近代數(shù)學(xué)的興起

近代數(shù)學(xué)的興起主講人：周思波2023最新整理收集do

something一、中世紀(jì)的歐洲時(shí)代背景中世紀(jì)前期約從400年起到1100年左右為止。數(shù)學(xué)是這個(gè)時(shí)期受到最大排斥的學(xué)科之一。如羅馬皇帝狄奧多西的法典就規(guī)定：“任何人不得向占卜人與數(shù)學(xué)家請(qǐng)教?！?世紀(jì)時(shí)查士丁尼的法典則更直截了當(dāng)?shù)胤Q：“徹底禁止應(yīng)受到譴責(zé)的數(shù)學(xué)技藝?！眾W古斯丁（354-430年）說：“從圣經(jīng)以外獲得的任何知識(shí)，如果它是有害的，理應(yīng)加以排斥；如果它是有益的，那它是會(huì)包含在圣經(jīng)里的。”這一時(shí)期的歐洲在基督教統(tǒng)治下，一切學(xué)術(shù)思想屈從于宗教教義，當(dāng)時(shí)歐洲的中心學(xué)科只剩下與理性格格不入的神學(xué)，歐洲文明不可避免地裹足不前甚至萎縮倒退。許多史學(xué)家稱之為歐洲的黑暗時(shí)代。數(shù)學(xué)的停滯博伊西斯（約480-524）根據(jù)希臘材料選編成《幾何》、《算術(shù)》被作為歐洲教會(huì)學(xué)校的標(biāo)準(zhǔn)課本沿用了近千年。中世紀(jì)歐洲的大學(xué)，僅僅開設(shè)算術(shù)、幾何和主要是包括簡(jiǎn)單計(jì)算和迷信十分濃厚的術(shù)算（理論算術(shù)）。幾何差不多僅限于歐幾里得的前三卷，連碩士學(xué)位考試所需要的知識(shí)也不過如此。在某些大學(xué)，所能達(dá)到的最高水平也就是非常初等的等腰三角形底角相等定理。總體來說，1000多年前，一位學(xué)識(shí)淵博的歐洲數(shù)學(xué)家所擁有的知識(shí)，比今天任何一名中學(xué)畢業(yè)生要少得多。歐洲數(shù)學(xué)的翻譯時(shí)代直到12世紀(jì)，歐洲數(shù)學(xué)才出現(xiàn)復(fù)蘇的跡象。這種復(fù)蘇開始由于受翻譯、傳播阿拉伯著作和希臘著作的刺激。貿(mào)易和旅游十字軍東征可以說12世紀(jì)是歐洲數(shù)學(xué)的翻譯時(shí)代。90多部阿拉伯文著翻譯成拉丁文，其中包括托勒密的《大成》、歐幾里得的《原本》、阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》、花拉子米的《代數(shù)學(xué)》、《天文學(xué)》以及阿基米德的《圓的度量》。

