泰州2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)期末試題

2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試

高三數(shù)學(xué)試題

一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知集合4={0,。},3={2"力},若AB={1},貝!Ja+b=

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】AB={1},則a=1,A={0,1},B={2』},即h=l,/.a—b=2，選B.

2.若1+i是實(shí)系數(shù)一元二次方程_?+“％+4=0的一個(gè)根，則

A.p=2,q=2B.p=2,q=—2C.p=-2,q=2D.p=-2,q=—2

【答案】C

【解析】（l+i）2+〃（l+i）+q=0,2i+〃+pi+q=。，（2+p）i+〃+夕=0,

2+p=0[〃=-2

：.<c，:?〈-，選C.

[p+q=0[q=2

3.若（%+y）=?0_y+axxy+a3xyd--Faex，貝U（%+a,+/+4）~一（4+4+%）

的值為

A.0B.32C.64D.128

【答案】A

【解析】1=1,y=-1時(shí)，0=。0—4+。2-。3+。4一。5+。6

%=1,y=1時(shí)，64=a（）+q+%+/+%+%+以

（%+4+。4+。6）~—（。1+%+。5

=（%-q+。2—。3+。4—。5+。6）（。0++。2+。3+。4+。5+&）=°X64=0，選A.

4.在音樂(lè)理論中，若音M的頻率為加，音N的頻率為"，則它們的音分差12001og,絲.當(dāng)

n

音A與音3的頻率比為2時(shí),音分差為r,當(dāng)音C與音。的頻率比為受時(shí)，音分差為s,

8243

則

A.2r+3s=600B.3r+2s=600

C.5r+2s=1200D.2廠+5s=1200

【答案】C

9

【解析】r=120010g2—=1200(log9-3)=2400log23-3600,

82

5=12001og2HI=1200(8-5log23)=9600-6000log23,5r+2s=1200，選C.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，直線/：%-2y+2=0與拋物線。:V二以相交于A,3兩點(diǎn),

則0408的值為

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

x-2y+2=0.

【解析】，，消％可得丁一8y+8=0,

y=4x

22

令A(yù)(X］，M),B(%2，>2)，%%=8，中2=?*=4,

OA-OB=玉%2+y%=12,選C.

jr

6.在平面直角坐標(biāo)系方為中，已知點(diǎn)A(6,8),將04繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn);后得OA,則4

4

的縱坐標(biāo)為

A.V2B.>/3C.2D.V5

【答案】A

43

【解析】設(shè)A(6,8)是a角終邊上一點(diǎn)，則sina=《,coscr=j,

0A繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)￡后得OA,則%,=10-sin［—工］=應(yīng)，選A.

4I4J

7.已知函數(shù)/1(x)=sin(G%+0)(口>。,0<0(不)，若/f=0,八］)=1,7(%)的最

小正周期T>2不,則*的值為

，?九?25

A,—B.-C.-71D.-Z

6336

【答案】D

(兀、元(\k'

【解析】/-=0,/(%)=—1,則］一：=-+-T,k",

4142)

3

-萬(wàn)

4

T-2%2

13>27r，,Z=0,即T=3兀=—,69=—,

-co3

42

(2、(2、5

f(x)=sin—x+(p,/(7r)=sin~7r+(p=-l,:.(p=—7i，選D.

<3)<3)6

8.若實(shí)數(shù)。出"滿足6"=12℃=3,3"s=5"”，則a,4c的大小關(guān)系是

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】方法一：6"=3,a=log63,12"=3,.-.?c=log123,.?.c=^^=log「6,

log63

z1\而

A⑹\/5h■

--//)*-l

7i

k7

5

=1oglo

6L22

_Ln

16Imn

621n10

12

211

1-

In<<

61oI2

ln12InInInl

:.a<b<c，選D.

