2012年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

2012年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給同的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．6 C．8 D．10 2．（5分）將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）A．12種 B．10種 C．9種 D．8種 3．（5分）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=的四個(gè)命題：其中的真命題為（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1+i，p4：z的虛部為﹣1．A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4 4．（5分）設(shè)F1、F2是橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為直線x=上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為（）A． B． C． D． 5．（5分）已知{an}為等比數(shù)列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，則a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7 6．（5分）如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入正整數(shù)N（N≥2）和實(shí)數(shù)a1，a2，…，an，輸出A，B，則（）A．A+B為a1，a2，…，an的和 B．為a1，a2，…，an的算術(shù)平均數(shù) C．A和B分別是a1，a2，…，an中最大的數(shù)和最小的數(shù) D．A和B分別是a1，a2，…，an中最小的數(shù)和最大的數(shù) 7．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A．6 B．9 C．12 D．18 8．（5分）等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，|AB|=4，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．8 9．（5分）已知ω＞0，函數(shù)f（x）=sin（ωx+）在區(qū)間[，π]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（）A． B． C． D．（0，2] 10．（5分）已知函數(shù)f（x）=，則y=f（x）的圖象大致為（）A． B． C． D． 11．（5分）已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此三棱錐的體積為（）A． B． C． D． 12．（5分）設(shè)點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|最小值為（）A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D． 二．填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．（5分）已知向量夾角為45°，且，則=．14．（5分）設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件：；則z=x﹣2y的取值范圍為．15．（5分）某個(gè)部件由三個(gè)元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布N（1000，502），且各個(gè)元件能否正常相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為．16．（5分）數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，則{an}的前60項(xiàng)和為．三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（12分）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acosC+asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面積為；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．（1）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數(shù)解析式．（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．（i）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；（ii）若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD（1）證明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）設(shè)拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A∈C，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面積為，求p的值及圓F的方程；（2）若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值．21．（12分）已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、請(qǐng)考生在第22，23，24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)．22．（10分）如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CF∥AB，證明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．選修4﹣4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C1的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C2的坐標(biāo)系方程是ρ=2，正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C2上，且A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2，）．（1）求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)；（2）設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍．24．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣2|①當(dāng)a=﹣3時(shí)，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．2012年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給同的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．6 C．8 D．10 【考點(diǎn)】12：元素與集合關(guān)系的判斷．【專(zhuān)題】5J：集合．【分析】由題意，根據(jù)集合B中的元素屬性對(duì)x，y進(jìn)行賦值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素個(gè)數(shù)，得出正確選項(xiàng)【解答】解：由題意，x=5時(shí)，y=1，2，3，4，x=4時(shí)，y=1，2，3，x=3時(shí)，y=1，2，x=2時(shí)，y=1綜上知，B中的元素個(gè)數(shù)為10個(gè)故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查元素與集合的關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵是理解題意，領(lǐng)會(huì)集合B中元素的屬性，用分類(lèi)列舉的方法得出集合B中的元素的個(gè)數(shù)．2．（5分）將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）A．12種 B．10種 C．9種 D．8種 【考點(diǎn)】D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】將任務(wù)分三步完成，在每步中利用排列和組合的方法計(jì)數(shù)，最后利用分步計(jì)數(shù)原理，將各步結(jié)果相乘即可得結(jié)果【解答】解：第一步，為甲地選一名老師，有=2種選法；第二步，為甲地選兩個(gè)學(xué)生，有=6種選法；第三步，為乙地選1名教師和2名學(xué)生，有1種選法故不同的安排方案共有2×6×1=12種故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，排列組合計(jì)數(shù)的方法，理解題意，恰當(dāng)分步是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題3．（5分）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=的四個(gè)命題：其中的真命題為（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1+i，p4：z的虛部為﹣1．