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數(shù)學(xué)活動(dòng)—矩形對(duì)角線穿過(guò)的小正方形數(shù)王店中學(xué)丁保付2017.11.5國(guó)際數(shù)學(xué)大師陳省身先生問(wèn)題:
在由m×n(m×n>1)個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格中,研究它的一條對(duì)角線所穿過(guò)(至少要經(jīng)過(guò)小正方形內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn))的小正方形個(gè)數(shù)
f
與m、n之間的關(guān)系.nm(1)當(dāng)m、n互質(zhì)(m、n除1外無(wú)其他公因數(shù))時(shí),觀察下列圖22-26并完成下表mnm+nF12321343235425734766(2)猜想:當(dāng)m、n互質(zhì)時(shí),在m×n的矩形網(wǎng)格中,一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的個(gè)數(shù)f與m、n的關(guān)系式是
(不需要證明);請(qǐng)?jiān)佼?huà)出幾個(gè)與上面不同的圖形,驗(yàn)證你猜想的關(guān)系式是否成立。(3)如果你猜想的關(guān)系式對(duì)一般情況都是適合的,請(qǐng)證明它的正確性;如果你能找到反例說(shuō)明你猜想的關(guān)系式不成立,請(qǐng)修改你的猜想,再進(jìn)行證明(如果你在證明時(shí)有困難,可先觀察一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f與該對(duì)角線被縱、橫網(wǎng)格線分成的線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系).f=m+n-1(4)當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí),請(qǐng)畫(huà)圖驗(yàn)證你猜想的關(guān)系式是否依然成立解答:當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí),上述結(jié)論不成立,如圖2×4(5)畫(huà)出2×4和3×6的矩形網(wǎng)格,分別觀察它們的一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù),并與1×2的矩形網(wǎng)格中它的一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)進(jìn)行比較,將2×4和3×6的情況轉(zhuǎn)化為1×2的情況,求出f的值。(6)當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí),
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