高中數(shù)學《點到直線距離》說課稿

第高中數(shù)學《點到直線距離》說課稿高中數(shù)學《點到直線距離》說課稿1

1、教材分析

1—1教學內(nèi)容及包含的知識點

（1）本課內(nèi)容是高中數(shù)學第二冊第七章第三節(jié)《兩條直線的位置關系》的最后一個內(nèi)容

（2）包含知識點：點到直線的距離公式和兩平行線的距離公式

1—2教材所處地位、作用和前后聯(lián)系

本節(jié)課是兩條直線位置關系的最后一個內(nèi)容，在此之前，有對兩線位置關系的定性刻畫：平行、垂直，以及對相交兩線的定量刻畫：夾角、交點。在此之后，有圓錐曲線方程，因而本節(jié)既是對前面兩線垂直、兩線交點的復習，又是為后面計算點線距離（在直線和圓錐曲線構成的組合圖形中）提供一套工具。

可見，本課有承前啟后的作用。

1—3教學大綱要求

掌握點到直線的距離公式

1—4高考大綱要求及在高考中的顯示形式

掌握點到直線的距離公式。在近年的高考中，通常以直線和圓錐曲線構成的組合圖形為背景，判斷直線和圓錐曲線的位置或構成三角形求高，涉及絕對值，直線垂直，最小值等。

1—5教學目標及確定依據(jù)

教學目標

（1）掌握點到直線的距離的概念、公式及公式的推導過程，能用公式來求點線距離和線線距離。

（2）培養(yǎng)學生探究性思維方法和由特殊到一般的研究能力。

（3）認識事物之間相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的辯證法思想，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化知識的能力。

（4）滲透人文精神，既注重學生的智慧獲得，又注重學生的情感發(fā)展。

確定依據(jù)：

中華人民共和國教育部制定的《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱》（____年4月第一版），《基礎教育課程改革綱要（試行）》，《高考考試說明》（____年）

1—6教學重點、難點、關鍵

（1）重點：點到直線的距離公式

確定依據(jù)：由本節(jié)在教材中的地位確定

（2）難點：點到直線的距離公式的推導

確定依據(jù)：根據(jù)定義進行推導，思路自然，但運算繁瑣；用等積法推導，運算較簡單，但思路不自然，學生易被動，主體性得不到體現(xiàn)。

分析“嘗試性題組”解題思路可突破難點

（3）關鍵：實現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化。一是將點線距離轉(zhuǎn)化為定點到垂足的距離；二是利用等積法將其轉(zhuǎn)化為直角三角形中三頂點的距離。

2、教法

2—1發(fā)現(xiàn)法：本節(jié)課為了培養(yǎng)學生探究性思維目標，在教學過程中，使老師的主導性和學生的主體性有機結合，使學生能夠愉快地自覺學習，通過學生自己練習“嘗試性題組”，引導、啟發(fā)學生分析、發(fā)現(xiàn)、比較、論證等，從而形成完整的數(shù)學模型。

確定依據(jù)：

（1）美國教育學家波利亞的教與學三原則：主動學習原則，最佳動機原則，階段漸進性原則。

（2）事物之間相互聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)化的辯證法思想。

2—2教具：多媒體和黑板等傳統(tǒng)教具

3、學法

3—1發(fā)現(xiàn)法：豐富學生的數(shù)學活動，學生經(jīng)過練習、觀察、分析、探索等步驟，自己發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，比較論證后得到一般性結論，形成完整的數(shù)學模型，再運用所得理論和方法去解決問題。

一句話：還課堂以生命力，還學生以活力。

3—2學情：

（1）知識能力狀況，本節(jié)為兩線位置關系的最后一個內(nèi)容，在這之前學生已經(jīng)系統(tǒng)的學習了直線方程的各種形式，有對兩線位置關系的定性認識和對兩線相交的定量認識，為本節(jié)推證公式涉及到直線方程、兩線垂直、兩線交點作好了知識儲備。同時學生對解析幾何的實質(zhì)中，用坐標系溝通直線與方程的.研究辦法，有了初步認識，數(shù)形結合的思想正逐漸趨于成熟。

（2）心理特點：又見“點到直線的距離”（初中已學習定義），學生既熟悉又陌生，既困惑又好奇，探詢動機由此而生。

（3）生活經(jīng)驗：數(shù)學源于生活，生活中的點線距隨處可見，怎樣將實際問題數(shù)學化，是每個追求成長、追求發(fā)展的學生所渴求的一種研究能力。豐富的課堂數(shù)學活動能夠讓他們真正參與，體驗過程，錘煉意志，培養(yǎng)能力。