古代學(xué)術(shù)傳播西歐的路線圖波斯希臘印度中國唐漢中國宋元巴格達(dá)北非西西里西班牙西歐斐波那契斐波那契是中世紀(jì)最具影響力的數(shù)學(xué)家。他早年就隨其父親在北非從師阿拉伯人學(xué)習(xí)算學(xué)，后又游歷地中海沿岸諸國，回意大利寫成《算盤書》?！端惚P書》主要是古代中國、印度和希臘數(shù)學(xué)著作的內(nèi)容，包括印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼，分?jǐn)?shù)算法，開方法，二次和三次方程，不定方程，以及《幾何原本》和希臘三角學(xué)的大部分內(nèi)容。特別是，書中系統(tǒng)介紹了印度數(shù)碼，影響了歐洲數(shù)學(xué)面貌。Fibonacci(1170~1250)《算盤書》可以看作是歐洲數(shù)學(xué)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的黑夜之后走向復(fù)蘇的號(hào)角。黎明前的黑暗歐洲數(shù)學(xué)復(fù)蘇的過程十分曲折，從12世紀(jì)到15世紀(jì)中葉，教會(huì)中的經(jīng)院哲學(xué)派利用重新傳入的希臘著作中的消極成分來阻抗科學(xué)的進(jìn)步。特別是他們把亞里士多德、托勒密的一些學(xué)術(shù)奉為絕對(duì)正確的教條，妄圖用這種新的權(quán)威主義來繼續(xù)束縛人們的思想。歐洲數(shù)學(xué)真正的復(fù)蘇，要到15、16世紀(jì)。在文藝復(fù)興的高潮中，數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)的革新緊密結(jié)合在一起，數(shù)學(xué)在認(rèn)識(shí)自然和探索真理方面的意義被文藝復(fù)興的代表人物高度強(qiáng)調(diào)。二、向近代數(shù)學(xué)的過渡代數(shù)學(xué)的進(jìn)步歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開始的，它是文藝復(fù)興時(shí)期成果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域，拉開了近代數(shù)學(xué)的序幕。代數(shù)學(xué)上有兩個(gè)偉大的進(jìn)步：一是得到了一般三次方程和四次方程的解；二是發(fā)明了現(xiàn)代符號(hào)體系，即用字母表示數(shù)的體系。第一個(gè)進(jìn)步是由意大利北部的數(shù)學(xué)家在大約1520年到1540年間完成的；第二個(gè)進(jìn)步主要是兩名法國人的研究成果：韋達(dá)和笛卡爾。三次、四次方程求解費(fèi)羅(1465-1526)x3+px=q(1515)塔爾塔利亞(1499-1557)x3+px2=q(1535)菲俄卡爾達(dá)諾(1501-1576)費(fèi)拉里(1522-1565)塔爾塔利亞費(fèi)拉里符號(hào)代數(shù)的引入代數(shù)上的進(jìn)步還在于引用了較好的符號(hào)體系，這對(duì)于代數(shù)學(xué)本身的發(fā)展以及分析學(xué)的發(fā)展來說，至為重要。正是由于符號(hào)化體系的建立，才使代數(shù)有可能成為一門科學(xué)。近現(xiàn)代數(shù)學(xué)最為明顯的標(biāo)志之一，就是普遍使用了數(shù)學(xué)符號(hào)，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象與簡(jiǎn)練。數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)化首先歸功于法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)，由于他的符號(hào)體系的引入導(dǎo)致代數(shù)性質(zhì)上產(chǎn)生最重大變革。對(duì)韋達(dá)所使用的代數(shù)法的改進(jìn)工作是由笛卡爾完成的，他首先用拉丁字母的前幾個(gè)（a,b,c,d,…）表示已知量，后幾個(gè)（x,y,z,w,…）表示未知量，成為今天的習(xí)慣。韋達(dá)的符號(hào)代數(shù)保留著齊性原則，要求方程中各項(xiàng)都是“齊性”的，即體積與體積相加，面積與面積相加。這一障礙隨著笛卡爾解析幾何的誕生也得到消除。Viete(1540-1603)

