小船過河模型 精講精練-2022屆高三物理一輪復習疑難突破微

—.必備知識

1.模型構建

(1)常規(guī)簡單模型：實際運動是勻速直線運動

在運動的合成與分解問題中，兩個勻速直線運動的合運動仍是勻速直線運動。若其中一

個分運動的速度大小和方向都不變，另一個分運動的速度大小不變，方向在180°范圍內(在

速度不變的分運動所在直線的一側)變化，我們對合運動或分運動的速度、時間、位移等問題

進行研究。這樣的運動系統(tǒng)可看成“小船渡河模型”。

(2)較復雜模型：實際運動是曲線運動

水速不變，但船在靜水中速度變化；或者船在靜水中速度不變，但水速大小變化。

2.模型特點

(1)船的實際運動是隨水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。

(2)三種速度：船在靜水中的速度『船、水的流速乙心船的實際速度-合。

3.實際運動是勻速直線運動的兩類問題、三種情景

r///////////////////

當船頭方向垂直河岸時，渡河時間最短，

渡河時間最短/1

5最短時間tin=—

決1mO船

X/ZZZ/ZZZZZZzVZZZZZZ4

如果。?>v*,當船頭方向與上游河岸夾角

:、，。滿足cos水時，合速度垂直河岸，

渡河位移最短，等于河寬d

渡河位移最短ZZZZ/Z

，〃/〃〃//〃〃〃，/《〃/

如果V船<0水，當船頭方向(即V船方向)與合

d

，〃，〃，，，，)速度方向垂直時，渡河位移最短，等于如

2\，

4.分析思路

5.解題方法：

小船渡河問題有兩類：一是求渡河時間，二是求渡河位移。無論哪類都必須明確以下

四點：

(1)解決問題的關鍵：正確區(qū)分分運動和合運動，船的航行方向也就是船頭指向，是分運

動。船的運動方向也就是船的實際運動方向，是合運動，一般情況下與船頭指向不一致。

(2)運動分解的基本方法：按實際效果分解，一般用平行四邊形定則沿水流方向和船頭指

向分解。

(3)渡河時間只與垂直河岸的船的分速度有關，與水流速度無關。求解渡河時間，一般根

這&超

據(jù)運動的獨“性，￡=仁=嫁=給。

(4)求最短渡河位移時，當水速小于船速時即為河寬，當水速大于船速時，根據(jù)船速丫船

與水流速度聯(lián)的情況用三角形定則求極限的方法處理。

二.例題精講

題型一：實際運動是勻速直線運動的最短過河時間與最小位移問題

第2頁，共12頁

例1：一小船渡河，河寬(7=180m,水流速度r,=2.5m/s。

(1)若船在靜水中的速度為皈=5m/s,欲使船在最短的時間內渡河，船頭應朝什么方向？

用多長時間？位移是多少？

(2)若船在靜水中的速度為性=5m/s,欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多

長時間？位移是多少？

(3)若船在靜水中的速度為皈=1.5m/s,要使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用

多長時間？位移是多少？

［解析］(1)若玲=5m/s,欲使船在最短時間內渡河，船頭應朝垂直河岸方向，當船頭垂

直河岸時，如圖甲所示，合速度沿傾斜方向，垂直河岸分速度為

r±=均=5m/so

dd180

方=五=鏟可s=36s

0.而+謚=5\am/s

x=p合t=90y^m。

(2)若上=5m/s,欲使船渡河航程最短，合速度應沿垂直河岸方向。船頭應朝圖乙中的

上方向。

垂直河岸過河要求匕/=0,如圖乙所示，有^sina=n,得。=30°°

所以當船頭與上游河岸成60。角時航程最短，

x=d=180m

第3頁，共12頁

dd180

Z=7T=口cos30。=g-s=24噂So

卻

(3)若丹=L5m/s,與(2)中不同，因為船速小于水速，所以船一定向下游漂移，設合速

d

度方向與河岸下游方向夾角為a,則航程才=示7，欲使航程最短，需a最大，如圖丙所

示，由出發(fā)點力作出片矢量，以%矢量末端為圓心，均大小為半徑作圓，力點與圓周上某點的

連線為合速度方向，欲使-合與河岸下游方向夾角最大，應使人與圓相切，即入，儂

丙

v23

sinQ=%=5，得［=37。

所以船頭應朝與上游河岸成53°角方向。

d180

t=vcosa=TT^s=150s

d

x=sinQ=300m。

［答案］(1)船頭垂直于河岸36s90mm

(2)船頭與上游河岸成60°角24小s180m

(3)船頭與上游河岸成53°角150s300m

題型二：不同位置的水速大小不同

例2：.如圖所示，河水由西向東流，河寬為800m,河中各點的水流速度大小為。水，各

點到較近河岸的距離為x,。水與x的關系為。加=篇(向9(》的單位為m),讓小船船頭垂直河

岸由南向北渡河，小船劃水速度大小恒為?；?4m/s,則下列說法中正確的是()