3—3學具：直尺、三角板

4、教學程序

教學環(huán)節(jié)教學過程設計意圖

創(chuàng)設情景（三分鐘）喚醒舊知師：“距離產(chǎn)生美”。昨天我與__同學相隔遙遠，彼此毫無感覺，今天的零距離蕩漾著親切，卻少了想象的空間，看來把握恰當?shù)木嚯x才能感知美好。

（1）你有什么辦法能得到我（A點）和__同學（B點）之間的距離？

生：思考，回答。

（2）“形缺數(shù)時難入微”。（1）中的各種辦法中哪個較好？還有沒有更好的辦法。

生：比較，回答。

教學機智：針對學生的回答，老師進行引導。老師進行鋪墊、遞進，或深入、拓展。

師：由此看來，兩點間距離公式成為解決該問題的首選。讓我們一鼓作氣，繼續(xù)努力。提問一：還原學生的數(shù)學現(xiàn)實，誘發(fā)動機，樂于參與。

提問二：既可點燃數(shù)形結合的思想，又可喚醒兩點間距離公式。

根據(jù)認識發(fā)展理論，學生認知結構的發(fā)展是在其認識的過程中伴隨同化和順應的認知結構不斷再建構的過程，達到以舊悟新的目的。（1）（2）兩問的解決為后繼知識作好了鋪墊。

提出問題師：“點動成線”。當點B運動形成一直線

時，此時又怎樣求點A到直線

的距離呢？

生：定性回答點明課題，使學生明確學習目標。

創(chuàng)設“不憤不啟，不悱不發(fā)”的學習情景。

教學環(huán)節(jié)教學過程設計意圖

探究問題（十二分鐘）

練習

比較

發(fā)現(xiàn)

歸納

討論

驗證多媒體，出示材料

生：練習：“嘗試性題組”

A到

的距離為d

（1）A（2，4），：_=3，d=_____

（2）A（2，4），：y=3，d=_____

（3）A（2，4），：_–y=0，d=_____嘗試性題組告訴學生下手不難，還負責特例檢驗，從而增強學生參與的信心。

請三個同學上黑板板演

師：請這三位同學分別說說自己的解題思路。

生：回答

教學機智：應沉淀為三種思路：一，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為定點到垂足的距離；二，利用等積法轉(zhuǎn)化為直角三角形中三個頂點之間的距離；三，利用直角三角形中的邊角關系。

視回答的情況，老師進行肯定、修正或補充提問：“還有其他不同的思路嗎”。說解題思路，一是讓學生清晰有條理的表達自己的思考過程，二是其求解過程提示了證明的途徑（根據(jù)定義或畫坐標線時正好交出一個直角三角形）

師：很好，剛才我們解決了定點到特殊直線的距離問題，那么，點P（_0，y0）到一般直線

：A_ByC=0（A，B≠0）的距離又怎樣求？

教學機智：如學生反應不大，則補充提問：上面三個題的解題思路對這個問題有啟示嗎？

生：方案一：根據(jù)定義

方案二：根據(jù)等積法

方案三：設置此問，一是使學生的認知由特殊向一般轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)可能的方法，二是讓學生體驗數(shù)學活動充滿著探索和創(chuàng)造，感受數(shù)學的生機和樂趣。

師生一起進行比較，鎖定方案二進行推證?！皫熒沧鳌斌w現(xiàn)新型師生觀

教學環(huán)節(jié)教學過程設計意圖

問題解決

（十分鐘）由學生推證點到直線的距離公式培養(yǎng)學生嚴謹，周密的邏輯推理能力，得到一般性結論，形成完整的數(shù)學模型，感受數(shù)學的嚴謹性和數(shù)學結論的確定性，形成科學的態(tài)度。

在推證的過程中，通過克服困難的經(jīng)歷，以及獲得成功的體驗，鍛煉意志，增強信心。

問題延伸

（八分鐘）師：當點A也運動形成直線

'，且

'//

時，又怎樣求這兩線的距離？

生：計算得線線距離公式

師：板書點到直線的距離公式，兩平行線間距離公式“沒有新知識，新知識均是舊知識的組合”，創(chuàng)設此問可發(fā)揮學生的創(chuàng)造性，增加學生的成就感。

