<0,可得△=b2-4ac>0,/(%)=0有兩個不等實根，又久1上=；<°，可得/(%)

有兩個異號零點；

反之，有兩個異號零點，可得△=/一4砒>0,且(<0，即ac<0,貝D

“ac<0”是“二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,ceR)有兩個異號零點”的充要條件，故①錯誤；

②，sine=；不一定得到。=￡但。=￡可得5勿。=：，"sin。=產(chǎn)是“。=必要不充分條件，

2oo22b

故②錯誤；

③，偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=0成軸對稱，正確，其逆否命題與原題等價，故③正確；

④若s收一cosx=苧，則sinx+cosx=苧的逆命題為若sinx+cosx=^則si』cosx=多

由sMx+cosx=爭兩邊平方可得1+2sinxcosx=京msinxcosx=；>0,可得sinx>0,cosx>0,

即x在第一■象限，則sinx-cosx=+V1-2sinxcosx=±-y)故④錯誤；

⑤，設(shè)a,hER,由/'(x)=x|x|為奇函數(shù)，且x>0時，/(x)=/遞增，/(0)=0,可得/Q)在R

上遞增，

則"a>b"是"a|a|>b\b\n的充分條件，故⑤正確.

故選：B.

由二次方程實根的分布和充分必要條件的定義可判斷①；由正弦函數(shù)值和充分必要條件的定義可判

斷②；由偶函數(shù)的圖象特點可判斷③；由同角的平方關(guān)系計算可判斷④；由f(x)=x|x|的單調(diào)性和

充分必要條件的定義可判斷⑤.

本題考查命題的真假判斷，主要是充分必要條件的定義和函數(shù)的單調(diào)性、零點和奇偶性的運(yùn)用，考

查化簡運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題.

7.答案：D

解析：

本題主要考查了排列組合，以及兩個基本原理的應(yīng)用，屬于中檔題.

所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的方法有10種，這3種顏色互不相同有房利J根據(jù)分步計數(shù)原理，顏色互不相同

且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的有10x“種.

解：所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的方法有：135,136,137,146,147,157,246,247,257,357,共10種

方法.

這3種顏色互不相同有“=3X2x1=6種，

??.這3種顏色互不相同且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的有10x6=60種.

故選￡).

.??△F1PF2內(nèi)切圓與x軸的切點坐標(biāo)為(a,0),

???當(dāng)P變化時，/的軌跡為直線的一部分.

故選C.

將內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化成圓與橫軸切點。的橫坐標(biāo)，PFI-PF2=FiQ-F?Q=2a,&Q+

F2Q=&F2解出。。，可得結(jié)論.

本題巧妙地借助于圓的切線的性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)了雙曲線的定義.

9.答案：D

解析：解：連接BiG,EG,由于E、G分別是和CG的中點,?4*EG//5，

而G?！?

??.EG//A1B1,

.??四邊形是平行四邊形.

:,A\E//B、G,從而NBiGF為異面直線所成角,

連接名尸，貝ijFG=V3.BiG=V2.B#=遍,

22

^FG+B1G=Bp，

/GF=1

即異面直線&E與G尸所成的角為會

故選D.

先找或作異面直線所成的角，由&E〃&G,得到乙當(dāng)GF為異面直線所成角，分別求得FG=V3.B1G=

V2.Bj/=遍再求解.

本題主要考查求異面直線所成的角，用幾何法要先從圖中找或作出角來，再用余弦定理求解.

10.答案：D

解析：

本題考查了函數(shù)性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及學(xué)生對新定義的接受能力,

屬于中檔題.

由題意可得人乃關(guān)于x=0,x=l對稱，從而作出函數(shù)/(乃的圖象，從而由定義確定下確界即可.

解：由題意知，f(x)關(guān)于x=0,x=1對稱;

故函數(shù)f(x)的周期為2,

又：當(dāng)xe[0,1]時，/(x)=-3xz+2,

二當(dāng)％G[—1,1]時，f(x)=-3x2+2；

故作出函數(shù)/Xx)在R上的部分圖象如下，

故易得下確界為八1)=-1,

故選D.

11.答案：±2

解析：解：；z=a+bi(a,bCR),且z?=2i,

???(a+bi)2=a2—b2+2abi=21,

??-a+b=±2.

故答案為：±2.

由已知利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算可得a2—爐+2abi=2i,然后利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a,

6的值，則答案可求.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題.

12.答案：[

1.,c2tana14

解析：解：,?,已知tan(7r+a)=,=tcma,則ta幾2a=i.taMQ=U=.’

24

故答案為：g.

