40江西省宜春市宜豐縣宜豐中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題

江西省宜春市宜豐縣宜豐中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（40分）1.正四面體棱長(zhǎng)為6，，且，以為球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)，，，則的最小值為（）A.24 B.25 C.48 D.50【答案】D【解析】【分析】先由,再由，推出，，,再由向量的數(shù)量積的計(jì)算公式得到，結(jié)合基本不等式，即可求解結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為，所以，同理可得,,又因?yàn)橐訟為球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)M，N，,所以，由，則因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)，所以故的最小值為.故選：D2.如圖，在三棱柱中，若，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理求解.【詳解】解：，故選：C3.已知向量，則在上的投影向量為（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由投影向量的概念求解即可.【詳解】∵，∴，，∴在上的投影向量為，故選：C.4.設(shè)直線的方向向量為，兩個(gè)不同的平面的法向量分別為，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用空間向量判定空間位置關(guān)系即可.【詳解】對(duì)于A，若兩個(gè)平面的法向量互相垂直，則兩個(gè)平面垂直，即A正確；對(duì)于B，若兩個(gè)不同平面的法向量互相平行，則兩個(gè)平面互相平行，即B正確；對(duì)于C，若一直線的方向向量與一平面的法向量平行，則該直線垂直于該平面，即C正確；對(duì)于D，若一直線的方向向量與一平面的法向量垂直，則該直線平行于該平面或者在該面內(nèi)，即D錯(cuò)誤.故選：D5.已知直線與平行，則（）A.1 B.7 C.或 D.1或7【答案】B【解析】【分析】由兩直線平行列出方程，再求解方程并驗(yàn)證即得.【詳解】由直線與平行，得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與，兩直線重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線與平行，符合題意，所以.故選：B6.已知，經(jīng)過兩點(diǎn)的直線方程都可以表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)參數(shù)是否為0進(jìn)行分類討論，將直線方程的不同形式進(jìn)行比較即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)都不為0時(shí)，所有經(jīng)過兩點(diǎn)的直線方程均可以用表示，即，當(dāng)中有一個(gè)為0時(shí)，只有選項(xiàng)符合題意，故選：.7.兩條直線與之間的距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意代入兩平行線之間的距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】由兩平行線之間的距離公式可得.故選：C8.若方程表示一個(gè)圓，則m可取的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】將題設(shè)中的一般式方程經(jīng)配方化成標(biāo)準(zhǔn)方程，依題須使右式大于零，求得的范圍，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由方程分別對(duì)進(jìn)行配方得：，依題意它表示一個(gè)圓，須使，解得：或，在選項(xiàng)中只有D項(xiàng)滿足.故選：D.二、多選題（20分）9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則（）A.線段長(zhǎng)度的最小值為B.當(dāng)直線斜率為時(shí)，中點(diǎn)坐標(biāo)為C.以線段為直徑的圓與直線相切D.存在點(diǎn)，使得【答案】ACD【解析】【分析】A：通過聯(lián)立思想得到，由此可計(jì)算出，利用焦點(diǎn)弦公式以及基本不等式求解出的最小值；B：利用點(diǎn)差法求解出縱坐標(biāo)后可判斷；C：利用拋物線定義計(jì)算出圓心到準(zhǔn)線的距離，并判斷距離是否等于半徑即可；D：代入坐標(biāo)，計(jì)算出的值，根據(jù)結(jié)果再進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率不為，設(shè)，，聯(lián)立可得，且，所以，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：拋物線的準(zhǔn)線方程，設(shè)中點(diǎn)為，過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，如下圖：由拋物線的定義可知：，即等于以為直徑的圓的半徑長(zhǎng)，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，所以，由選項(xiàng)A可知：，所以，所以此時(shí)，所以的傾斜角互補(bǔ)，所以，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知是拋物線的過焦點(diǎn)的一條弦，設(shè)，則有：（1）；（2）.10.若圓上恰有兩點(diǎn)到直線的距離等于1，則的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離為2，結(jié)合題中條件可得，解出即可.【詳解】圓心到直線的距離，因?yàn)閳A上恰有兩點(diǎn)到直線的距離等于1，所以，即，解得.故選:.11.已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由相同漸近線的雙曲線的特征即可得解.【詳解】由題可設(shè)雙曲線的方程為，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的方程為，而BD中的方程均不能化成“”這樣的形式.故選：AC.12.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.當(dāng)時(shí)，C.以線段為直徑的圓與直線相切D.