三角學(xué)航海、歷法推算以及天文觀測(cè)的需要，推動(dòng)了三角學(xué)的發(fā)展，早期三角學(xué)總是與天文學(xué)密不可分，這樣在1450年以前，三角學(xué)主要是球面三角，在歐洲，第一部脫離天文學(xué)的三角學(xué)專著是雷格蒙塔努斯(Regiomontanus,1436~1476)的《論各種三角形》。隨后，維勒(Werner,1468~1528)著《論球面三角》（1514），改進(jìn)并發(fā)表了將雷格蒙塔努斯的思想。三角學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，是法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)所做的平面三角與球面三角系統(tǒng)化工作。在16世紀(jì)，三角學(xué)已從天文學(xué)中分離出來，成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。幾何學(xué)的復(fù)興文藝復(fù)興時(shí)期幾何創(chuàng)造其動(dòng)力來自于藝術(shù)。正是由于繪畫、制圖的刺激而導(dǎo)致了富有文藝復(fù)興特色的學(xué)科——透視學(xué)的興起，從而誕生了投影幾何學(xué)。中世紀(jì)宗教繪畫具有象征性和超現(xiàn)實(shí)性，而文藝復(fù)興時(shí)期，描繪現(xiàn)實(shí)世界成為繪畫的重要目標(biāo)，這就使畫家們?cè)趯⑷S現(xiàn)實(shí)世界繪制到二維的畫布上時(shí)，面臨許多問題：（1）一個(gè)物體的同一投影的兩個(gè)截影有什么共同的性質(zhì)？（2）從兩個(gè)光源分別對(duì)兩個(gè)物體投影到同一個(gè)物影上，那么兩個(gè)物體間具有什么關(guān)系？從透視學(xué)到射影幾何第一個(gè)認(rèn)真從事透視幾何研究的意大利畫家是布努雷契（F.Brunelleschi,1377~1446）。阿爾貝蒂(L.B.Alberti,1404~1472)于1435年寫成了第一本透視學(xué)著作，名為《論繪畫》。第一個(gè)在真正意義上對(duì)于透視法所產(chǎn)生的問題從數(shù)學(xué)上直接給予解答的是笛沙格（G.Desargues,1591~1661）。1639年發(fā)表著作《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》，充滿了創(chuàng)造性的思想。法國另一位數(shù)學(xué)家帕斯卡（BlaisePascal,1623~1662）十六歲時(shí)就開始也研究投射與取景法，1640年完成著作《略論圓錐曲線》。計(jì)算技術(shù)與對(duì)數(shù)十六世紀(jì)前半葉，歐洲人象印度、阿拉伯人一樣，把實(shí)用的算術(shù)計(jì)算放在數(shù)學(xué)的首位，科學(xué)成果在工程技術(shù)上的應(yīng)用以及實(shí)踐上的需要，要求得出數(shù)量上的結(jié)果，對(duì)計(jì)算技術(shù)提出了前所未有的要求。蘇格蘭貴族、業(yè)余數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier，1550-1617)發(fā)表了世界上第一張對(duì)數(shù)表，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。1614年他在題為《奇妙的對(duì)數(shù)定理說明書》的小書中，闡述了他的對(duì)數(shù)方法。對(duì)數(shù)的發(fā)明大大減輕了計(jì)算工作量，很快風(fēng)靡歐洲，所以拉普拉斯（Laplace,1749~1827）曾贊譽(yù)道：“對(duì)數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”。到十六世紀(jì)末、十七世紀(jì)初，整個(gè)初等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容基本定型，文藝復(fù)興促成的東西方數(shù)學(xué)的融合，為近代數(shù)學(xué)的興起及以后的驚人發(fā)展鋪平了道路。三、解析幾何的誕生背景文藝復(fù)興以來資本主義生產(chǎn)力的興起，對(duì)科學(xué)技術(shù)提出了全新的要求。機(jī)械的普遍使用引起了對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究；航海事業(yè)的空前發(fā)達(dá)要求測(cè)定船舶位置，這就需要準(zhǔn)確地研究天體運(yùn)行的規(guī)律；武器的改進(jìn)刺激了彈道問題的探討；總之，到了十六世紀(jì)，對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問題，這就迫切地需要一種新的數(shù)學(xué)工具，從而導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)亦即近代數(shù)學(xué)的誕生。近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學(xué)。變量數(shù)學(xué)的里程碑變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑是解析幾何的誕生。解析幾何的基本思想是在平面上引進(jìn)所謂“坐標(biāo)”的概念，并借助這種坐標(biāo)在平面上的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。以這種方式可以將一個(gè)代數(shù)方程f(x,y)=0與平面上一條曲線對(duì)應(yīng)起來，于是幾何問題便可歸結(jié)為代數(shù)問題，并反過來通過代數(shù)問題的研究發(fā)現(xiàn)新的幾何結(jié)果。用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)。解析幾何的創(chuàng)建者費(fèi)馬Fermat1601——1665法國人笛卡兒Descartes1596——1650法國人1637年他發(fā)表了最有名的著作《談?wù)務(wù)_運(yùn)用自己的理性在各門學(xué)問里尋求真理的方法》，通常簡(jiǎn)稱為《方法論》。在《方法論》中附有三篇論文：《折光學(xué)》、《氣象學(xué)》和《幾何學(xué)》。在這三篇論文中笛卡爾給出了用自己的方法做出發(fā)明的例子?！墩?wù)劮椒ā罚?f/16842747.html

《笛卡爾幾何學(xué)》：/f/9845019.html笛卡爾的解析幾何笛卡兒的思想核心是：把幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算、證明，從而達(dá)到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創(chuàng)立了我們現(xiàn)在稱之為的“解析幾何學(xué)”。笛卡兒提出了一種大膽的計(jì)劃，即：任何問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解費(fèi)馬的解析幾何費(fèi)馬工作的出發(fā)點(diǎn)是試圖恢復(fù)失傳的阿波羅尼奧斯的著作《論平面軌跡》，從而寫了一本題為《論平面和立體的軌跡引論》（1629）的書，他試圖用他所熟悉的代數(shù)形式描述阿波羅尼奧斯的結(jié)果。書中清晰地闡述了費(fèi)馬的解析幾何原理，指出：“只要在最后的方程中出現(xiàn)兩個(gè)未知量，就有一條軌跡，這兩個(gè)量之一的末端描繪出一條直線或曲線。直線只有一種，曲線的種類則是無限的，有圓、拋物線、橢圓等等”。笛爾兒與費(fèi)馬的工作對(duì)比笛卡爾費(fèi)馬目的給出方法論在數(shù)學(xué)上的一個(gè)例子竭力恢復(fù)失傳的阿波羅尼奧斯的著作《論平面軌跡》途徑先研究軌跡，然后求其方程先研究方程，然后求其軌跡時(shí)間1637年1629年思想笛卡爾批評(píng)了希臘人的傳統(tǒng)，主張和這個(gè)傳統(tǒng)決裂。費(fèi)馬著眼于繼承古希臘的思想，認(rèn)為自己的工作是重新表述了阿波羅尼奧斯的工作。解析幾何學(xué)的意義解析幾何學(xué)，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。解析幾何的出現(xiàn)，把相互對(duì)立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)