由題意利用誘導(dǎo)公式求得tana的值，再利用二倍角的正切公式，求得tan2a的值.

本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：27

274

解析：解：若/+(x+I),=劭+%(%+2)+a2(x+2)H---Fa7(x+2)=[(%+2)-2]+[(x+

2)-1]7,

則=Cl-(-2)+C，-(-1)4=-8+35=27,

故答案為：27.

x2747

由題意可得a。+a](x+2)+a2(,+2)+…+CL-J(X+2)=[(x+2)—2]+[(%+2)—l])再利用

二項展開式的通項公式，求得的值.

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，式子的變形是解題

的關(guān)鍵，屬于中檔題.

14.答案：8；10

解析：解：由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，

其直觀圖如下圖所示：

底面面積5=|x3x4=6,

棱柱的高九=4,

故棱柱的體積V=^Sh=8,

三棱錐四面面的面積分別為：8,6,672,10

顯然面積的最大值為10

故答案為：8；10.

由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，求出底面面積，代入棱錐體積

公式，可得答案.

本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.

15.答案：4

解析:解：?.?隨機(jī)變量X?B(4,P),且E(X)=2,

??.E(X)=4p=2,解得p=I，

.?.Z)(X)=4xix(l-i)=l,

???O(2X-3)=22D(X)=4.

故答案為：4.

推導(dǎo)出E(X)=4p=2,解得p=g,從而O(X)=4x?x(l-}=1,再由。(2X-3)=22￡>(X),能

求出結(jié)果.

本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，考查二項分布等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

16.答案：g,+8)

解析：解：YQ>。，b>0,Q+2b=4,

12112

,-.-+-=^(a+2b)(-+-)

=2+上第濘(5+2個).

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=料取等號，

129

X

^+J=

---

u匕tn4

1219

有

m>+幃>^+=

-一-

-un

a匕ml4

???m的取值范圍為［］,+8).

故答案為：+8).

根據(jù)利用基本不等式求出工+的最小值，由機(jī)工+］有解，可得

a>0,h>0,a+2b=4,a1b2ab7nz

G+，從而得到m的取值范圍?

本題考查了利用基本不等式求最值和不等式有解問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬中檔題.

17.答案：3

解析：

本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查余弦定理的應(yīng)用與平面向量數(shù)量積的定義，屬于中檔題.

依題意，利用余弦定理可求得14cl=V5，繼而可得乙4cB=90。，\AB\cos/.CAB=\AC\＜利用平面

向量數(shù)量積的定義即可求得同?前的值.

解：在三角形AQC中，Z.ADC=120°,AD=DC=1,

由余弦定理得：14cl2=\AD\2+\CD\2-2\AD\\CD\cosl20°

=1+1-2x（一》=3，

故|AC|=V3-

又N04C=ADCA=30°,乙BCD=120°,

所以，^ACB=90°,即AACB為直角三角形，

所以，|荏Icos/CTIB=|正|，

所以南?而=\AB\\AC\COSACAB

=|XC|（|AB|coszC/lB）

=|^4C|-|^4C|=V3-V3=3.

故答案為：3.

18.答案：解：如圖，由題意知，

在三角形BCD中，

所以當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)巡邏艇時，兩船相距海里;

因為

所以設(shè)追擊時間為/,則

所以

即巡邏艇被騙東15。方向才能最快追上走私船.

(；。0V21

,IIa=30°,ZFCE=45-30°=15°n&=sin1350sina==

\BC\=243曳3M222

IVUU-.ZT3/IZr3c中根據(jù)余弦定

悵；（2）先求

sinAABCsin60°晚

------sinZABC=—4ABC=45°刖用正弦定理求出,即可求

2、泛2、回2

憶Z.CBD=180°-(60°+45°+45°)=30°,

ACDE=360°-(900+135°)=135°NQCF

Z

19.答案：證明：(1)???在四棱錐P-4BCD中，LBAD=120°,AB=

AD=2,△BCD是等邊三角形，

??.△ABC=^ACD,

?；E是8P中點，AC與B。交于點O,二。是8。中點，

連結(jié)OE,則。E〃PD,

???PD，面ACE,0Eu面ACE,PD〃面ACE.

解：(2)?:BD1AC,P01面ABCD,

以。為原點，OB,OC,0P為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,1),71(0,-1,0),fi(V3,0,0),C(0,3,0),E(與0,|).

