2024《試吧大考卷》二輪專題闖關(guān)導(dǎo)練數(shù)學(xué)【新高考】熱點(diǎn)(十三)　數(shù)學(xué)文化

2024《試吧大考卷》二輪專題闖關(guān)導(dǎo)練數(shù)學(xué)【新高考】熱點(diǎn)(十三)數(shù)學(xué)文化熱點(diǎn)(十三)數(shù)學(xué)文化1．[2020·石家莊模擬](古典概率中的數(shù)學(xué)文化)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了“完全數(shù)”6和28，后人進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)3個(gè)“完全數(shù)”分別為496,8128,33550336，現(xiàn)將這5個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28恰好在同一組的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(1,10)2．[2020·山東六地市部分學(xué)校線上考試]《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問(wèn)為田幾何？”意思說(shuō)：現(xiàn)有扇形田，弧長(zhǎng)三十步，直徑十六步，問(wèn)面積多少？書(shū)中給出計(jì)算方法：以徑乘周，四而一，即扇形的面積等于直徑乘以弧長(zhǎng)再除以4.在此問(wèn)題中，扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A.eq\f(4,15)B.eq\f(15,8)C.eq\f(15,4)D．1203．(函數(shù)圖象中的數(shù)學(xué)文化)我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)的圖象的特征．如函數(shù)f(x)＝eq\f(x4,|4x－1|)的圖象大致是()4．(概率中的數(shù)學(xué)文化)我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果．《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》……《緝古算經(jīng)》等10部專著，有著十分豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著的概率為()A.eq\f(14,15)B.eq\f(1,15)C.eq\f(2,9)D.eq\f(7,9)5．(數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化)《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著．在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，如“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七，借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個(gè)問(wèn)題中，這位公公的長(zhǎng)兒的年齡為()A．23歲B．32歲C．35歲D．38歲6．[2020·新高考Ⅰ卷](立體幾何中的數(shù)學(xué)文化)日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面．在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為()A．20°B．40°C．50°D．90°7．(解析幾何中的數(shù)學(xué)文化)唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”的問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)閤2＋y2≤1，若將軍從點(diǎn)A(2,0)出發(fā)，河岸線所在直線方程x＋y－4＝0，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為()A.eq\r(10)B．2eq\r(5)－1C．2eq\r(5)D.eq\r(10)－18．(圓中的數(shù)學(xué)文化)阿波羅尼斯(約公元前262～190年)證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k(k＞0，k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A、B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(2)，則|PA|2＋|PB|2的最小值為()A．36－24eq\r(2)B．48－24eq\r(2)C．36eq\r(2)D．24eq\r(2)9．如圖所示，在著名的漢諾塔問(wèn)題中，有三根高度相同的柱子和一些大小及顏色各不相同的圓盤，三根柱子分別為起始柱、輔助柱及目標(biāo)柱．已知起始柱上套有n個(gè)圓盤，較大的圓盤都在較小的圓盤下面，現(xiàn)把圓盤從起始柱全部移到目標(biāo)柱上，規(guī)則如下：每次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤，且每次移動(dòng)后，每根柱上較大的圓盤不能放在較小的圓盤上面，規(guī)定一個(gè)圓盤從任一根柱上移動(dòng)到另一根柱上為一次移動(dòng)．若將n個(gè)圓盤從起始柱移動(dòng)到目標(biāo)柱上最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為p(n)，則p(4)＝()A．33B．31C．17D．1510．(解三角形中的文化)《數(shù)書(shū)九章》中對(duì)已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的求法填補(bǔ)了我國(guó)數(shù)學(xué)史中的一個(gè)空白，雖與著名的海倫公式形式上有所不同，但實(shí)質(zhì)完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學(xué)水平．