二章導數(shù)與微分求導法則

2.2求導法則

2.2.1

函數(shù)的和、差、積、商求導法則

2.2.2

反函數(shù)的求導法則

2.2.3

復合函數(shù)的求導法則

2.2.4

常用函數(shù)導數(shù)表

2.2.5

隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的

導數(shù)定理2.2.12.2.1

函數(shù)的和.差.積.商求導法則證推論例1驗證下列函數(shù)的導數(shù)例2例32.2.2

反函數(shù)的導數(shù)定理2.2.2即

反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)。例4

證明下列結論:解類似可得解類似可得2.2.3

復合函數(shù)的求導法則定理2.2.3(鏈式法則)即

因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量求導,乘以中間變量對自變量求導。證*注2)多層復合的情形例5

求下列函數(shù)的導數(shù)解1)在求復合函數(shù)導數(shù)時關鍵是搞清復合結構,然后如同鎖鏈一樣,需由表及里一層一層地求導,一直求到最里面,不能漏掉任何一層,否則導致錯誤。注2)熟練掌握后應省去中間變量而直接寫出求導結果。例6

計算導數(shù)解例7

解1.導數(shù)運算的基本法則2.2.4

常用函數(shù)導數(shù)表2.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式例9解解例10注后面還可用隱函數(shù)求導法來計算。例11注1）從本例可見雖然求導可以有很多種方法,但顯然把f(x)先予以恒等變換成簡單函數(shù)后再求導能簡捷得多。2）在求導問題中常用的恒等變形,如……所以在具體做題時,一定要先把求導的函數(shù)審視一遍予以簡化,這比盲目代公式做題要方便。3）在很多問題中恒等變形時有益的,應對其有足夠的重視。2.2.5隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)顯化1.顯函數(shù)和隱函數(shù)2.隱函數(shù)求導的方法例12

利用隱函數(shù)求導法，求下列函數(shù)的導數(shù)解解注例13

解例13

另解觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù).-----對數(shù)求導法結構特點(適用范圍):3.對數(shù)求導法例14解等式兩邊先取絕對值再取對數(shù)得例15解等式兩邊取對數(shù)得4.由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)[引例]斜上拋物體運動前者物理意義清楚,后者幾何意思明顯,各有利弊.若參數(shù)方程確定x與y間的函數(shù)關系,則稱此函數(shù)y=y(x)(或x=x(y))為參數(shù)方程所確定的函數(shù)。例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導?由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得例16解導數(shù)的構造性定義運算法則(四則/反函數(shù)/復合)其它的基本初等函數(shù)的求導公式所有初等函數(shù)(顯式)的求導問題1.初等函數(shù)的求導問題★本講內(nèi)容小結3)各法則使用時均需注意使用條件.2)必須熟記基本導數(shù)公式(注意公式的特點).注：1)求導運算是高數(shù)中最基本最重要的計算,是全書的重點,而復合函數(shù)的求導是其中的難點.4)復合求導的關鍵在于正確分解復合結構.2.其他形式的初等函數(shù)的求導問題1)隱函數(shù)的導數(shù)2)某些特殊的顯函數(shù)－對數(shù)求導法3)由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)4)由極坐標方程確定的函數(shù)的導數(shù)★本講內(nèi)容小結(直接對方程兩邊求導)(實質(zhì)上