方法二：由6“=12a'=3na=k)g63,c=^^=logl26

1陶3

而方=logi()5,l-a=log62,l-c=log122,l-/?=logl02,

log62>logl02>log122=>l-tz>l-Z?>l-c,:.a<b<c，選D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知一組數(shù)據(jù)為:4,1,2,5,5,3,3,2,3,2,則

Q

A.標(biāo)準(zhǔn)差為2B.眾數(shù)為2和3

5

7

C.70分位數(shù)為一D.平均數(shù)為3

2

【答案】BCD

【解析】x=3,D對(duì).S2=\(4+1X3+0X3+1X1+4X2)=|,方差為|,A錯(cuò).

眾數(shù)為2和3,B對(duì).

7

10x70%=7,按大小順序排為1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,第7,8位數(shù)的平均數(shù)為彳,C對(duì).

10.用一個(gè)平面截正方體，則截面的形狀不可能是

A.銳角三角形B.直角梯形C.正五邊形D.邊長(zhǎng)不相等的六邊形

【答案】BC

【解析】如圖(1)截面為銳角三角形，A不選.

當(dāng)截面為四邊形時(shí)可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現(xiàn)直角梯形，B選.

當(dāng)截面為五邊形時(shí)，不可能出現(xiàn)正五邊形，C選.

如圖(2)可以是邊長(zhǎng)不全相等的六邊形，D不選，選BC.

11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(的=%4-％2+?+i,則

A.存在位于的實(shí)數(shù)。，使函數(shù)/(%)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形

B.存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)/(x)為單調(diào)函數(shù)

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,函數(shù)/（%）都存在最小值

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,函數(shù)/（%）都存在兩條過(guò)原點(diǎn)的切線

【答案】ACD

【解析】方法一：。=0時(shí)，/（x）=^4-x2+l,/（%）為偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，A對(duì).

f\x)=4x3—2x+a,龍—時(shí)，/'(%)—>-oo,九一>+oo時(shí)，/'(%)—>+oo

二:。）不可能恒正或恒負(fù)，B錯(cuò).

?c八,V6,A/6.V6A/6V6

./(x)=12x~2—2=0,x=+——,f￡(x)^—oo,——/,———,+<x>

66666

1°a+飛一＜0時(shí)，/'（%）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)%,%￡（-0,芭）,/'（%）＜0,/（光），

9

xe(%),-HX)),f(x)>0,/(x)',/(%)有最小值.

2/7

2°a——丁〉0時(shí)，/'（%）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)看，尤G（YO,%2），/'（%）＜°，/（%），，

9

%G（/,-K?）,/，（X）＞O,/（X）\/（X）有最小值.

3°。+坐=0時(shí)，/'（X）有兩個(gè)零點(diǎn)一，xe（-w,x3），r（x）＜0,/（x）,,

96

尤e（七,平》）,r（尤）＞o,/（x）/：/1（%）有最小值.

4°雪=0,同3。

[2an

a-----<0

9

5°\廠時(shí)/'(X)有三個(gè)零點(diǎn)%4，%5，%6，

2V6

a4----->0n

/'(%)在(TO,%)\,(%4，%5)/，。5，％6)\(%6，”)，/(%)有最小值，C對(duì).

3

對(duì)于D,點(diǎn)+依()+1),/=4x-2x+a,k-4x?-2x0+a

切線:十一(只一片+倏+1)=(44-2%o+a)(%-%)過(guò)(0,0),

一%:+7;—CIXQ—1=(4XQ-2/o+1)(一,

二3%：--1=0有兩解，則有兩切線，D對(duì).

方法二：最強(qiáng)秒殺

對(duì)于A,可利用一個(gè)結(jié)論.

若/(x)-x4+ax'+bx2+cx+d為軸對(duì)稱(chēng)圖形，

則de=一4b)且/(x)關(guān)于％以對(duì)稱(chēng)，?:/(x)=/一/+?+1為軸對(duì)稱(chēng)圖形，

.,.a—0,A正確.

對(duì)于B,/'(%)=4/—2x+a,當(dāng)尤f(wàn)-oo時(shí),/'(%)—>-oo,尤—>+oo時(shí)，/'(x)f+oo,

對(duì)X/eR至少有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，???/(%)不可能為單調(diào)函數(shù)，B錯(cuò).

