復(fù)變函數(shù)第四版課件-章節(jié)

復(fù)變函數(shù)第四版課件復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性微分方程積分與全純函數(shù)冪級(jí)數(shù)與展開式傅里葉分析contents目錄01復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)是形式為a+bi（a,b∈R）的數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，滿足i^2=-1。復(fù)數(shù)的定義復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)復(fù)數(shù)可以用平面上的點(diǎn)來(lái)表示，橫坐標(biāo)為實(shí)部，縱坐標(biāo)為虛部。復(fù)數(shù)可以進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算，滿足交換律、結(jié)合律和分配律。030201復(fù)數(shù)及其性質(zhì)以實(shí)軸為橫軸，虛軸為縱軸，原點(diǎn)為起點(diǎn)的平面稱為復(fù)平面。復(fù)平面每個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)(a,b)。點(diǎn)的表示每個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)一個(gè)向量從原點(diǎn)出發(fā)，終點(diǎn)在(a,b)。向量的表示復(fù)數(shù)的幾何表示

復(fù)數(shù)在平面上的向量表示向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)向量的起點(diǎn)是實(shí)軸上的點(diǎn)，終點(diǎn)是虛軸上的點(diǎn)。向量的長(zhǎng)度和方向向量的長(zhǎng)度是復(fù)數(shù)的模，方向與實(shí)軸之間的夾角是復(fù)數(shù)的輻角。向量的旋轉(zhuǎn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)向量可以表示復(fù)數(shù)的旋轉(zhuǎn)。02復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限是函數(shù)在某點(diǎn)附近的性質(zhì)，與實(shí)數(shù)函數(shù)的極限定義類似，但需要考慮復(fù)數(shù)域的特性。極限的定義復(fù)變函數(shù)的極限具有與實(shí)數(shù)函數(shù)類似的性質(zhì)，如局部有界性、局部保序性等。極限的性質(zhì)對(duì)于一些特定的復(fù)變函數(shù)，其在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限也是需要考慮的。無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限復(fù)變函數(shù)的極限連續(xù)性的性質(zhì)連續(xù)性具有一些重要的性質(zhì)，如閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界，連續(xù)函數(shù)可以一致逼近等。連續(xù)性的定義如果復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。連續(xù)性的應(yīng)用連續(xù)性在解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)非常有用，如求解微分方程、積分方程等。復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)值隨自變量變化的速率，其定義與實(shí)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義類似。導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，如鏈?zhǔn)椒▌t、乘積法則、商的法則等。導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)數(shù)在解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)非常有用，如求解微分方程、優(yōu)化問(wèn)題等。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)03微分方程舉例dy/dx=y,其中y(x)是未知函數(shù)，x是自變量。解法通過(guò)積分求解一階微分方程，得到函數(shù)的表達(dá)式。定義一階微分方程是包含一個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的方程。一階微分方程123高階微分方程包含多個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的方程。定義d^2y/dx^2=y''，其中y''表示y的二階導(dǎo)數(shù)。舉例通過(guò)求解高階微分方程，得到函數(shù)的表達(dá)式。解法高階微分方程定義dy1/dx=y2,d^2y2/dx^2=y1，其中y1和y2是未知函數(shù)。舉例解法通過(guò)求解線性微分方程組，得到函數(shù)的表達(dá)式。線性微分方程組是由多個(gè)線性微分方程組成的方程組。線性微分方程組04積分與全純函數(shù)03積分定理復(fù)平面上的積分定理包括柯西定理、格林定理和斯托克斯定理等。01復(fù)平面上的路徑在復(fù)平面上，積分可以通過(guò)沿著不同的路徑進(jìn)行計(jì)算，包括直線、圓、橢圓等。02積分公式復(fù)平面上的積分公式與實(shí)數(shù)域上的類似，但需要考慮復(fù)數(shù)的模和幅角。復(fù)平面的積分全純函數(shù)的定義全純函數(shù)是指在其定義域內(nèi)解析的函數(shù)，即其導(dǎo)數(shù)在任何點(diǎn)上都存在。留數(shù)定理留數(shù)定理是全純函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，它描述了函數(shù)在閉曲線上的積分與其留數(shù)的乘積。