北_____________

A.小船渡河的軌跡為直線

版

第4頁，共12頁—r

B.小船在河水中的最大速度是5m/s

C.小船在距南岸200m處的速度小于在距北岸200m處的速度

D.小船渡河的時間是160s

答案B

解析小船在南北方向上為勻速直線運動，在東西方向上先加速，到達河中間后再減速，速

度與加速度不共線，小船的合運動是曲線運動，A錯.當小船運動到河中間時，東西方向上

的分速度最大，為3m/s,此時小船的合速度最大，最大值Om=5m/s,B對.小船在距南岸

200m處的速度等于在距北岸200m處的速度，C錯.小船的渡河時間f=不病=200s,D

錯.

題型三：船在靜水中速度變化

例3：一只小船渡河，運動軌跡如圖所示。水流速度各處相同且恒定不變，方向平行于河

岸；小船相對于靜水分別做勻加速、勻減速、勻速直線運動，船的初速度大小均相同，方向

垂直于河岸，且船在渡河過程中船頭方向始終不變。由此可以確定船（）

CBD

----?水流方向

__________

~A-

A.沿4。軌跡運動時，船在垂直于河岸方向做勻減速直線運動

B.沿三條不同路徑渡河的時間相同

C.沿AB軌跡渡河所用的時間最短

D.沿4c軌跡船到達對岸的速度最小

答案:A

［解析］當沿軌跡AD運動時，則加速度方向與垂直河岸方向的速度方向相反，因此船垂

直河岸方向做勻減速直線運動，故A正確；船相對于水的初速度大小均相同，方向垂直于河

岸，因運動的性質不同，故渡河時間也不同，故B錯誤；沿AB軌跡渡河，船垂直河岸方向做

勻速直線運動，渡河所用時間大于沿AC軌跡渡河時間，沿AC軌跡，船是勻加速運動，到達

對岸的速度最大，C、D錯誤。

第5頁，共12頁

三.舉一反三，鞏固練習

1.如圖所示，河水流動的速度為。且處處相同，河寬度為%在船下水點4的下游距離為方

處是瀑布.為了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去），則（）

A.小船船頭垂直河岸渡河時間最短，最短時間為

B.小船軌跡垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大,最大速度為。

C.當小船沿軌跡A8渡河時，船在靜水中的最小速度為。min=t

av

D.當小船沿軌跡AB渡河時，船在靜水中的最小速度為小in=

yja2+h2

2.一艘船以相對靜水的速度心用最短的時間渡河，另一艘船以相對靜水的速度”從同一

地點以最短的路程過河，兩船軌跡恰好重合（設河水速度保持不變），則兩船過河所用的時間

之比是（）

A.匕?：vBB.vB：%

C.J：/D.J：J

3.（多選）一條寬為人的河流，河水流速為匕，船在靜水中的速度為如匕、外均不等于

零。設船頭的指向與上游河岸的夾角為0,要使船劃到對岸時航程最短，則0可能滿足

（）

VzV2

A.sinB.tan0—~tC.cos0D.cos0

4.如圖所示，一條河岸筆直的河流水速恒定，甲、乙兩小船同時從河岸的/點沿與河岸

的夾角均為0的兩個不同方向渡河。己知兩小船在靜水中航行的速度大小相等，則下列說法

正確的是（）

上游8下游

第6頁，共12頁”水.

“甲％：乙

A

A.甲先到達對岸

第6頁，共12頁

B.乙先到達對岸

C.渡河過程中，甲的位移小于乙的位移

D.渡河過程中，甲的位移大于乙的位移

5.如圖所示，一艘輪船正在以4m/s的速度沿垂直于河岸方向勻速渡河，河中各處水流速

度都相同，其大小為匕=3m/s,行駛中，輪船發(fā)動機的牽引力與船頭朝向的方向相同。某時

刻發(fā)動機突然熄火，輪船牽引力隨之消失，輪船相對于水的速度逐漸減小，但船頭方向始終

未發(fā)生變化。求：

(1)發(fā)動機未熄火時，輪船相對于靜水行駛的速度大小；

(2)發(fā)動機熄火后，輪船相對于河岸速度的最小值。_______2：__________

6.一小船從河岸的/I點出發(fā)渡河，小船保持與河岸垂直方向航行，經過lOmin到達河對

岸6點下游120nl的，處，如圖所示。如果小船保持原來的速度逆水斜向上游與河岸成。角方

向航行，則經過12.5min恰好到達正對岸的6處。求：

(1)水流速度；--------0-------J

(2)。角的度數(shù)；?:

(3)河的寬度。

第7頁，共12頁

四.舉一反三，鞏固練習參考答案

1.如圖所示，河水流動的速度為。且處處相同，河寬度為4.在船下水點A的下游距離為人處是

瀑布.為了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去），則（）

A.小船船頭垂直河岸渡河時間最短，最短時間為

B.小船軌跡垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度為Omax=

b

C.當小船沿軌跡AB渡河時，船在靜水中的最小速度為。min=￡

av

D.當小船沿軌跡A8渡河時，船在靜水中的最小速度為。min=

yla2+h2

答案D

第8頁，共12頁

解析小船船頭垂直河岸渡河時間最短，最短時間為，F(xiàn)，故選項A錯誤；小船軌跡垂直河

岸渡河，位移最小，大小為出但船頭必須指向上游，合速度不是最大，故選項B錯誤；小船

av

沿軌跡AB運動，船在靜水中的速度最小時,速度方向與AB垂直,可得Omin=故選

yja2+h2

項C錯誤，D正確.

2.一艘船以相對靜水的速度匕用最短的時間渡河，另一艘船以相對靜水的速度幺從同一

地點以最短的路程過河，兩船軌跡恰好重合（設河水速度保持不變），則兩船過河所用的時間

之比是（）

A.孫：%B.%：匕

廠2?2

C.vA.VfiI),VB:VA

答案D

解析兩船軌跡重合，知合速度方向相同，根據(jù)題意，匕

垂直于河岸，幺與合速度方向垂直，如圖，兩船的合位移相

山匕洽

等，則兩船渡河時間之比等于兩船合速度的反比，即￡=之

VB

tangVBNVBVB

=v=[cos。，而r==tan，=sin。，即cos6=%所

sin9

.VB

以￡=三，故D正確，A、B、C錯誤。

3.（多選）一條寬為人的河流，河水流速為％船在靜水中的速度為外，匕、外均不等于

零。設船頭的指向與上游河岸的夾角為0,要使船劃到對岸時航程最短，則0可能滿足

（）

.V2

A.sin—y2B.tan。%

V2V\

C.cos夕=匕D.cos，=七

答案CD

解析由題意可知，若船在靜水中的速度大于河水流速，即匹〉匕，當船的合速度垂直河

第9頁，共12頁

Vl

岸時，航程最短，如圖1所示，則有cos，=X；若船在靜水中的速度小于河水流速，即

第9頁，共12頁

V2

M,當船的合速度垂直船在靜水中的速度時，航程最短，如圖2所示，則有cos，=%。

故C、D正確，A、B錯誤。

4.如圖所示，一條河岸筆直的河流水速恒定，甲、乙兩小船同時從河岸的A點沿與河岸

的夾角均為0的兩個不同方向渡河。已知兩小船在靜水中航行的速度大小相等，則下列說法

正確的是()

A.甲先到達對岸上游8下游

B.乙先到達對岸

出水

C.渡河過程中，甲的位移小于乙的位移一j-

D.渡河過程中，甲的位移大于乙的位移_______3及________

A

答案C

解析兩小船在靜水中航行的速度大小相等，且渡河方向與河岸夾角均為0,所以船速

在垂直于河岸方向上的分速度相等；根據(jù)運動的獨立性，船在平行于河岸方向上的分速度不

影響過河時間，所以甲、乙兩船同時到達對岸，故A、B錯誤。甲船在平行河岸方向上的分速

度大小為：/甲〃=|/水一r甲cos，|,乙船在平行河岸方向上的分速度大小為：vZ.H-V^-\-vZ.

COS0t兩船在平行河岸方向上的分位移分別為X甲〃=r甲〃XLH=VLwt,則X乙〃>A'甲又

兩船在垂直河岸方向上的分位移相同，則渡河過程中，甲的位移小于乙的位移，故C正確，D

錯誤。

5.如圖所示，一艘輪船正在以4m/s的速度沿垂直于河岸方向勻速渡河，河中各處水流速

度都相同，其大小為匕=3m/s,行駛中，輪船發(fā)動機的牽引力與船頭朝向的方向相同。某時

刻發(fā)動機突然熄火，輪船牽引力隨之消失，輪船相對于水的速度逐漸減小，但船頭方向始終

未發(fā)生變化.求：

(1)發(fā)動機未熄火時，輪船相對于靜水行駛的速度大小;

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(2)發(fā)動機熄火后，輪船相對于河岸速度的最小值。

第10頁，共12頁

答案(1)5m/s(2)2.4m/s

解