對(duì)于C,當(dāng)光一>7以及尤一”時(shí)，/(x)均一轉(zhuǎn)，由/(外在R上連續(xù)，

???中間/(%)必存在最小值，C正確.

3

對(duì)于D,點(diǎn)+叫+1),f'(x)-4x-2x+a,k=-2x0+a,

/(x)在P處切線方程為y=(4%Q-2%()+a)(x-%())+x：一片+ax0+1

=

它過(guò)原點(diǎn)，二-4%：+2%o—QXQ+Xg—XQ+UXQ+10

/.3%：--1=0有兩解,存在兩條切線，二D正確.

選：ACD.

12.過(guò)圓。:％2+丁2=8內(nèi)一點(diǎn)/1,6)作兩條互相垂直的弦24民8，得到四邊形APBC,

則

A.|A同的最小值為4B.當(dāng)卜26時(shí)，|。卜2萬(wàn)

C.四邊形AP3C面積的最大值為16D.ACBD為定值

【答案】ABD

【解析】方法一：當(dāng)尸為AB中點(diǎn)時(shí)最小，。尸=2,|ABL“n=2jTZ=4,A對(duì).

。到AB,CD的距離分別為4,右，AB=2《8-d；=2逐

d：+d；=14,:.d2=l,CD=2y/8^=2V7,B對(duì).

S.c=京3.3；?2而不2而下

=2j64-8(d；+d；)+42d；=2也4-32+d；/

=2《32+d；成<2,32+4=12,C錯(cuò).

ACBD=(AP+PC)(BP+PD)=APBP+APPD+PCBP+PC-PD

=PAPB+PCPD.

分別取AB,8的中點(diǎn)M,N,

ACBD=-(MA-PM)(MB+PM)-(NC-PN)(ND+PN)

=PM2-M^+PN2-NC2=d；+J；-(8-^2)-(8-Jf)

=2(d；+d；)—16=—8為定值，D對(duì)，選ABD.

方法二：當(dāng)OP_LAB時(shí)，|A6|最小，此時(shí)|4九”,=27^4=4,A正確.

過(guò)。分別作于點(diǎn)￡,于點(diǎn)尸，

設(shè)OE=x,OF=y,:.x2+y2=4,

當(dāng)［4耳=2石時(shí)，％=g,此時(shí)y=l,|CD|=2g，B正確.

對(duì)于C,S四邊形A.=1|AB||CZ)|=1-2^7.2斤丁

=2J(8—')(8_y2)《216-(；+/)=12,C錯(cuò).

對(duì)于D,ACBD=(PC-PA)(PD-PB)=PCPD+PAPB

=FP--DF2+PE2-BE2=x1-(S-y2)+y2-(8-x2)

=2(x2+/)-16=-8為定值，D正確，選ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.若橢圓C2的焦點(diǎn)在)，軸上，且與橢圓G:?+'=1的離心率相同,則橢圓c2的一個(gè)標(biāo)

準(zhǔn)方程為.

【答案】?+%2=1

2

29/2

【解析】橢圓G：三+上=1的離心率為0，橢圓G可取：—+^2=1.

14.某公司決定從甲、乙兩名員工中選一人去完成一項(xiàng)任務(wù)，兩人被選中的概率都是0.5.據(jù)以

往經(jīng)驗(yàn)，若選員工甲，按時(shí)完成任務(wù)的概率為0.8;若選員工乙，按時(shí)完成任務(wù)的概率為0.9.

則選派一名員工，任務(wù)被按時(shí)完成的概率為.

【答案】0.85

【解析】P=0.5x0.84-0.5x0.9=0.85.

15.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若S4=10§2，則稱(chēng)的值為.

【答案】91

【解析】方法一：等比數(shù)列｛4｝中，SzN-S2，S6-S4成等比數(shù)列，S2,9S2,8電成等比數(shù)

列，.?￡-54=8電，.??臬=9電，.?.m=91.

