人教版九年級數(shù)學(xué)下冊-第28章-銳角三角函數(shù)-單元檢測試卷（解析版）

【期末專題復(fù)習(xí)】人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第28章銳角三角函數(shù)單元檢

測試卷

一、選擇題（本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分，）

1.ABC中，tanB=cot（90-C）=43,則48。是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

本題可根據(jù)tan6（）o=G，cot3（r=G，得出NB、/C的值.再判斷三角形的形狀.

【詳解】解：由題意得:ZB=60°,90°-ZC=30°,即NC=60°,

.\ZA=ZB=ZC=60°.

/.△ABC為等邊三角形.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵是熟記特殊角三角函數(shù)值，在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以

選擇題、填空題為主.

2.水庫堤壩的橫斷面是梯形（如圖）.測得斜坡A8長為60米，斜坡A8的坡比為1:2,則此堤壩橫斷面

的高為（）

A.30米B.30后米C.12百米D.24指米

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)坡比為1:2,設(shè)BE=x米，AE=2x米，在RSABE中，利用勾股求出x的值即可.

【詳解】

解：過點(diǎn)B作BEJ_AC于點(diǎn)E.

?.?坡比為1：2,

.,.設(shè)BE=x米，AE=2x米，

,斜坡AB長為60米,

/.x2+（2x）2=602,

：.x=12下.

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度、坡角問題，解題關(guān)鍵是熟悉坡度、坡角的定義及勾股定理.

3.已知sina<cosa,那么銳角a的取值范圍是（）

A.30<?<45B.0<?<45C.45<?<60D.0<?<90

【答案】B

【解析】

【分析】

銳角三角函數(shù)的增減性，首先根據(jù)正余弦的轉(zhuǎn)換方法，得：cosa=sin（90°-a）,又sina<costz,即

sintz<sin（90-a）,進(jìn)行分析.

【詳解】解：在AABC中，ZC=90°,

VsinA<cosA,即sine<sin（90°—a）

a<90°-a

的度數(shù)范圍是0<a<45

故答案為45。<。<90。.

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的增減性，解題關(guān)鍵是當(dāng)角度在0°?90°間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的

增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?，

4.在離鐵塔底部6米的地面A處測得鐵塔塔頂?shù)难鼋菫閍,那么鐵塔的高為（)

A.m-sin<zB.m-cosaC.m-tanaD.m-cottz

【答案】c

【解析】

【分析】

先畫出示意圖，構(gòu)造直角三角形，解三角形即可表示出鐵塔的高.

【詳解】解：如圖所示:

AmC

由題意得，NA=a,AC=m,ZACB=90°,

BC=ACtanZA=ACtanCt=mtanCc.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的知識(shí)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，要求同學(xué)們熟練掌握銳角三角函數(shù)

的定義.

4

5.ABC中，NC=90，sinA=-,則tanA的值是（）

4334

A.-B.-C.-D.一

3455

【答案】A

【解析】

【分析】

BC4

根據(jù)正弦的定義得到sinA=F=-，則可設(shè)BC=4x,AB=5x,根據(jù)勾股定理計(jì)算易計(jì)算AC,然后根據(jù)

AB5

正切的定義即可得到tanA的值.

B

【詳解】解：如圖，\

4

5

.,.設(shè)BC=4x,AB=5x,

???AC='（5x）2-（4x『=3*,

.,BC4x4

..tanA==—=—.

AC3x3

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是是熟練掌握三角函數(shù)的定義、性質(zhì).

6.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東50方向，距離燈塔P為10海里的點(diǎn)A處，如果海輪沿正南方向航

行到燈塔的正東方向B處，那么海輪航行的距離AB的長是（）

北A

A

A?」」

?…比:..........

P\B

A.10海里B.10sin50海里C.10cos5（）海里D.10tan50海里

【答案】C

【解析】

【分析】

首先由方向角的定義及已知條件得出NNPA=50。，AP=10海里，ZABP=90°,再由AB〃NP,根據(jù)平行線的

性質(zhì)得出NA=NNPA=50。.然后解Rt/kABP,得出AB=APcosZA=10cos50°海里.

北A

N0

【詳解】50”

P\B

解：如圖，由題意可知/NPA=50。，AP=10海里，ZABP=90°.