其求法是：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開(kāi)平方得積．”把以上這段文字用數(shù)學(xué)公式表示，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))2)))(S，a，b，c分別表示三角形的面積、大斜、中斜、小斜)．現(xiàn)有周長(zhǎng)為4eq\r(2)＋2eq\r(5)的△ABC滿足sinA︰sinB︰sinC＝(eq\r(2)＋1)︰eq\r(5)︰(eq\r(2)－1)，試用以上給出的數(shù)學(xué)公式計(jì)算△ABC的面積為()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(5)D．2eq\r(5)11．(立體幾何中的數(shù)學(xué)文化)我國(guó)古代《九章算術(shù)》里記載了一個(gè)求“羨除”體積的例子，羨除，隧道也，其所穿地，上平下邪．小明仿制羨除裁剪出如圖所示的紙片，在等腰梯形ABCD中，AB＝10，BC＝CD＝DA＝8，在等腰梯形ABEF中，EF＝6，AF＝BE＝6.將等腰梯形ABCD沿AB折起，使DF＝CE＝2eq\r(6)，則五面體ABCDFE中異面直線AC與DE所成角的余弦值為()A．0B.eq\f(\r(2),4)C．－eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),2)12．(多選題)(生活中的數(shù)學(xué)文化)《九章算術(shù)·衰分》中有如下問(wèn)題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢．欲以錢數(shù)多少衰出之，問(wèn)各幾何？”翻譯為“今有甲持錢560，乙持錢350，丙持錢180，甲、乙、丙三個(gè)人一起出關(guān)，關(guān)稅共計(jì)100錢，要按個(gè)人帶錢多少的比例交稅，問(wèn)三人各應(yīng)付多少稅？”則下列說(shuō)法中正確的是()A．甲付的稅錢最多B．乙、丙兩人付的稅錢超過(guò)甲C．乙應(yīng)出的稅錢約為32D．丙付的稅錢最少13．(三角函數(shù)中的文化)公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可表示為m＝2sin18°.若m2＋n＝4，則eq\f(1－2cos227°,3m\r(n))＝________.14．(數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化)“斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)列中的一系數(shù)數(shù)字常被人們稱之為神奇數(shù)．具體數(shù)列為1,1,2,3,5,8…，即從該數(shù)列的第三項(xiàng)數(shù)字開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列{an}為“斐波那契”數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a2020＝M，則S2018＝________.(用M表示)15．[2020·山東煙臺(tái)、菏澤聯(lián)考](二項(xiàng)式定理中的數(shù)學(xué)文化)楊輝三角，又稱賈憲三角、帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書(shū)中用三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，由楊輝三角可以得到(a＋b)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)．根據(jù)相關(guān)知識(shí)可求得(1－2x)5展開(kāi)式中的x3的系數(shù)為_(kāi)_______．16．[2020·山東肥城一中模擬](立體幾何中的數(shù)學(xué)文化)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”．已知三棱柱ABC-A1B1C1是一個(gè)“塹堵”，其中AB＝BC＝BB1＝2，點(diǎn)M是A1C1的中點(diǎn)，則四棱錐M-B1C1CB的外接球的表面積為_(kāi)_______．熱點(diǎn)(十四)新定義，新背景，新情境1．定義集合A，B的一種運(yùn)算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，則A*B＝()A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5}C．{2,3,4}D．{1,3,4,5}2．規(guī)定記號(hào)“⊙”表示一種運(yùn)算，定義a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為正實(shí)數(shù))，若1⊙k2<3，則k的取值范圍是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)D．(0,2)3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(Sn,S2n)為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為()A．bn＝n－1B．bn＝2n－1C．bn＝n＋1D．bn＝2n＋14．2021年?yáng)|京夏季奧運(yùn)會(huì)將設(shè)置4×100米男女混合泳接力這一新的比賽項(xiàng)目，比賽的規(guī)則是：每個(gè)參賽國(guó)家派出2男2女共計(jì)4名運(yùn)動(dòng)員比賽，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力順序，每種泳姿100米且由一名運(yùn)動(dòng)員完成，每個(gè)運(yùn)動(dòng)員都要出場(chǎng)．現(xiàn)在中國(guó)隊(duì)確定了備戰(zhàn)該項(xiàng)目的4名運(yùn)動(dòng)員名單，其中女運(yùn)動(dòng)員甲只能承擔(dān)仰泳或者自由泳，男運(yùn)動(dòng)員乙只能承擔(dān)蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名運(yùn)動(dòng)員則四種泳姿都可以上，那么中國(guó)隊(duì)的布陣方式共有()A．