同濟大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)下課件D84復(fù)合求導(dǎo)

同濟大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)下課件D84復(fù)合求導(dǎo)目錄復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用習(xí)題與解析復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)01復(fù)合函數(shù)是由兩個或多個函數(shù)通過復(fù)合關(guān)系組成的函數(shù)。復(fù)合函數(shù)通常表示為$f(g(x))$，其中$f$和$g$是兩個函數(shù)，$g(x)$是內(nèi)層函數(shù)，$f(u)$是外層函數(shù)，$u$是中間變量。內(nèi)層函數(shù)$g(x)$的輸出作為外層函數(shù)$f(u)$的輸入?？偨Y(jié)詞詳細(xì)描述復(fù)合函數(shù)的定義復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)詞復(fù)合函數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，如鏈?zhǔn)椒▌t、指數(shù)法則等。詳細(xì)描述鏈?zhǔn)椒▌t是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的重要法則，表示為$fracgyx5csr{dx}f(g(x))=f'(u)cdotg'(x)$，其中$f'(u)$表示對中間變量$u$求導(dǎo)，$g'(x)$表示對內(nèi)層函數(shù)$g(x)$求導(dǎo)。指數(shù)法則涉及到復(fù)合函數(shù)的指數(shù)運算，如$(uv)'=u'v+uv'$。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過鏈?zhǔn)椒▌t進行計算?？偨Y(jié)詞根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，如果已知內(nèi)層函數(shù)$g(x)$和外層函數(shù)$f(u)$的導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)$f(g(x))$的導(dǎo)數(shù)為$f'(g(x))cdotg'(x)$。具體地，首先對內(nèi)層函數(shù)求導(dǎo)得到$g'(x)$，然后將其代入外層函數(shù)得到中間變量$u=g(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(u)$，最后將兩者相乘即可得到復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。詳細(xì)描述復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則02總結(jié)詞鏈?zhǔn)椒▌t是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的核心，它描述了復(fù)合函數(shù)中內(nèi)層函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)與外層函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。詳細(xì)描述鏈?zhǔn)椒▌t指出，如果一個復(fù)合函數(shù)由兩個函數(shù)組成，內(nèi)層函數(shù)對某個變量求導(dǎo)，外層函數(shù)對同一變量也求導(dǎo)，則這兩個導(dǎo)數(shù)相乘就是復(fù)合函數(shù)對該變量的導(dǎo)數(shù)。鏈?zhǔn)椒▌t是通過將內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)“傳遞”給外層函數(shù)來實現(xiàn)的。鏈?zhǔn)椒▌t總結(jié)詞乘積法則是用來求兩個函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)的規(guī)則。詳細(xì)描述乘積法則指出，如果兩個函數(shù)相乘，則它們的乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)加上第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第一個函數(shù)。這個法則可以推廣到多個函數(shù)的乘積的情況。乘積法則商式法則商式法則是用來求兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)的規(guī)則?？偨Y(jié)詞商式法則指出，如果兩個函數(shù)相除，則它們的商的導(dǎo)數(shù)等于被除函數(shù)的導(dǎo)數(shù)除以除函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以被除函數(shù)。這個法則可以用于任何非零的除數(shù)，但需要注意分母不能為零。詳細(xì)描述VS反函數(shù)求導(dǎo)法則是用來求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的規(guī)則。詳細(xì)描述反函數(shù)求導(dǎo)法則指出，如果一個函數(shù)與其反函數(shù)都存在導(dǎo)數(shù)，則它們的導(dǎo)數(shù)互為逆運算。這個法則可以用于求解一些復(fù)雜的微分問題，特別是與隱函數(shù)相關(guān)的問題?？偨Y(jié)詞反函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用03總結(jié)詞通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，是研究函數(shù)的重要方法之一。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以用來研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要點一要點二詳細(xì)描述利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們可以判斷函數(shù)的增減性。如果導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加；如果導(dǎo)數(shù)小于0，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少。因此，通過求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們可以研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性極值是函數(shù)在某點附近取得的最大或最小值。通過求導(dǎo)數(shù)并令其為零，我們可以找到函數(shù)的極值點。對于復(fù)合函數(shù)，我們同樣可以利用求導(dǎo)數(shù)的方法來研究其極值。當(dāng)一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)為零時，該點可能是函數(shù)的極值點。對于復(fù)合函數(shù)，我們可以通過求導(dǎo)數(shù)并令其為零來找到可能的極值點。然后，通過判斷二階導(dǎo)數(shù)的符號，我們可以確定這些點是否為極值點。如果二階導(dǎo)數(shù)大于零，該點為極小值點；如果二階導(dǎo)數(shù)小于零，該點為極大值點。總結(jié)詞詳細(xì)描述利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的極值總結(jié)詞曲線的凹凸性是指曲線在某段區(qū)間內(nèi)是向上凸起還是向下凹下。通過求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，我們可以判斷曲線的凹凸性。對于復(fù)合函數(shù)，我們也可以利用求導(dǎo)數(shù)的方法來研究其凹凸性。詳細(xì)描述曲線的凹凸性可以通過函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)來判斷。如果函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)大于零，曲線在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)向上凸起；如果二階導(dǎo)數(shù)小于零，曲線在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)向下凹下。對于復(fù)合函數(shù)，我們可以通過求二階導(dǎo)數(shù)來研究其凹凸性。利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)研究曲線的凹凸性習(xí)題與解析04題目1求函數(shù)$f(x,y)=x^2+y^2$在點$(1,2)$處關(guān)于$x$的偏導(dǎo)數(shù)。題目2求函數(shù)$f(x,y)=sin(x+y)$在點$(1,2)$處關(guān)于$y$的偏導(dǎo)數(shù)。題目3求函數(shù)$f(x,y)=x^2cdotsiny$在點$(1,2)$處關(guān)于$x$的偏導(dǎo)數(shù)。基礎(chǔ)習(xí)題01求函數(shù)$f(x,y)=x^2+y^2$在點$(1,2)$處關(guān)于$x$的全導(dǎo)數(shù)。題目402求函數(shù)$f(x,y)=sin(x+y)$在點$(1,2)$處關(guān)于$y$的全導(dǎo)數(shù)。題目503求函數(shù)$f(x,y)=x^2cdotsiny$在點$(1,2)$處關(guān)于$x$的全導(dǎo)數(shù)。題目6進階習(xí)題題目7求函數(shù)$f(x,y)=x^2+y^2$在點$(1,2)$處的全導(dǎo)數(shù)，并驗證全導(dǎo)數(shù)的幾何意義。題目8求函數(shù)$f(x,y)=sin(