廣西百色市平果市鋁城中學(xué)2024屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷（一）

2023年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)摸底考試預(yù)測(cè)卷1一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合.則A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先解不等式得集合A,B，再根據(jù)交集定義得結(jié)果.【詳解】選A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集、不等式解法，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2.設(shè)復(fù)數(shù)，且在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用除法公式化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式即可求解．【詳解】由于，得由得所以故選：D3.已知是實(shí)數(shù)，那么“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】更多低價(jià)優(yōu)質(zhì)資源可家衛(wèi)星MXSJ663【分析】解不等式求出的范圍，再根據(jù)必要不充分條件定義判定可得答案.【詳解】由得，解得，所以“”是“”成立必要不充分條件，即“”是“”成立的必要不充分條件.故選：B.4.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)角的終邊在直線上可得，利用二倍角余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得.【詳解】因?yàn)榻K邊在直線上，所以分別在第一象限、第三象限取點(diǎn)，,，，故選：A5.已知外接圓圓心為，半徑為，，且，則向量在向量上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件可知△ABC為直角三角形，向量在向量上的投影向量為．【詳解】由知為中點(diǎn)，又為外接圓圓心，，，，，，，∴在向量上的投影為：，向量在向量上的投影向量為：．故選：D．6.若函數(shù)在上存在極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，在上存在兩個(gè)不等實(shí)根或者一根在，一根在，分類(lèi)討論對(duì)稱軸的位置，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得出函數(shù)在上存在極小值點(diǎn)的條件，綜合以上范圍即得解．【詳解】因?yàn)椋栽谏洗嬖趦蓚€(gè)不等實(shí)根或者一根在，一根在．由于函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以，當(dāng)，即時(shí)，只需；當(dāng)時(shí)，由，只需，即；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，只需；當(dāng)時(shí)，在上無(wú)極小值點(diǎn).綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題，涉及極值點(diǎn)存在的條件應(yīng)用，實(shí)根分布以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用能力，屬于中檔題．7.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，且，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式、余弦定理，雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】雙曲線C的左焦點(diǎn)，漸近線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，由勾股定理得，在中，，所以，在中，，，，，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，即，因此，雙曲線C的離心率為，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用互補(bǔ)兩角的余弦值為零，進(jìn)而運(yùn)用余弦定理.8.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造，得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，由即得解.【詳解】構(gòu)造，則，又，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，即，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二．多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知一組數(shù)據(jù)：，若去掉12和45，則剩下的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列結(jié)論正確的是（）A.中位數(shù)不變 B.平均數(shù)不變C.方差不變 D.第40百分位數(shù)不變【答案】AD【解析】【分析】依次分別算出這組數(shù)據(jù)去掉12和45前后的平均數(shù)，方差，第40百分位數(shù)和中位數(shù)，對(duì)比即可得解.【詳解】將原數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，方差是，由，得原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4個(gè)數(shù)24.將原數(shù)據(jù)去掉12和45，得，其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，方差是，由，得新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第3個(gè)數(shù)24，故中位數(shù)和第40百分位數(shù)不變，平均數(shù)與方差改變，故A，D正確，B，C錯(cuò)誤.故選：AD.10.已知實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確是（）A.ab最小值為 B.的最小值為C.的最小值為6 D.【答案】BD【解析】【分析】利用基本不等式求最值可判斷A；配方法求最值可判斷B；應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最值可判斷C；常量分類(lèi)再利用的范圍可判斷D.【詳解】對(duì)于A：，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以，由，所以?dāng)時(shí)，有最小值，故B正確；對(duì)于C：由，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí),等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由，因?yàn)?，所以，，可得，所以，故D正確.故選：BD.11.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象所示，則（）A.該函數(shù)的解析式為B.該函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程為C.該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，D.把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，可得函數(shù)的圖象.【答案】AC【解析】【分析】利用圖象求得函數(shù)的解析式，可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，函數(shù)的最小正周期為，，又，可得，，則，，可得，所以，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由，解得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，可得到函數(shù)的圖象，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出；（3）取特殊點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值.12.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)P在正方形內(nèi)含邊界運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）．A.若點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，則B.若平面，則點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)C.存在點(diǎn)P，使得平面PBD截該正方體的截面是五邊形D.若，則四棱錐的體積最大值為1【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理、面面平行的性質(zhì)，結(jié)合正方體截面的性質(zhì)、棱錐的體積公式逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)槠矫?，而平面，所以，而，平面，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，所以平面，因此，所以本選項(xiàng)結(jié)論正確；B：連接，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理平面，而平面，因此平面平面，?dāng)平面，所以有點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確；C：由正方體的截面的性質(zhì)可知截面不可能是五邊形，所以本選項(xiàng)結(jié)論不正確；D：正方體的面積為，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，高最長(zhǎng)，此時(shí)有：，而，所以，所以的體積最大值為，本選項(xiàng)結(jié)論正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、面面平行的判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，，則________．