反思小結

經(jīng)驗共享

（六分鐘）師：通過以上的學習，你有哪些收獲？（知識，能力，情感）。有哪些疑問？誰能答這些疑問？

生：討論，回答對本節(jié)課用到的技能，數(shù)學思維方法等進行小結，使學生對本節(jié)知識有一個整體的認識

共同進步，各取所長

練習

（五分鐘）P53練習1，2，3熟練的用公式來求點線距離和線線距離。

再度延伸

（一分鐘）探索其他推導方法“帶著問題進課堂，帶著更多的問題出課堂”，讓學生真正學會學習。

5、教學評價

學生完成反思性學習報告，書寫要求：

（1）整理知識結構

（2）總結所學到的基本知識，技能和數(shù)學思想方法

（3）總結在學習過程中的經(jīng)驗，發(fā)明發(fā)現(xiàn)，學習障礙等，說明產(chǎn)生障礙的原因

（4）談談你對老師教法的建議和要求。

作用：

（1）通過反思使學生對所學知識系統(tǒng)化。反思的過程實際上是學生思維內(nèi)化，知識深化和認知牢固化的一個心理活動過程。

（2）報告的寫作本身就是一種創(chuàng)造性活動。

（3）及時了解學生學習過程中的知識缺陷，思維障礙，有利于教師了解學生對自己的教法的滿意度和效果，以便作出及時調(diào)整，及時進行補償性教學。

6、板書設計

（略）

7、教學的反思總結

心理歷練，得意之處，困惑之處，知識的傳承發(fā)展，如何修正完善等。高中數(shù)學《點到直線距離》說課稿2

教學目標：

（1）至少掌握點到直線的距離公式的一種推導方法，能用公式來求點到直線距離。

（2）培養(yǎng)學生探究能力和由特殊到一般的研究問題的能力。

（3）認識事物（知識）之間相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的辯證法思想，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化的思想和綜合應用知識分析問題解決問題的能力。

（4）培養(yǎng)學生團隊合作精神，培養(yǎng)學生個性品質(zhì)，培養(yǎng)學生勇于探究的科學精神。

教學重點：點到直線的距離公式推導及公式的應用

教學難點：點到直線的距離公式的推導

教學方法：啟發(fā)引導法、討論法

學習方法：任務驅(qū)動下的研究性學習

教學時間：45分鐘

教學過程：

1、教師提出問題，引發(fā)認知沖突（約5分鐘）

問題：假定在直角坐標系上，已知一個定點P（_0，y0）和一條定直線l：A_ByC=0，那么如何求點P到直線l的距離d？請學生思考并回答。

學生1：先過點P作直線l的垂線，垂足為Q，則|PQ|就是點P到直線l的距離d；然后用點斜式寫出垂線方程，并與原直線方程聯(lián)立方程組，此方程組的解就是點Q的坐標；最后利用兩點間距離公式求出|PQ|。

接著，教師用投影出示下列5道題（嘗試性題組），請5位學生上黑板練習（第（4）題請一位運算能力強的同學，其余學生在下面自己練習，每做完一題立即講評）：

（1）求P（1，2）到直線l：_=3的距離d；（答案：d=2）

（2）求P（_0，y0）到直線l：ByC=0（B≠0）的距離d；（答案：）

（3）求P（_0，y0）到直線l：A_C=0（A≠0）的距離d；（答案：）

（4）求P（6，7）到直線l：3_—4y5=0的距離d；（答案：d=1）

（5）求P（_0，y0）到直線l：A_ByC=0（AB≠0）的距離d。

第（1）容易、（2）和（3）題雖然含有字母參數(shù)，但由于直線的位置比較特殊，學生不難得出正確結論；第（4）題雖然運算量較大，但按照剛才學生1回答的方法與步驟，也能順利解出正確答案；第（5）題雖然思路清晰，但由于字母參數(shù)過多、運算量太大行不通。學生們陷入了困境。

2、教師啟發(fā)引導，學生走出困境（約8分鐘）

教師：根據(jù)以上5位學生的運算結果，你能得到什么啟示？

學生2：當直線的位置比較特殊（水平或豎直）時，點到直線的距離容易求得，而當直線是傾斜位置時則較難；含有多個字母時雖然想起來思路很自然，但具體操作起來因計算量很大而無法得出結果。

教師：那么，練習（5）有沒有運算量小一點的推導方法呢？我們能不能根據(jù)剛才的第（2）、（3）的啟示，借助水平、豎直情形和平面幾何知識來解決傾斜即一般情況呢？請同學們思考。