A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4 【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共軛復(fù)數(shù)為﹣1+i，p4：z的虛部為﹣1，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共軛復(fù)數(shù)為﹣1+i，p4：z的虛部為﹣1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．4．（5分）設(shè)F1、F2是橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為直線x=上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì)．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】利用△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根據(jù)P為直線x=上一點(diǎn)，可建立方程，由此可求橢圓的離心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P為直線x=上一點(diǎn)∴∴故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知{an}為等比數(shù)列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，則a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7 【考點(diǎn)】87：等比數(shù)列的性質(zhì)；88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，進(jìn)而可求公比q，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4當(dāng)a4=4，a7=﹣2時(shí)，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7當(dāng)a4=﹣2，a7=4時(shí)，q3=﹣2，則a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7綜上可得，a1+a10=﹣7故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了基本運(yùn)算的能力．6．（5分）如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入正整數(shù)N（N≥2）和實(shí)數(shù)a1，a2，…，an，輸出A，B，則（）A．A+B為a1，a2，…，an的和 B．為a1，a2，…，an的算術(shù)平均數(shù) C．A和B分別是a1，a2，…，an中最大的數(shù)和最小的數(shù) D．A和B分別是a1，a2，…，an中最小的數(shù)和最大的數(shù) 【考點(diǎn)】E7：循環(huán)結(jié)構(gòu)．【專(zhuān)題】5K：算法和程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的數(shù)和最小的數(shù)．【解答】解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知，該程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的數(shù)和最小的數(shù)其中A為a1，a2，…，an中最大的數(shù)，B為a1，a2，…，an中最小的數(shù)故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)每一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，屬于中檔題．7．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A．6 B．9 C．12 D．18 【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】通過(guò)三視圖判斷幾何體的特征，利用三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的體積即可．【解答】解：該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，三棱錐的高為3；底面三角形斜邊長(zhǎng)為6，高為3的等腰直角三角形，此幾何體的體積為V=×6×3×3=9．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，考查幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力．8．（5分）等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，|AB|=4，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．8 【考點(diǎn)】KI：圓錐曲線的綜合．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】設(shè)等軸雙曲線C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的準(zhǔn)線l：x=﹣4，由C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，，能求出C的實(shí)軸長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)等軸雙曲線C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的準(zhǔn)線l：x=﹣4，∵C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線l：x=﹣4交于A，B兩點(diǎn)，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得=4，∴a=2，2a=4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．9．（5分）已知ω＞0，函數(shù)f（x）=sin（ωx+）在區(qū)間[，π]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（）A． B． C． D．（0，2] 【考點(diǎn)】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】法一：通過(guò)特殊值ω=2、ω=1，驗(yàn)證三角函數(shù)的角的范圍，排除選項(xiàng)，得到結(jié)果．法二：可以通過(guò)角的范圍，直接推導(dǎo)ω的范圍即可．【解答】解：法一：令：不合題意排除（D）合題意排除（B）（C）法二：，得：．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的解析式的求法，考查計(jì)算能力．10．（5分）已知函數(shù)f（x）=，則y=f（x）的圖象大致為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】4N：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；4T：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】考慮函數(shù)f（x）的分母的函數(shù)值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定義域能排除D，這一性質(zhì)可利用導(dǎo)數(shù)加以證明【解答】解：設(shè)則g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)解析式與函數(shù)圖象間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，排除法解圖象選擇題，屬基礎(chǔ)題11．（5分）已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此三棱錐的體積為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用截面圓的性質(zhì)即可求出OO1，進(jìn)而求出底面ABC上的高SD，即可計(jì)算出三棱錐的體積．【解答】解：根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為O，過(guò)ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長(zhǎng)CO1交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱錐S﹣ABC==．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的體積，考查球內(nèi)接多面體，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)S到面ABC的距離．12．（5分）設(shè)點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|最小值為（）A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D． 【考點(diǎn)】4R：反函數(shù)；IT：點(diǎn)到直線的距離公式．