6種B．12種C．24種D．144種5．定義一種運(yùn)算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinxsin\f(π,3),cosxcos\f(π,3)))，為了得到函數(shù)y＝sinx的圖象，只需要把函數(shù)y＝f(x)的圖象上所有的點(diǎn)()A．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向上平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度D．向下平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度6．[2020·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬]已知向量a與b的夾角為θ，定義a×b為a與b的向量積，且a×b是一個(gè)向量，它的模|a×b|＝|a||b|sinθ.若u＝(2,0)，u－v＝(1，－eq\r(3))，則|u×(u＋v)|＝()A．4eq\r(3)B.eq\r(3)C．6D．2eq\r(3)7．定義eq\f(n,\i\su(i＝1,n,u)i)為n個(gè)正數(shù)u1，u2，u3，…，un的“快樂(lè)數(shù)”．若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“快樂(lè)數(shù)”為eq\f(1,3n＋1)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(36,an＋2an＋1＋2)))的前2019項(xiàng)和為()A.eq\f(2018,2019)B.eq\f(2019,2020)C.eq\f(2019,2018)D.eq\f(2019,1010)8．定義一種運(yùn)算：(a1，a2)?(a3，a4)＝a1a4－a2a3，將函數(shù)f(x)＝(eq\r(3)，2sinx)?(cosx，cos2x)的圖象向左平移n(n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,4)C.eq\f(5π,12)D.eq\f(π,3)9．(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．下列為“H函數(shù)”的是()A．y＝sinxcosxB．y＝lnx＋exC．y＝2xD．y＝x2－2x10．(多選題)若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線的斜率之和等于常數(shù)t，則稱函數(shù)y＝f(x)為“t函數(shù)”．下列函數(shù)中可以稱為“2函數(shù)”的是()A．y＝x－x3B．y＝x＋exC．y＝xlnxD．y＝x＋cosx11．(多選題)已知單位向量i，j，k兩兩的夾角均為θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜π，且θ≠\f(π,2)))，若空間向量a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)稱為向量a在“仿射”坐標(biāo)系O-xyz(O為坐標(biāo)原點(diǎn))下的“仿射”坐標(biāo)，記作a＝(x，y，z)θ，則下列命題正確的是()A．已知a＝(1,3，－2)θ，b＝(4,0,2)θ，則a·b＝0B．已知a＝，b＝，其中x，y，z均為正數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，向量a，b的夾角取得最小值C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θD．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0,0,1)，則三棱錐O-ABC的表面積S＝eq\r(2)12．(多選題)[2020·新高考Ⅰ卷]信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念．設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1，定義X的信息熵H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi.()A．若n＝1，則H(X)＝0B．若n＝2，則H(X)隨著p1的增大而增大C．若pi＝eq\f(1,n)(i＝1,2，…，n)，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n＝2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2，…，m，且P(Y＝j(luò))＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，則H(X)≤H(Y)13．甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為_(kāi)_______．14．已知函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線為l：y＝g(x)，若函數(shù)f(x)滿足?x∈I(其中I為函數(shù)f(x)的定義域)，當(dāng)x≠x0時(shí)，[f(x)－g(x)](x－x0)＞0恒成立，則稱x0為函數(shù)f(x)的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”．已知函數(shù)f(x)＝ex－eq\f(1,2)ax2－2x在區(qū)間[0,1]上存在一個(gè)“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”，則a的取值范圍是________．15．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋3,1＋2x＋1)，則函數(shù)y＝[f(x)]的值域?yàn)開(kāi)_______．16．在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，具有如下性質(zhì)：(1)對(duì)任意a，b∈R，a*b＝b*a；(2)對(duì)任意a∈R，a*0＝a；(3)對(duì)任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－5c；則對(duì)于函數(shù)f(x)＝x*eq\f(1,x)(x＞0)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝____________，函數(shù)f(x)的最小值為_(kāi)___________．