學生3：能！如圖1，過點P作_、y軸的垂線分別交直線l于S、R，則由三角形面積公式可得

|PQ|=（|PR|·|PS|）/|RS|

教師：|PR|怎么求？|PS|又怎么求？

學生3：設R（_1，y0），則由A_1By0C=0，

得_1=—（By0C）／A，

∴|PR|=|_0—_1|=|A_0By0C|／|A|；

同理：|PS|=|A_0By0C|／|B|。

教師：|RS|怎么求？

學生3：|RS|==（/|AB|）·|A_0By0C|。

教師：|PQ|結果是什么？

學生3：|PQ|=。

教師：公式的這種推導方法是否需要作補充說明？

學生4：當A=0或B=0時，ΔPRS不存在，故應說明公式當A=0或B=0時是否適用？

由（2）、（3）檢驗可知公式依然成立，即公式對任意直線都適用。

3、教師提出問題，學生分組討論（約10分鐘）

教師：推導點到直線的距離公式的方法不少。前面我們學了函數(shù)、三角函數(shù)、向量、不等式等數(shù)學知識，你能用所學過的知識從不同角度、采用不同方法來推導這個公式嗎？請同學們先獨立思考，然后在小組上進行討論交流，由組長負責記錄。10分鐘后每組推選一名代表對本組找到的最好的一種推導方法通過實物投影進行"成果"交流。

學生們積極探討；教師來回巡視，回答各研究小組的詢問

4、學生交流"成果"，教師點評小結（約16分鐘）

經(jīng)過約十分鐘的研討，各小組都找到了新的推導方法。于是教師請4名代表依次上講臺（讓準備成熟的先講），借助實物投影介紹本組的"成果"。由于時間關系，每組只要求講一種方法，用時不超過4分鐘，且各組的.方法不能重復。

學生5：我們用的是"設而不求，整體代換"的數(shù)學思想。請看投影屏幕：

設Q的坐標為（_1，y1），則直線PQ的斜率k1=，又直線l的斜率k=—，于是由PQ⊥l得，k1k=—1即B（_1—_0）—A（y1—y0）=0①

又因為A_1By1C=0，即A_1By1=—C

兩邊同減A_0By0得A（_1—_0）B（y1—y0）=—（A_0By0C）②

于是①2②2得，（A2B2）[（_1—_0）2（y1—y0）2]=（A_0By0C）2，

即（A2B2）d2=（A_0By0C）2

所以d=。

教師："設而不求，整體代換"，真是奧妙無窮，這是解析幾何減少運算量的有效途徑，同時也體現(xiàn)了數(shù)學的內(nèi)在美，妙不可言。

學生6：我們小組向大家介紹一種獨特的方法——向量法，請看投影屏幕：

如圖2，設T（_1，y1）為直線l上的任意一點，則A_1By1C=0，=（_1—_0，y1—y0）

∵PQ⊥直線l，

∴平行于直線l的法向量=（A，B）

另設與的夾角為θ，則·=cosθ

即|A（_1—_0）B（y1—y0）|=|||cosθ|

即|A_0By0C|=·d

∴d=。

教師：向量是數(shù)量與圖形的有機結合，解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，兩者都體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，第三小組的推導方法證明了這一點，也再次說明了向量具有很強的實用性與工具性，用向量法解解析幾何題確實行之有效。

學生7：：我們小組向大家介紹向量的另一種方法，妙用向量數(shù)量積的性質(zhì)．請看投影屏幕：

如圖3，設垂足是點H（m，n），

直線l的法向量共線，

這是相當簡單的方法了。

教師：巧妙利用向量數(shù)量積的性質(zhì)來求距離，簡直是"巧奪天工"，與其他方法相比，這種方法有絕對優(yōu)勢，我們必須重視對向量工具性的研究和應用。

學生8：剛才三個小組的證明方法確實精彩，我們也發(fā)現(xiàn)了一種巧妙的方法，把它稱為"柯西不等式法"，請看投影屏幕：

我們知道，P點到直線l的距離，實質(zhì)上是點P與直線l上任意一點T的距離的最小值，于是我們設T（_1，y1）為直線l上的任一點（如圖2），則A_1By1C=0，

而d=|PT|min，于是|PT|=

=_，

利用柯西不等式，便有|PT|≥=，

所以d=，此時，即PT垂直于直線l。

教師：這一證法果然十分巧妙，包含的數(shù)學思想十分豐富。由點到直線的距想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步"轉(zhuǎn)化"中問題得到圓滿解決。同時也體現(xiàn)了不等式的工具作用。

5、公式應用（學生練習，約3分鐘）

（1）求P（6，7）到直線l：3_—4y5=0的距離d。

（直接代公式得答案：d=1，檢驗嘗試性題組第（4）的答案）

（2）求P（—1，1）到直線l：的距離d。

（先化直線方程為一般式再代公式得答案：）

6、教師小結并布置作業(yè)（約1分鐘）

這節(jié)課我們學習了點到直線的距離公式，在公式的推導中學到了許多重要的數(shù)學思想和方法，感受到了數(shù)學的奧妙，也感受到了成功的喜悅。其實這個公式的推導方法不下十種，由于課堂上時間緊，許多同學有創(chuàng)造性的推導方法不能進行展示、交流，