【專(zhuān)題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由于函數(shù)與函數(shù)y=ln（2x）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，要求|PQ|的最小值，只要求出函數(shù)上的點(diǎn)到直線y=x的距離為的最小值，設(shè)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函數(shù)與函數(shù)y=ln（2x）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，函數(shù)上的點(diǎn)到直線y=x的距離為，設(shè)g（x）=（x＞0），則，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函數(shù)g（x）在（0，ln2）單調(diào)遞減，在[ln2，+∞）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=ln2時(shí)，函數(shù)g（x）min=1﹣ln2，，由圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)得：|PQ|最小值為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，注意本題解法中的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，根據(jù)互為反函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性把所求的點(diǎn)點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離，構(gòu)造很好二．填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．（5分）已知向量夾角為45°，且，則=3．【考點(diǎn)】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；9S：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的數(shù)量積定義的應(yīng)用，向量的數(shù)量積性質(zhì)||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件：；則z=x﹣2y的取值范圍為．【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題．【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，由z=x﹣2y可得，y=，則﹣表示直線x﹣2y﹣z=0在y軸上的截距，截距越大，z越小，結(jié)合函數(shù)的圖形可求z的最大與最小值，從而可求z的范圍【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域由z=x﹣2y可得，y=，則﹣表示直線x﹣2y﹣z=0在y軸上的截距，截距越大，z越小結(jié)合函數(shù)的圖形可知，當(dāng)直線x﹣2y﹣z=0平移到B時(shí)，截距最大，z最??；當(dāng)直線x﹣2y﹣z=0平移到A時(shí)，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Zmax=3，Zmin=﹣3則z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案為：[﹣3，3]【點(diǎn)評(píng)】平面區(qū)域的范圍問(wèn)題是線性規(guī)劃問(wèn)題中一類(lèi)重要題型，在解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地畫(huà)出平面區(qū)域，分析表達(dá)式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．15．（5分）某個(gè)部件由三個(gè)元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布N（1000，502），且各個(gè)元件能否正常相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為．【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；16：壓軸題．【分析】先根據(jù)正態(tài)分布的意義，知三個(gè)電子元件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為，而所求事件“該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)”當(dāng)且僅當(dāng)“超過(guò)1000小時(shí)時(shí)，元件1、元件2至少有一個(gè)正?！焙汀俺^(guò)1000小時(shí)時(shí)，元件3正常”同時(shí)發(fā)生，由于其為獨(dú)立事件，故分別求其概率再相乘即可【解答】解：三個(gè)電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N（1000，502）得：三個(gè)電子元件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為設(shè)A={超過(guò)1000小時(shí)時(shí)，元件1、元件2至少有一個(gè)正常}，B={超過(guò)1000小時(shí)時(shí)，元件3正常}C={該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)}則P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布的意義，獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率運(yùn)算，對(duì)立事件的概率運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，屬基礎(chǔ)題16．（5分）數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，則{an}的前60項(xiàng)和為1830．【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4M：構(gòu)造法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由題意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，變形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，求出{an}的前60項(xiàng)和【解答】解：∵an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．從而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…從第一項(xiàng)開(kāi)始，依次取2個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于2，從第二項(xiàng)開(kāi)始，依次取2個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以8為首項(xiàng)，以16為公差的等差數(shù)列．{an}的前60項(xiàng)和為15×2+（15×8+）=1830【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬中檔題．三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（12分）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acosC+asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面積為；求b，c．【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【專(zhuān)題】33：函數(shù)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后得到sin（A﹣30°）=．即可求出A的值；（2）若a=2，由△ABC的面積為，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，結(jié)合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=．∴A﹣30°=30°∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面積=，∴bc=4．①再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc?cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，∴b+c=4．②結(jié)合①②求得b=c=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，是中檔題．18．（12分）某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．（1）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數(shù)解析式．（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．（i）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；（ii）若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CS：概率的應(yīng)用．【專(zhuān)題】15：綜合題．