熱點(diǎn)(十三)數(shù)學(xué)文化1．答案：B解析：記5個(gè)“完全數(shù)”中隨機(jī)抽出2個(gè)為第一組，剩下3個(gè)為第二組，則基本事件總數(shù)為Ceq\o\al(2,5)＝10.又6和28恰好在第一組有1種情況，6,28和其他3個(gè)數(shù)中的1個(gè)在第二組有3種情況，所以所求概率為eq\f(1＋3,10)＝eq\f(2,5)，故選B.2．答案：C解析：由題意，根據(jù)給出計(jì)算方法：以徑乘周，四而一，即扇形的面積等于直徑乘以弧長(zhǎng)再除以4，再由扇形的弧長(zhǎng)公式，可得扇形的圓心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(30,8)＝eq\f(15,4)(弧度)，故選C.3．答案：D解析：因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x4,4x－1)，x＞0，,\f(x4,1－4x)，x＜0，))f(－x)＝eq\f(x4,|4－x－1|)＝eq\f(x4·4x,|4x－1|)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，所以f(x)沒(méi)有奇偶性，而A，B選項(xiàng)中的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除A，B；當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)＝eq\f(x4,1－4x)→＋∞，排除C，選D.4．答案：A解析：設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著為事件A，所以P(eq\x\to(A))＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，因此P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15)，故選A.5．答案：C解析：設(shè)這位公公的第n個(gè)兒子的年齡為an，由題可知{an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則d＝－3，又由S9＝207，即S9＝9a1＋eq\f(9＋8,2)×(－3)＝207，解得a1＝35，即這位公公的長(zhǎng)兒的年齡為35歲．故選C.6．答案：B解析：過(guò)球心O、點(diǎn)A以及晷針的軸截面如圖所示，其中CD為晷面，GF為晷針?biāo)谥本€，EF為點(diǎn)A處的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故選B.7．答案：B解析：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x＋y＝4的對(duì)稱點(diǎn)A′(a，b)，kAA′＝eq\f(b,a－2)，AA′的中點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)，\f(b,2)))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)＝1,\f(a＋2,2)＋\f(b,2)＝4))解得a＝4，b＝2，要使從點(diǎn)A到軍營(yíng)總路程最短，即為點(diǎn)A′到軍營(yíng)最短的距離，即為點(diǎn)A′和圓上的點(diǎn)連線的最小值，即為點(diǎn)A′和圓心的距離減半徑，“將軍飲馬”的最短總路程為eq\r(4＋16)－1＝2eq\r(5)－1，故選B.8．答案：A解析：以經(jīng)過(guò)A、B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－1,0)、B(1,0)，設(shè)P(x，y)，∵eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\r(2)，∴eq\f(\r(x＋12＋y2),\r(x－12＋y2))＝eq\r(2)，兩邊平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0?(x－3)2＋y2＝8，所以P點(diǎn)的軌跡是以(3,0)為圓心，2eq\r(2)為半徑的圓，則有|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)P為圓與x軸的交點(diǎn)(靠近原點(diǎn))時(shí)，此時(shí)，OP取最小值，且OP＝3－2eq\r(2)，因此，|PA|2＋|PB|2≥2×(3－2eq\r(2))2＋2＝36－24eq\r(2)，故選A.9．答案：D解析：由題意，把圓盤從起始柱全部移到目標(biāo)柱上最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為p(n)，則把起始柱上的(除最底下的)圓盤從起始柱移動(dòng)到輔助柱最少需要移動(dòng)的次數(shù)為p(n－1)，則有p(n)＝2p(n－1)＋1，所以p(n)＋1＝2[p(n－1)＋1]，又p(1)＝1，即{p(n)＋1}是以p(1)＋1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，p(n)＋1＝2n，所以p(n)＝2n－1，故p(4)＝24－1＝15，故選D.10．答案：A解析：因?yàn)閟inA︰sinB︰sinC＝(eq\r(2)＋1)︰eq\r(5)︰(eq\r(2)－1)，則由正弦定理得a︰b︰c＝(eq\r(2)＋1)︰eq\r(5)︰(eq\r(2)－1)．設(shè)a＝(eq\r(2)＋1)x，b＝eq\r(5)x，c＝(eq\r(2)－1)x，又周長(zhǎng)為4eq\r(2)＋2eq\r(5)，所以4eq\r(2)＋2eq\r(5)＝(eq\r(2)＋1)x＋eq\r(5)x＋(eq\r(2)－1)x，解得x＝2.