麗=(-*1,-｝，F(xiàn)C=(-y,3>告M=(0,-l,-l)，

設(shè)平面ACE的一個法向量元=(x,y,z),

則｛一=，取x=l,得n=(l,0,-V3)，

同?EC=-6y+z=0

設(shè)直線PA與平面ACE所成角為仇

則MA-前前一泰-T

二直線PA與平面ACE所成角的正弦值為"

4

解析：(1)推導(dǎo)出AHBC三AAC。，。是3。中點，連結(jié)OE,貝I」OE〃PD,由此能證明PD〃面ACE.

(2)由BDLAC,POl[SiABCD,以。為原點，OB,OC,OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用

向量法能求出直線PA與平面ACE所成角的正弦值.

本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與

方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題.

n

20.答案：解：(1)an+1=2-3an,

皿=_三.%+工，

2n+122n2

即b+i=-/+：，變形得，*+1~4=一|(%-6

故心一巳=(瓦一》(一|尸，因而，

bn=i+(a0-i)(-|)";

⑵由⑴知會=從而

|+(a0-i)(-|)\an=1-2"+2"(a0-i)(-|)",

故由i-On-1=[7,(?0-1)(-|)n+1]，

設(shè)4=箏(％_》

則瑪一即_1=奈做一|)"+1],下面說明的=(,討論：

若劭<%則4<0,此時對充分大的偶數(shù)〃，M(-|)n+l]<0，有演<即.1，這與｛5｝遞增的要

求不符；

n

若即>g則力>0,此時對充分大的奇數(shù)n,M(-|)+1]<0,有即<即-1，這與｛an｝遞增的要

求不符；

若a0=1,則4=0,an-an_x=|^>0,始終有a.>an_「綜上，a0=|

解析：(1)即+1=2"-3即=*=一|嗡+也即%+1=-|%+；,變形整理即可求得，hn=|+

(a。/)(-加

(2)由⑴知號=上+(。?！猍)(—I)"，從而1-2n+2n(ao-于是有“-V-i=)皆。

—n

(劭-g)(-|)"+1]>設(shè)4=三?(a°—1)，則an_a9-i=|^M(|)+1]，依題意，證明a。=巳即可.

本題考查數(shù)列遞推式，著重考查等比關(guān)系的確定及構(gòu)造函數(shù)思想，考查推理、分析與運(yùn)算的綜合能

力，屬于難題.

21.答案：解：(I)由題意，直線/的方程為y=x-￡,

__P

-5,消去y整理得-3px+Q=0,

｛y2=2px4

設(shè)直線/與拋物線E的交點的橫坐標(biāo)為與，x2,則Xi+%2=3p,

故直線I被拋物線E截得的線段長為X]+&+P=4p=8,得p=2,

???拋物線E的方程為y2=4x；

(口)由(1)知,F(l,0),設(shè)￡■(&,%),則圓C的方程是(x-Xo)2+(y-yo)2=(Xo-l)2+M，

令％=-[,則丁2-2小丁+3沏一；=0,又韜=4與，

△=4羽—12%0+3=4%0+3=詔+3>0恒成立，

113

設(shè)4(一5/3)，8(-3，丫4)，則丁3+、4=2%，y3y4=3X()

99981

\FA\.|FB|=Jy2+_.Jy2+_=J(y3y4)2+-(y2+赤)+_

2

(3X0-|)+;[4%-2(3x0-|)]+^=J9詔+18x。+9=3區(qū)+11，

???x020，二|F4|1\FB\G[3,+8).

解析：(I)由題意可得直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得兩交點橫坐標(biāo)的

和，再由拋物線的焦點弦長公式列式求得P，則拋物線方程可求；

(H)寫出圓C的方程，?。?可得關(guān)于y的方程，設(shè)出A,B的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得A,

8的縱坐標(biāo)的和與積，代入|FA|?|FB|整理得答案.

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓、拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了函數(shù)值域的求法，

考查計算能力，屬中檔題.

22.答案：解：(1)當(dāng)a=-2時，/(X)=-2Znx+|(x-l)2,

定義域｛%|x>0],

尸(x)=^+1x2(x-1)==(x-2?x+l),

在(0,2)上f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

在(2,+8)上((X)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=2時,f。)極小值=fg=-2/n2+i

(2)若Vx￡[1,+8),都有/(x)>0,

只需要,%G[1,4-00),/(x)mjn>0,即可，

尸(x)=H*(f=干

令九(%)=%2—%+a,xE[1,4-oo),

對稱軸為X=-y=j,

所以九(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以九(X)min=h(1)=%

當(dāng)a20時，在(1,+8)上，h(x)>0,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

=f(D=0，符合題意,

當(dāng)aV0時，存在%()€(1,+8),使得h(%o)=O,即。=一詔+%,①

所以在(L&)上八(%)<0,;(x)<