方法二：設(shè)｛4｝公比為9,包二口=1。?也,

\-q\-q

4(1-/)

.56=\-q_1-3\

.迅一組一J32一°

1-鄉(xiāng)

16.一名學(xué)生參加學(xué)校社團(tuán)活動(dòng)，利用3D技術(shù)打印一個(gè)幾何模型.該模型由一個(gè)幾何體M及

其外接球。組成，幾何體M由一個(gè)內(nèi)角都是120。的六邊形A3C。所繞邊8c旋轉(zhuǎn)一周得到，

且滿足AB=AF=OC=OE,BC=EF，則球。與幾何體M的體積之比為

【答案】

81

2/、，

【解析】方法一：設(shè)AB=1,BC=a,OF2=—+3=\-+-\+-=OA2,:.a=4

4124

[—,,4/r328不

OF=\j7,V,-——r=--------兀

33

匕=」僅萬(wàn)+3萬(wàn)+-3萬(wàn).4=在=步

~3(42)234242

方法二：設(shè)AB=AF=DC=DE=2a,BC=EF=2b,

：.AB,A尸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐,

匕:臺(tái)=+冗.(2&a)2+J乃-3。2?7.12/].fl-1.雙品)2.a

=771a③-no'=671a

「圓柱=4(2G“)2-2b-24/ra2b,何體=12/ra3+24/ra2b

幾何體存在外接球，設(shè)BC中點(diǎn)為O,:.O為球心，由04=O尸=R

=>(/?+a)2+3a2="+12a2=>b=4a

.?.R2=28/,R=2不a,.?%=9.28/.2。,

3

VM=12兀/+96?。3=108^tz,

.%。=56S

""81'

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）記△ABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知理4+出￡=2COSB+L

sinCsinA

（1）求證\b1=ac]

b12

（2）若一J=*，求cosB的值.

a+c5

【解析】

sinAsinC=2COSB+1,「3+￡=2.〃+C2"+1,

(1)

sinCsinAcalac

a2+c2=a2+c2-h2ach2=ac.

(2)COS8/+C2"/+CJC=X」

2ac2aclac2

,b22ac23，”3

由==廣寸b

2224

18.（12分）已知數(shù)列｛%｝滿足％=應(yīng)匕,,?2>0.

4+1a2a\a2a3

（i）求證：數(shù)列（'[是等差數(shù)列；

IAJ

（2）求數(shù)列｛。/向｝的前〃項(xiàng)和S?.

【解析】

（1）3<2a“+]=32%+]=]￡]]],

an+\a2an+\a2an%J

—2H—

a2\a\)

令八=1,2n<

2+—

?Jjj成首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

(2)由(1)知,=1+2(〃-1)=2〃-1na”=—

an2n-1

11If111

“向2n-l2/1+12(2〃—12/1+1)

19.(12分)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行球類(lèi)運(yùn)動(dòng)比賽，比賽共設(shè)足球、籃球、排球三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)

項(xiàng)目勝方得100分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局，三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，

已知甲校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為040.6,0.5,各項(xiàng)目比賽互不影響.

(1)求乙獲得冠軍的概率；

(2)用X表示甲校的總得分,求X的分布列與期望.

【解析】

(1)乙校獲得冠軍的情形分為乙在兩個(gè)項(xiàng)目中獲勝或三個(gè)項(xiàng)目均獲勝

P=0.6x0.4x0.5+0.6x0.5x0.6+0.4x0.5x0.4+0.6x0.4x0.5=0.5.

(2)X的所有可能取值為0,100,200,300

=0)=0.6X0.4X0.5=0.12,

P(X=100)=0.4x0.4x0.5+0.6x0.6x0.5+0.5x0.6x0.4=0.38,

P(X=200)=0.4x0.6x().5+0.4x0.5x0.4+0.6x0.5x0.6=0.38,

P(X=300)=0.4x0,6x0.5=0.12,

???X的分布列如下：

X0100200300

p0.120.380.380.12

X的期望石(X)=38+76+36=150.