所以S＝eq\r(\f(1,4)×\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(42×\r(2)－12×\r(2)＋12－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(22×\r(2)＋12＋22×\r(2)－12－20,2)))2)))＝eq\r(3).故選A.11．答案：B解析：如圖，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，H為垂足，易知BH＝1，CH＝3eq\r(7)，AC＝12.同理，在等腰梯形CDFE中，對(duì)角線DE＝6eq\r(2).過(guò)點(diǎn)C作CG∥DE交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，易知四邊形CDEG是平行四邊形，DE綉CG，連接AG，則異面直線AC與DE所成的角即直線AC與CG所成的角．過(guò)點(diǎn)A作AT⊥EF，交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，則易知AT＝4eq\r(2)，TG＝16，所以AG＝12eq\r(2).在△ACG中，AG＝12eq\r(2)，AC＝12，CG＝DE＝6eq\r(2)，由余弦定理得cos∠ACG＝eq\f(144＋72－288,2×12×6\r(2))＝－eq\f(\r(2),4).因?yàn)楫惷嬷本€所成的角在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))范圍內(nèi)，所以異面直線AC與DE所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4)，故選B.12．答案：ACD解析：甲付的稅錢最多、丙付的稅錢最少，可知A、D正確；乙、丙兩人付的稅錢占總稅錢的eq\f(53,109)＜eq\f(1,2)不超過(guò)甲?？芍狟錯(cuò)誤；乙應(yīng)出的稅錢為100×eq\f(350,560＋350＋180)≈32.可知C正確．故選ACD.13．答案：－eq\f(1,6)解析：由m2＋n＝4得n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，代入所求表達(dá)式，可得eq\f(1－2cos227°,3·2sin18°·2cos18°)＝eq\f(－cos54°,6sin36°)＝eq\f(－sin36°,6sin36°)＝－eq\f(1,6).14．答案：M－1解析：由“斐波那契”數(shù)列可知an＋2＝an＋an＋1＝an＋an－1＋an＝an＋an－1＋an－2＋an－1＝…＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1＋1.所以Sn＝an＋an－1＋…＋a1＝an＋2－1，所以S2018＝a2020－1＝M－1.15．答案：－80解析：結(jié)合楊輝三角并觀察下列各式及其展開(kāi)式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5，……由上可知，(1－2x)5展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)為10×(－2x)3＝－80x3，故x3的系數(shù)為－80.16．答案：8π解析：如圖，取AC的中點(diǎn)N，連接MN，則四棱錐M-B1C1CB的外接球即為三棱柱NBC-M1B1C1的外接球由“塹堵”的定義可知，A1B1⊥B1C1，又A1B1＝B1C1，所以B1M⊥MC1，故△B1MC1的外心為B1C1的中點(diǎn)E，同理可知△BNC的外心為BC的中點(diǎn)F.而球心則為EF的中點(diǎn)O，OB＝eq\r(BF2＋OF2)＝eq\r(2)，故球的表面積為4πR2＝8π.熱點(diǎn)(十四)新定義，新背景，新情境1．答案：B解析：當(dāng)x1＝1時(shí)，x2可以取1或2，則x1＋x2＝2或3；當(dāng)x1＝2時(shí)，x2可以取1或2，則x1＋x2＝3或4；當(dāng)x1＝3時(shí)，x2可以取1或2，則x1＋x2＝4或5.∴A*B＝{2,3,4,5}．故選B.2．答案：A解析：因?yàn)槎xa⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為正實(shí)數(shù))，1⊙k2<3，所以eq\r(k2)＋1＋k2<3，化為(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1<k<1.故選A.3．答案：B解析：設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，eq\f(Sn,S2n)＝k，因?yàn)閎1＝1，則n＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2)×2n2n－1d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝eq\f(1,4).所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1.故選B.4．答案：A解析：根據(jù)題意，若甲選擇仰泳，乙可以選擇蝶泳或自由泳，剩余兩人任意選擇剩下的兩種泳姿，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝2×2＝4種選法，若甲選擇自由泳，則乙只能選擇蝶泳，剩余兩人任意選擇剩下兩種泳姿，有Aeq\o\al(2,2)＝2種選法，因此一共有4＋2＝6種選法，故選A.5．答案：A解析：由題設(shè)知，f(x)＝sinxcoseq\f(π,3)－cosxsineq\f(π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，所以為了得到函數(shù)y＝sinx的圖象，只需要把函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上所有的點(diǎn)向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度．故選A.6．答案：D解析：通解易知v＝(1，eq\r(3))，u＋v＝(3，eq\r(3))，設(shè)向量u與u＋v的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\r(3),2)，所以sinθ＝eq\f(1,2)，又|u＋v|＝2eq\r(3)，|u|＝2，所以|u×(u＋v)|＝2×2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3).