留數(shù)的計(jì)算留數(shù)的計(jì)算涉及到對(duì)函數(shù)進(jìn)行極點(diǎn)的分析，并利用極點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。全純函數(shù)與留數(shù)定理柯西積分公式是復(fù)變函數(shù)中的一個(gè)基本公式，它描述了函數(shù)在給定點(diǎn)上的值與其積分之間的關(guān)系?？挛鞣e分公式高階導(dǎo)數(shù)公式是關(guān)于全純函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式，它描述了函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與其積分之間的關(guān)系。高階導(dǎo)數(shù)公式柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式在解決復(fù)變函數(shù)的定積分、微分和積分方程等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用舉例柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式05冪級(jí)數(shù)與展開式冪級(jí)數(shù)展開式的定義冪級(jí)數(shù)是一種無(wú)窮級(jí)數(shù)，可以表示為$f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+cdots$的形式，其中$a_0,a_1,a_2,ldots$是常數(shù)，$z$是復(fù)數(shù)。冪級(jí)數(shù)展開式的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)具有收斂性、唯一性和可加性等性質(zhì)。收斂性是指級(jí)數(shù)的部分和序列收斂到某個(gè)值；唯一性是指不同的冪級(jí)數(shù)展開式對(duì)應(yīng)不同的函數(shù)；可加性是指函數(shù)的有限個(gè)不重疊的區(qū)間上的冪級(jí)數(shù)展開式之和仍為該函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用冪級(jí)數(shù)展開式在復(fù)變函數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，如求解微分方程、研究函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算積分等。冪級(jí)數(shù)展開式泰勒級(jí)數(shù)展開式的定義泰勒級(jí)數(shù)是冪級(jí)數(shù)的一種特殊形式，可以表示為$f(z)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n$的形式，其中$f^{(n)}(a)$表示函數(shù)$f(z)$在點(diǎn)$a$處的導(dǎo)數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)展開式的性質(zhì)泰勒級(jí)數(shù)具有收斂性、唯一性和可加性等性質(zhì)。收斂性是指級(jí)數(shù)的部分和序列收斂到某個(gè)值；唯一性是指不同的泰勒級(jí)數(shù)展開式對(duì)應(yīng)不同的函數(shù)；可加性是指函數(shù)的有限個(gè)不重疊的區(qū)間上的泰勒級(jí)數(shù)展開式之和仍為該函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式。泰勒級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)展開式在復(fù)變函數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，如求解微分方程、研究函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算積分等。泰勒級(jí)數(shù)展開式洛朗茲級(jí)數(shù)是復(fù)變函數(shù)中的一種特殊形式的冪級(jí)數(shù)，可以表示為$f(z)=sum_{n=-infty}^{infty}c_n(z-a)^n$的形式，其中$c_n$是復(fù)常數(shù)，$z$是復(fù)數(shù)。洛朗茲級(jí)數(shù)具有收斂性、唯一性和可加性等性質(zhì)。收斂性是指級(jí)數(shù)的部分和序列收斂到某個(gè)值；唯一性是指不同的洛朗茲級(jí)數(shù)展開式對(duì)應(yīng)不同的函數(shù)；可加性是指函數(shù)的有限個(gè)不重疊的區(qū)間上的洛朗茲級(jí)數(shù)展開式之和仍為該函數(shù)的洛朗茲級(jí)數(shù)展開式。洛朗茲級(jí)數(shù)展開式在復(fù)變函數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，如求解微分方程、研究函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算積分等。洛朗茲級(jí)數(shù)展開式的定義洛朗茲級(jí)數(shù)展開式的性質(zhì)洛朗茲級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用洛朗茲級(jí)數(shù)展開式06傅里葉分析將周期函數(shù)表示為無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中每個(gè)項(xiàng)都是正弦或余弦函數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)將非周期函數(shù)表示為積分形式，通過(guò)積分來(lái)描述函數(shù)的頻率和振幅。傅里葉積分傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉積分頻移性質(zhì)對(duì)函數(shù)進(jìn)行平移后再進(jìn)行傅里葉變換，相當(dāng)于將頻譜進(jìn)行平移。共軛性質(zhì)如果一個(gè)函數(shù)的實(shí)部和虛部互為共軛，則其傅里葉變換的實(shí)部和虛部也互為共軛。線性性質(zhì)如果對(duì)兩個(gè)函數(shù)的和或差進(jìn)行傅里葉變換，結(jié)果等于對(duì)每個(gè)函數(shù)分別進(jìn)行傅里葉