20.(12分)如圖，在三棱臺(tái)ABC—。區(qū)F中，已知平面ABE。，平面3CFE,BAA.BC,

8c=3,BE=DE=DA=-AB=1.

2

(1)求證：直線平面8CFE;

(2)求平面與平面AE廠所成角的正弦值.

【解析】

(1)證明：在等腰梯形43團(tuán)中，過(guò)后作EG_LAB于點(diǎn)G,

1巧3

.?.BG=—，二NBEG=30。且EG=?,AG=-,:.ZAEG=60°,

222

/.ZAEB=90°,:.AE±BE,

平面ABE。_L平面BCFE,平面ABED平面BCFE=BE,AEu平面ABED,

AE_LBE,AK_L平面3CFE.

(2)AE1,平面BCFE,,又.BC_LBA,AEBA=A,

.??3C，平面ABED,平面ABC,二平面ABC_L平面ABED,

如圖建系，則C(3,0,0),。0,-,—,E0,-,—,A(0,2,0)

2222

‘qC、(4

AE=0,--,—,EF=±0,0

I22J12

設(shè)平面CDF與平面AEF的一個(gè)法向量分別為々=(%,X,4),%=(赴,％,Z2)

-3%+gy+*4=0

=(2,3,6)

3

-x,-yt^0

3V3

-/+下z2=0

=>%=(0,1,6)，

3々=0

〔2.

設(shè)平面CPb與平面AEF所成角為。,

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系》。)，中，過(guò)點(diǎn)尸(-2,0)的直線/與曲線C：鼻一3=1的左支

ab

交于A,B兩點(diǎn)，直線OX與雙曲線C的右支交于點(diǎn)。.已知雙曲線C的離心率為亞,當(dāng)直線I

與“軸垂直時(shí)，忸。|=夜|4斗

(1)求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明:直線8。與圓O：f+y2=2相切.

【解析】

(1)當(dāng)/軸時(shí),A(-2,y0),B(-2,-y0),D(2-y0)

此時(shí)，忸。|=4,|AB|=2聞，由忸。|=血|他|=4=2血閭=閭=血，

e=V2,=V2,c=\[2a,h=a,

a

x2v249r-

.A在雙曲線。-3=1上=二—一f=\na2o=2,a=4i,

abaa

22

二雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為：上-X=i.

22

(2)設(shè)直線AB的方程為％=機(jī)＞一2,A(%i，yJ,B(x2,y2),。(一七,一yj,

X-YYIX—2

1=＞(m2—I)),2-4my+2=0,A=16m2—8(/n2-1)=8m2+8

j-y=2

.-=?，二9方程為＞=小(％—%)+必=2%+^^

x2+%]x}+x2x1+x2玉+x2

4m

而二一心一=萬(wàn)=&一

玉+%2沖]-2+陽(yáng)2-2m.4m_44

m2-1

而隹*Qy-2)%-(沖2-2)%

my]—2+my,-2

4dmi+1

2(y-%)=y/2ylm2+1

皿M+%)_4-4m2-4(1-m2)

??.O到直線8。的距離d=e=r,

Vl+m2

/.直線8□圓O：/+y2=2相切.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=e=！o?(。為非零常數(shù))，記力+"])=力，(x)(〃eN),

6

人(%)=/(%).

(1)當(dāng)x>0時(shí)，/(x注0恒成立，求實(shí)數(shù)。的最大值；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)g〃(%)=￡/(%),對(duì)任意的此3,當(dāng)％=乙時(shí)，y=g<％)取得最小值,

i=2

證明：8,,9)>0且所有點(diǎn)(g59))在一條定直線上；

(3)若函數(shù)/)(％),E(x),人(%)都存在極小值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】

1(6e')

(1)由/(x)20,x>0neX——ax3>0=>a<—

6I*Jmin

、6ev,ev-x3-3x2-eAev(x-3)

令h(x)=七，〃⑴=6----------7---------=6------------,

XXX

6e32e3?e3

.?.〃(%)在(0,3)上,；(