：AB〃NP,

.\ZA=ZNPA=50°.

在RSABP中,VZABP=90°,ZA=50°,AP=10海里,

AB=AP?cosZA=10cos500海里.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵正確理解

方向角的定義.

7.如圖，梯子跟地面的夾角為NA,關(guān)于NA的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間，敘述正確的是（）

A.sinA的值越小，梯子越陡B.cosA的值越小，梯子越陡

C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡緩程度與NA的函數(shù)值無關(guān)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性即可得到答案.

【詳解】siM的值越小，N4越小，梯子越平緩；

cosA的值越小，/A就越大，梯子越陡；

tanA的值越小，越小，梯子越平緩，所以B正確.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性：對于正弦和正切函數(shù)，函數(shù)值隨角度的增大而增大；對于余

弦函數(shù)，函數(shù)值隨角度的增大而減小.

8.一束陽光射在窗子上，此時(shí)光與水平線夾角為30，若窗高AB=1.8米，要想將光線全部遮擋住,

不能射到窗子AB上，則擋板AC（垂直于AB）的長最少應(yīng)為（）

A.1.86米B.0.6方米C,3.6米D.1.8米

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)已知作出輔助線，再利用7K=tan30°得出AC的長即可.

AC

【詳解】"

LC解：如圖所示：設(shè)光線為CB,作DBLAB于點(diǎn)B,

B

:光與水平線夾角為30。,

ZCBD=30°,

■:AC〃BD,

/.ZACB=30°,

???AB=1.8米，

AB

-----=tan30°，

AC

1.8「

==L86=空

to/?30°-5

3

故選A.

A.D

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出——=tan30。.

AC

9.在RfABC中，ZC=90，若AC=2BC,則siM的值是（）

I

A.-B.2C.D

25T

【答案】C

【解析】

【分析】

銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)正弦的定義sinA二筆餐

解答.

乙4的對邊_8C=立

【詳解】解：根據(jù)題意，AB=y1AC2+BC1=VsBC,sinA=

斜邊一茄一工一

故選C.

NA的對邊

【點(diǎn)睛】根據(jù)正弦的定義sinA=解答，解題關(guān)鍵是熟練掌握定義.

斜邊

10.一段攔水壩橫斷面如圖所示，迎水坡A8的坡度為i=l：6,壩高BC=6根，則坡面AB的長度（)

A.12〃?B.18/77C.673D.12百

【答案】A

【解析】

???迎水坡AB的坡度為i=l：G，壩高8c=6/〃，

BC161

即解得AC=6G

??就一萬花一耳,

，，AB=VAC2+BC2=J<6V3）2+62=12W.

故選A.

二、填空題（本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分，）

2

11.如圖，若sina=w，則cos/7=.

【答案】I

【解析】

【分析】

根據(jù)兩個(gè)角的和等于90。，可得這兩個(gè)角互余，根據(jù)一個(gè)角的余弦等于它余角的正弦，可得答案.

【詳解】解：由a+p=90。，得a、8互為余角，

由一個(gè)角的余弦等于它余角的正弦，得

故答案為二.

【點(diǎn)睛】本題考查互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是利用了一個(gè)角的余弦等于它余角的正弦.

12.小麗在大樓窗口A測得校園內(nèi)旗桿底部。的俯角為a度，窗口離地面高度A=〃（米），那么旗桿底部

與大樓的距離BC=米（用a的三角比和//的式子表示）

\□

【答案】

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得，NACB=a,AB=h,然后利用三角函數(shù)求出BC的長度.

【詳解】在Rt/kABC中，

VZACB=a,AB=h,

ABh

???BC=

tanatana

故答案為——

tana

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的

知識(shí)求解.

13.在一次夏令營活動(dòng)中，小亮從位于A點(diǎn)的營地出發(fā)，沿北偏東6()方向走了5切z到達(dá)3地，然后再沿

北偏西30方向走了若干千米到達(dá)。地，測得A地在。地南偏西30方向，則A、C兩地的距離為一

北

【答案】

3

【解析】

【分析】

根據(jù)已知作圖，由已知可得到^ABC是直角三角形，從而根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC的長.