優(yōu)解設(shè)向量u與u＋v的夾角為θ，因?yàn)閡＋v＝(3，eq\r(3))，|u＋v|＝2eq\r(3)，|u|＝2，所以|u×(u＋v)|＝|u||u＋v|sinθ＝|u||u＋v|·eq\r(1－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(u·u＋v,|u||u＋v|)))2)＝eq\r(|u|2|u＋v|2－[u·u＋v]2)＝eq\r(4×12－36)＝2eq\r(3).故選D.7．答案：B解析：由題意得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n,\f(1,3n＋1))＝3n2＋n，易知an＝6n－2.于是，eq\f(36,an＋2an＋1＋2)＝eq\f(36,6n×6n＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(36,an＋2an＋1＋2)))的前2019項(xiàng)和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)－\f(1,2020)))＝1－eq\f(1,2020)＝eq\f(2019,2020).故選B.8．答案：C解析：由新運(yùn)算可知f(x)＝eq\r(3)cos2x－sin2x＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(5π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)y＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12)))＋\f(π,6)))的圖象，即y＝－2cos2x的圖象，顯然該函數(shù)為偶函數(shù)．經(jīng)檢驗(yàn)知選項(xiàng)A，B，D錯(cuò)誤，選C.9．答案：AB解析：由題意，得“H函數(shù)”的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．A中，y＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，其值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A是“H函數(shù)”；B中，函數(shù)y＝lnx＋ex的值域?yàn)镽，故B是“H函數(shù)”；C中，因?yàn)閥＝2x＞0，故C不是“H函數(shù)”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D不是“H函數(shù)”．綜上所述，A，B是“H函數(shù)”，故選AB.10．答案：CD解析：設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，對(duì)于A，y′＝1－3x2，所以兩條切線的斜率之和為2－3(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))，由于x1，x2不能同時(shí)為零，所以2－3(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＜2，不符合題意；對(duì)于B，y′＝1＋ex，所以兩條切線的斜率之和為2＋＋＞2，不符合題意；對(duì)于C，y′＝lnx＋1，所以兩條切線的斜率之和為2＋lnx1＋lnx2＝2＋ln(x1x2)，當(dāng)x1，x2互為倒數(shù)時(shí)，兩切線的斜率之和為2，符合題意；對(duì)于D，y′＝1－sinx，所以兩條切線的斜率之和為2－sinx1－sinx2，當(dāng)sinx1＋sinx2＝0，即x1＝2kπ－x2或x1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,2)))π＋x2(k∈Z)時(shí)，兩條切線的斜率之和為2，符合題意．綜上所述，故選CD.11．答案：BC解析：對(duì)于A，由題可知a·b＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4i2＋12i·j－8i·k＋2i·k＋6j·k－4k2＝4＋12cosθ－6cosθ＋6cosθ－4＝12cosθ.由于θ≠eq\f(π,2)，所以a·b≠0，故該命題不正確；對(duì)于B，由題可知a＝xi＋yj，b＝zk，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)x＋yz,\r(x2＋y2＋xy)·z)＝eq\f(1,2)eq\r(1＋\f(xy,x2＋y2＋xy))，由基本不等式可知當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，cos〈a，b〉取最大值，即兩向量夾角取得最小值，故該命題正確；對(duì)于C，由題可知a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故該命題正確；對(duì)于D，由題可知三棱錐O-ABC是棱長(zhǎng)為1的正四面體，其表面積S＝4×eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故該命題不正確．綜上，故選BC.12．答案：AC解析：對(duì)于選項(xiàng)A，若n＝1，則p1＝1，log21＝0，∴H(X)＝－p1log2p1＝－log21＝0，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)p1＝eq\f(1,4)時(shí)，H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)log2\f(1,4)＋\f(3,4)log2\f(3,4)))，當(dāng)p1＝eq\f(3,4)時(shí)，H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)log2\f(3,4)＋\f(1,4)log2\f(1,4)))，由此可得，當(dāng)p1＝eq\f(1,4)與p1＝eq\f(3,4)時(shí)，信息熵相等，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，若pi＝eq\f(1,n)，則H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al