【分析】（1）根據(jù)賣(mài)出一枝可得利潤(rùn)5元，賣(mài)不出一枝可得賠本5元，即可建立分段函數(shù)；（2）（i）X可取60，70，80，計(jì)算相應(yīng)的概率，即可得到X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；（ii）求出進(jìn)17枝時(shí)當(dāng)天的利潤(rùn)，與購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)當(dāng)天的利潤(rùn)比較，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)n≥16時(shí)，y=16×（10﹣5）=80；當(dāng)n≤15時(shí)，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，當(dāng)日需求量n=14時(shí)，X=60，n=15時(shí)，X=70，其他情況X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列為X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）購(gòu)進(jìn)17枝時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)的期望為y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)模型的建立，考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．19．（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD（1）證明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大?。究键c(diǎn)】LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；MJ：二面角的平面角及求法．【專(zhuān)題】15：綜合題．【分析】（1）證明DC1⊥BC，只需證明DC1⊥面BCD，即證明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）證明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BD于點(diǎn)H，連接C1O，C1H，可得點(diǎn)H與點(diǎn)D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）證明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC?面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC?面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BD于點(diǎn)H，連接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而B(niǎo)D?面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴點(diǎn)H與點(diǎn)D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角設(shè)AC=a，則，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小為30°【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定，正確作出面面角，屬于中檔題．20．（12分）設(shè)拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A∈C，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面積為，求p的值及圓F的方程；（2）若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值．【考點(diǎn)】J1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；K8：拋物線的性質(zhì)；KI：圓錐曲線的綜合．【專(zhuān)題】15：綜合題；16：壓軸題．【分析】（1）由對(duì)稱(chēng)性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2p點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離，由△ABD的面積S△ABD=，知=，由此能求出圓F的方程．（2）由對(duì)稱(chēng)性設(shè)，則點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱(chēng)得：，得：，由此能求出坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值．【解答】解：（1）由對(duì)稱(chēng)性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2p點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離，∵△ABD的面積S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐標(biāo)為（0，1），∴圓F的方程為x2+（y﹣1）2=8．（2）由題設(shè)，則，∵A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，又AB為圓F的直徑，故A，B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱(chēng)．由點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱(chēng)得：得：，直線，切點(diǎn)直線坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，具體涉及到拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．21．（12分）已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求（a+1）b的最大值．【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【專(zhuān)題】15：綜合題；16：壓軸題；2A：探究型；35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再令自變量為1，求出f′（1）得到函數(shù)的解析式及導(dǎo)數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意，借助導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最小值，令其大于0即可得到參數(shù)a，b所滿(mǎn)足的關(guān)系式，再研究（a+1）b的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）x+?f'（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）ex﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函數(shù)的解析式為f（x）=ex﹣x+令g（x）=f'（x）=ex﹣1+x∴g'（x）=ex+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上單調(diào)遞增當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞f'（0）=0；當(dāng)x＜0時(shí)，有f'（x）＜f'（0）=0得：函數(shù)f（x）=ex﹣x+的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=ex﹣（a+1）①當(dāng)a+1≤0時(shí)，h′（x）＞0?y=h（x）在x∈R上單調(diào)遞增，x→﹣∞時(shí)，h（x）→﹣∞與h（x）≥0矛盾②當(dāng)a+1＞0時(shí)，h′（x）＞0?x＞ln（a+1），h'（x）＜0?x＜ln（a+1）得：當(dāng)x=ln（a+1）時(shí)，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），則F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0?0＜x＜當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)（x）max=即當(dāng)a=時(shí)，（a+1）b的最大值為【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是第一題中要賦值求出f′（1），易因?yàn)闆](méi)有將f′（1）看作常數(shù)而出錯(cuò)，第二題中將不等式恒成立研究參數(shù)關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最小值問(wèn)題，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，考查判斷推理能力，是高考中的熱點(diǎn)題型，計(jì)算量大，易馬虎出錯(cuò)．四、請(qǐng)考生在第22，23，24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)．22．（10分）如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CF∥AB，證明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考點(diǎn)】N