北

由題意可知，AB=5km,Z2=30°,ZEAB=60°,Z3=30°,

：EF〃PQ,

.?./l=NEAB=60°,

又：N2=30°,

ZABC=180°-Zl-Z2=l80o-60°-30o=90°,

.'.△ABC是直角三角形,

又?.?MN〃PQ,

???Z4=Z2=30°,

ZACB=Z4+Z3=30°+30°=60°,

5廣

.AB—10V3.

..AC=---------------=A/3---------km.

sin/ACB—3

2

故答案為生叵km.

3

【點(diǎn)睛】本題是方向角問題在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形利用解直角三

角形的相關(guān)知識(shí)解答.

14.如圖，長為4米的梯子搭在墻上與地面成55角，則此時(shí)梯子的頂端距離地面約米.（精確到

0.01米）

【答案】3.28

【解析】

【分析】

在地面、梯子以及墻三者形成的直角三角形中，已知一個(gè)銳角和斜邊，求對邊，依據(jù)正弦函數(shù)即可求解.

【詳解】

解:

在直角aABC中，NABC=55。,

...AC

?sin/ABC=----,

AB

AC=AB?sinZABC=4xsin55°~3.28（米）.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的定義，解關(guān)鍵是把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題.

15.某人沿一斜坡走了5米，升高了2.5米，則此斜坡的坡度為

【答案】3

3

【解析】

【分析】

坡度=坡角的正切值.

【詳解】解：設(shè)坡角為a.

由題可知:sina=2.5：5=1：2>

.,.a=30°.

，坡度=tan30°=走.

3

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解題關(guān)鍵是注意坡度是坡角的正切函數(shù).

16.如圖，網(wǎng)格中的每一個(gè)正方形的邊長都是1,ABC的每一個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的交點(diǎn)處，則sinA=

【分析】

過B作BD垂直于AC,利用面積法求出BD的長，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出sinA

的值即可.

[A-??

【詳解】;「

a

解：過點(diǎn)B作BDJ_AC,

：AB=JI2+22=6,BC=3,AC=j22+42=2亞,

=

SAABC~x3x2=—x2xBD,

解得：BD=2^,

5

BD至3

在R3ABD中，sinA=---=5=—,

AB5

V5

3

故答案為j

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及三角形面積公式，解題關(guān)鍵是牢記銳角三角函數(shù)定

義.

17.一個(gè)人由山腳爬到山頂，須先爬傾斜角為30度的山坡300米到達(dá)D,再爬傾斜角為60度的山坡200米,

這座山的高度為.(結(jié)果保留根號)

【答案】(150+100若)

【解析】

【分析】

在RTAADF中，利用30°角和AD，求出DF即CE；在RTABDE中，利用60°角和BD，求出BE；最后求CE和BE

和即可.

【詳解】

解：過D作DFLAC.

在RSADF中，易得:CE=DF=ADxsin30°=150米,

在RtZkBDE中，易得:BE=BDxsin600=100V3米,

故山高BC=CE+BE=(150+10073)米.

故答案為(150+10073).

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解題關(guān)鍵是借助俯角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并

結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

18.如圖所示，從一塊矩形薄板A5CO上裁下一個(gè)工件GEE-CPO(陰影部分)，圖中EF//8C,

GH//AB,ZAEG=1U8'.NPb=3342'，AG=2cm,FC=6cm,則工件GE”-CPO的面積

]2

為cm2.(參考數(shù)據(jù)：tanll18'?-,tan3242'?-)

53

【答案】48

【解析】

【分析】

GH把這一工件分成了四個(gè)直角三角形，即4GEP、、△GDP、AEPH.ACPH，且

△GEP^AGAP,AGDP^AFPD,△EPH絲ZXEBH,ACPH^ACPF,所以工件面積正好等于矩形面積的

一半.

【詳解】解：在RtAAEG中，由于tan/AEG=AG：AE,

AG22

/.AE=---------------=---------------~-----=10,

tanZAEG相〃11°18'0.2

PF

在中，

RtAPCFtanNPCF=~FC

2

PF=FC,tanZPCF=6xtan33°42-6x—=4,

3

AB=AE+EB=AE+EC=10+6=16,

BC=AG+PF=2+4=6,

?'?Sa；?ABCD=AB?BC=16X6=96(cm2),

由矩形的性質(zhì)知，矩形的對角線把矩形分成兩個(gè)全等的三角形，

.?.△GEP絲ZXGAP,AGDP^AFPD,AEPH^AEBH,ACPH^ACPF,

112

?I-ST.件=-SigjgABCD=_x96=48(cm-).