【答案】8【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解方程再結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，所以，解得：.則.故答案為：8.14.某電視臺(tái)連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)宣傳廣告，則最后播放的是奧運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)奧運(yùn)宣傳廣告不連續(xù)播放的概率是_________.【答案】【解析】【分析】本題是一個(gè)等可能事件的概率，滿足條件的事件是首先從兩個(gè)奧運(yùn)廣告中選一個(gè)放在最后位置，第二個(gè)奧運(yùn)廣告只能從前三個(gè)中選一個(gè)位置排列，余下的三個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，共有種結(jié)果，得到概率．【詳解】解：由題意知本題是等可能事件的概率，所有事件數(shù)是滿足條件的首先從兩個(gè)奧運(yùn)廣告中選一個(gè)放在最后位置，有種結(jié)果，兩個(gè)奧運(yùn)廣告不能連放，第二個(gè)奧運(yùn)廣告只能從前三個(gè)中選一個(gè)位置排列，有3種結(jié)果，余下的三個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，共有種結(jié)果，共有種結(jié)果，要求的概率是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件的概率，本題解題的關(guān)鍵是做出符合題意的事件數(shù)，這里要應(yīng)用排列組合的原理來(lái)解出結(jié)果，屬于中檔題．15.已知圓，從坐標(biāo)原點(diǎn)O向圓C作兩條切線OP，OQ，切點(diǎn)分別為P，Q，若，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)到直線距離范圍得出到直線距離范圍，再得出點(diǎn)到直線距離與關(guān)系得出范圍.【詳解】由題可知，在中，，即，所在軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，到直線的距離為，則到直線的距離為，到直線的距離也可表示為，，可得的取值范圍是故答案為:16.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)的解析式為_(kāi)_______；若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】①.②.【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)即可求得函數(shù)的解析式；依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式組即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因是定義在上的奇函數(shù)，則時(shí)，，設(shè)，則，，所以函數(shù)的解析式為；顯然在上單調(diào)遞增，而為奇函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，且在上的圖象連續(xù)，于是得在上單調(diào)遞增，，令，依題意得：存在，使，從而有或，即或，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，已知___________.（在以下這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入上方的橫線上作為已知條件，并解答下面兩個(gè)問(wèn)題，如果選擇多個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）①；②.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇①，根據(jù)已知條件及正弦定理，再利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，再利用三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)特殊角即可求解；選擇②，根據(jù)已知條件及正弦定理，再利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式的逆用，再利用三角函數(shù)的特殊值對(duì)應(yīng)特殊角即可求解；（2）根據(jù)（1）結(jié)論及三角形的面積公式，再利用余弦定理和三角形的周長(zhǎng)公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】選擇①，由及正弦定理，得，，所以，則，由，所以.選擇②，由及正弦定理，得，即，又，，由，故.【小問(wèn)2詳解】由（1），，即，由余弦定理知：，所以，故，即，則的周長(zhǎng)為.18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可構(gòu)造方程組求得，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得；（2）由（1）可得，采用裂項(xiàng)相消法可求得，由此可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得：，解得：，.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，.19.某省參加2021年普通高考統(tǒng)考報(bào)名的所有考生均可選考英語(yǔ)口試科目，考生自愿參加，不作為統(tǒng)一要求.考生卷面成績(jī)采用百分制.某市從參加高三英語(yǔ)口語(yǔ)考試的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將其英語(yǔ)口試成績(jī)（均為整數(shù)）分成六組，…后得到如下部分頻率分布直方圖，已知第二組與第三組的頻數(shù)之和等于第四組的頻數(shù).（1）求頻率分布直方圖中未畫(huà)出矩形的總面積；（2）預(yù)估該市本次參加高三英語(yǔ)口語(yǔ)考試的1000名學(xué)生中成績(jī)處于的人數(shù)；（3）用分層抽樣的方法在高分（不低于80分）段的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為12的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，再?gòu)闹腥稳?人，記這3人中成績(jī)低于90分的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）0.45；（2）150名；（3）分布列見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率（小矩形面積）和為1計(jì)算；（2）設(shè)第三組與第四組的頻率分別為，，求得后可得所求人數(shù)；（3）計(jì)算出人數(shù)，得則的所有可能取值是1，2，3，計(jì)算出概率的分布列，由期望公式計(jì)算出期望．【詳解】（1）因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為，因?yàn)榫匦蔚拿娣e等于組距＝頻率，所以頻率分布直方圖中未畫(huà)出部分矩形的總面積為0.45.（2）設(shè)第三組與第四組的頻率分別為，.因?yàn)榈诙M與第三組的頻數(shù)之和等于第四組的頻數(shù).所以第二組與第三組的頻率之和等于第四組的頻率.所以，解得所以成績(jī)處于第三組之間的頻率為0.15.所以預(yù)估該市本次參加高三英語(yǔ)口語(yǔ)考試的000名學(xué)生中成績(jī)處于的人數(shù)為（名）.（3）由題意，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為（人），分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為（人）.因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ诟叻侄蔚膶W(xué)生中抽取一個(gè)容量為12的樣本，所以需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取10人；在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人；設(shè)“從樣本中任取3人，3人中成績(jī)少于90分”的人數(shù)為，則的所有可能取值是1，2，3.，，.所以隨機(jī)變量的分布列為123所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查頻率分布直方圖，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．求分布列問(wèn)題的步驟：（1）確定隨機(jī)變量的所有可能值，（2）計(jì)算出各可能值對(duì)應(yīng)的概率；（3）列出概率分布列；（4）由期望公式計(jì)算期望．20.如圖，已知長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn).將沿折起，使得平面平面.（1）求證：；（2）若點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)在何位置時(shí)，二面角的余弦值為.【答案】（1）（見(jiàn)解析2）見(jiàn)解析【解析】【詳解】試題分析：（1）先利用平面幾何知識(shí)得到線線垂直，再利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量共線得到有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間向量進(jìn)行求解.試題解析：（1）證明：長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，，.平面平面，平面平面，平面平面平面ADM.（2）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系設(shè)，則平面的一個(gè)法向量，,，設(shè)平面的一個(gè)法向量,則取，得，，所以，因?yàn)椋没蚪?jīng)檢驗(yàn)得滿足題意，所以為的三等分點(diǎn).21.已知點(diǎn)為橢圓：的右焦點(diǎn)，，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，橢圓上異于，的任意一點(diǎn)與，兩點(diǎn)連線的斜率之積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的兩條弦，相互垂直，若，，求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)已知條件，列出方程組，消去的坐標(biāo)，可求得,得到橢圓的方程；（2）∴，分別是