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，把實(shí)際問題抽象到直角三角形

中，利用三角函數(shù)進(jìn)行解答.

19.在離某建筑物底部30米處的地方，用測角儀測得該建筑物頂部的仰角為30，已知測角儀的高為1.5米,

那么該建筑物的高為米(計(jì)算結(jié)果保留根號).

【答案】1.5+1073

【解析】

分析】

把所求的線段構(gòu)造為矩形的一邊和直角三角形的一邊的形式，利用相應(yīng)的三角函數(shù)求解.

【詳解】解：1.5+30xtan30°=1.5+30x

【點(diǎn)睛】本題考查借助俯角構(gòu)造直角三角形，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

20.如圖，航拍無人機(jī)從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30。，測得底部C的俯角為60。，此時(shí)航拍

無人機(jī)與該建筑物的水平距離AO為90米，那么該建筑物的高度約為米.(精確到1米，參

考數(shù)據(jù)：73=1.73)

【解析】

【分析】

【詳解】試題解析：由題意可得：tan3()o=變BD走,

AD90T'

解得：BD=3()6,

同理，DC=9()6

故該建筑物的高度為：BC=BD+DC=\20y/3.

三、解答題(本題共計(jì)8小題，共計(jì)60分,)

21.計(jì)算：一竺&——+tan60.

tan30-cos60

【答案】26

【解析】

【分析】

將特殊角三角函數(shù)值計(jì)算后，根據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算即可.

昌

【詳解】原式—+V3

V31

------X—

32

1

=Vs+G

26

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是清楚特殊角三角函數(shù)值.

22.如圖，在△力比'中，NACB=9Q°,AC=4,8C=3,點(diǎn)〃在邊比1上，皮=56?,DELAB,垂足為我

(1)求緲的長；

(2)求N6位的正切值.

34

【答案】(1)一；(2)-

27

【解析】

(1)根據(jù)8。及/碉J余弦即可求出BE的長；(2)過點(diǎn)E作EFVBC,垂足為

F,構(gòu)造直角三角形BEF,根據(jù)N6的正弦和余弦可求出EF和BF,進(jìn)而求出CF,即可得出NBCE的正切值.

解：(1)VZACB=90°,AC=4,BC=3

AB=VAC2+BC2=+32=5

BEBC3

DE^_AB,cosBn=---=----——

BDAB5

?:BD=5CD,BD+CD=BC=3,：.BD=-

33

BE=-BD=-

52

(2)過點(diǎn)E作E尸J_BC,垂足為尸

3946

ABF=-BE=—,EF=-BE=-

51055

23.如圖所示，在一次夏令營活動(dòng)中，小明從營地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60。方向走了到達(dá)500gmB點(diǎn)，然

后再沿北偏西30。方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn).

(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離.

(2)確定目的地C在營地A的什么方向.

【答案】(1)1000m；(2)北偏東30。方向上.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)BE〃AD,得出ZDAB=ZABE=60°,再根據(jù)平角的定義得出3(T+/CBA+/ABE=180。,求出ZCBA

的度數(shù)，判斷出AABC是直角三角形，最后根據(jù)勾股定理求出AC的值即可；

(2)根據(jù)AC=1000,BC=500,求出NCAB=30。即可.

【詳解】解：(1)：BE〃AD,

ZDAB=ZABE=60°,

，/30。+NCBA+NABE=180°,

ZCBA=90°,

/.AABC直角三角形，

VBC-500,AB=500V3m-

.\AC2=BC2+AB2,

???AC=7(50073)2+5002=1000m.

(2)：BC=500,AC=10()0,ZABC=90°,

；.AC=2BC,ZCAB=30°,

ZDAC=ZDAB-ZCAB=60°-30°=30°,

即目的地C在營地A的北偏東30。方向上.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，先確定是直角三角形后，根據(jù)各邊長，用勾股定理可求出AC的長，且

求出/DAC的度數(shù)，進(jìn)而可求出點(diǎn)C在點(diǎn)A的什么方向上.

24.如圖是春運(yùn)期間的一個(gè)回家場景.一種拉桿式旅行箱的示意圖如圖所示，箱體長AB=50cm,拉桿最大

伸長距離BC=30cm,點(diǎn)A到地面的距離AD=8cm,旅行箱與水平面AE成60。角，求拉桿把手處C到地面

的距離(精確到1cm).(參考數(shù)據(jù)：6y1.732)

【答案】77

【解析】

試題分析：作CG1AE于點(diǎn)G.在直角AACG中利用三角函數(shù)即可求得CG的長，再加上AD的長度即可求

解.

在直角&ACG中，AC=AB+BC=50+30=80cm.

sinzCAG=-----,

AG

.-.CG=AC?sinzCAG=80x=4073=69.2(cm).

則拉桿把手處C到地面的距離是:69.2+8=77.2=77cm.

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.

25.在東西方向的海岸線上有一長為1km的碼頭MN（如圖），在碼頭西端M的正西19.5km處有一觀察站

A.某時(shí)刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于A的北偏西30。，且與A相距40km的8處；經(jīng)過lh20min,

又測得該輪船位于A的北偏東60°,且與A相距83km的。處.

（1）求該輪船航行的速度.

（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請說明理由.

【答案】（1）12gkm/h；（2）輪船不改變航向繼續(xù)航行，正好能行至碼頭靠岸.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)N84C=90。，由勾股定理可求出BC的長度，航速=路程/時(shí)間即可；

（2）作8DJJ,CE11,垂足分別為。、E,設(shè)直線交/于點(diǎn)F,根據(jù)已知條件和構(gòu)造的直角三角

形,求出BD、CE、AE的長度，再根據(jù)ABDFskCEF,分別求出EF、AF的長，最后根據(jù)AM<AF<AN,

得出輪船不改變航向繼續(xù)航行，正好能行至碼頭MN靠岸.

【詳解】（1）由題意，得NB4C=90°,ABC=^402+（8V3）2=16A/7.

輪船航行的速度為16^7--=12J7km/h.

3

（2）能.作CEA.I,垂足分別為￡?、E,設(shè)直線5c交/于點(diǎn)

B北

/I________斗，i、'』東

5A]EMN

則3。=436由/^4￡>=20>/§，CE=AC-sinZCAE=4A/3.AE=ACcosZCAE=12.

?：BD11,CEVI,：.ZBDF=ZCEF=90°.

又ZBFD=ZCFE,/.ABDFs\CEF.

.DF_BD.EF+322073

??=.??------------=------.

EFCEEF4相

EF=8.AAF=AE+EF=20.

VA"<AE<AN,.?.輪船不改變航向繼續(xù)航行，正好能行至碼頭MN靠岸.

【點(diǎn)睛】本題屬于實(shí)際應(yīng)用題，需要注意的是，最后的結(jié)論，要根據(jù)AM<AF<AN,得出輪船不改變航

向繼續(xù)航行，正好能行至碼頭MN靠岸.

26.一艘小船從碼頭A出發(fā)沿北偏東54方向航行，航行一段時(shí)間到達(dá)航標(biāo)B處，后又沿著北偏西21方向

航行了10海里到達(dá)。處，這時(shí)從碼頭A測得小船在碼頭A北偏東24的方向上，求此時(shí)小船與碼頭A之間

的距離（結(jié)果用根號表示）.

【答案】此時(shí)小船與碼頭A之間距離是5#+5夜海里.

【解析】

【分析】

先過點(diǎn)B作BDJ_AC,垂足為D,根據(jù)題意求出，NBAC=30。，ZC=45%BC=10海里，再分別求出BD,CD

的長，最后求出AD的長，即可得出答案.

解：過點(diǎn)B作BDLAC,垂足為D,

VZC=24°+21°=45°,

ABD=CD,

VBC=10,

JCD=BD=BC*cos45°=1Ox

ZBAC=54-24°=30°,

5V2

BD

AAD==5瓜

tan30

AC=AD+CD=576+572（海里），

答：此時(shí)小船與碼頭A之間的距離是5指+5及海里.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是方向角、