當(dāng)最小時(shí)，切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】先設(shè)直線的方程為，再聯(lián)立直線與拋物線方程得到關(guān)于的一元二次方程，從而得到，，再根據(jù)拋物線的定義及借助基本不等式即可判斷A；先結(jié)合A得到，，再根據(jù)題意得到，，進(jìn)而即可判斷B；設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影為，，，根據(jù)題意求得即可判斷C；結(jié)合A可得，當(dāng)最小時(shí)，不妨取，則可設(shè)切線的方程，再拋物線方程得到關(guān)于的一元二次方程，從而得到，從而得到切線方程，再聯(lián)立準(zhǔn)線方程即可求出交點(diǎn)，進(jìn)而即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，依題意可設(shè)直線的方程為，，，，則，，聯(lián)立，消整理得，則，代入得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故A正確；對(duì)于B，結(jié)合A可得，，由，得，解得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影為，，，則，，，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故C正確；對(duì)于D，結(jié)合A可得，當(dāng)最小時(shí)，不妨取，則可設(shè)切線的方程為，聯(lián)立，消整理得，則，解得，所以切線的方程為，聯(lián)立，解得，，即切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確．故選：ACD．三、填空題（20分）13.已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A，B在橢圓上，于，，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為______.【答案】6【解析】【分析】利用橢圓的性質(zhì)，根據(jù)，可得，，求解，然后推出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)．【詳解】由題意橢圓的焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A，B在橢圓上，且于，，可得，將代入，可得，從而，又，所以解得.所以所求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6.故答案為：6.14.在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間中兩點(diǎn)間距離公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)，則，，由兩點(diǎn)間的距離公式可得：.故答案為：15.設(shè)平面向量，，其中為單位向量，且滿足，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】由兩邊平方可得，根據(jù)，可得，根據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，可?所以，所以的最小值為.故答案為:.16.若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則________.【答案】12【解析】【分析】由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，從而可求解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得.故答案為:12.四、解答題（70分）17.某食品加工廠生產(chǎn)出，兩種新配方飲料，現(xiàn)從生產(chǎn)的，這兩種飲料產(chǎn)品中隨機(jī)抽取數(shù)量相同的樣本，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，規(guī)定指標(biāo)值小于85的為廢品，在內(nèi)的為一等品，大于或等于115的為特等品.現(xiàn)把，兩種配方飲料的質(zhì)量指標(biāo)值的測(cè)量數(shù)據(jù)整理如下表及圖，其中飲料的廢品有6件.配方飲料質(zhì)量指標(biāo)值的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)822268B配方飲料質(zhì)量指標(biāo)值的頻率分布直方圖（1）求，的值；（2）若從，兩種飲料中選擇一種進(jìn)行推廣，以兩種飲料的質(zhì)量指標(biāo)值的均值為判斷依據(jù)，試確定推廣哪種比較好?（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）【答案】（1）（2）選擇配方較好【解析】【分析】（1）計(jì)算出配方的樣本容量，結(jié)合配方的頻數(shù)分布表可求得的值，利用頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1可求得的值；（2）計(jì)算出、配方質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差，比較大小后可得出結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)锳、配方樣本容量相同，設(shè)為，由于配方廢品有6件，由配方的頻率分布直方圖可知，廢品的頻率為，解得，所以，，由，解得.【小問2詳解】由（1）及A配方的頻數(shù)分布表得，A配方質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為，質(zhì)量指標(biāo)值的方差為，由配方的頻率分布直方圖知，B配方質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為，質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為，所以，，，即兩種配方質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)相等，但配方質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差比配方質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差大，所以，選擇配方較好.18.已知圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為1且過點(diǎn)的直線與圓相切，圓：.（1）若圓與圓相交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度；（2）若直線：與圓交于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，使得.【解析】【分析】（1）斜率為1且過點(diǎn)直線方程為，由其與圓相切結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得圓的半徑，從而可得圓的方程.圓的方程減去圓的方程，可得所在的直線方程為，根據(jù)垂徑定理可求；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，可得三點(diǎn)共線，根據(jù)斜率公式求出，由垂直關(guān)系可得，從而可求的值，再驗(yàn)證直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)即可.【小問1詳解】斜率為1且過點(diǎn)直線方程為，即.則到直線的距離為，即為圓的半徑，所以圓的方程為.由圓的方程減去圓的方程，可得，即.因?yàn)閳A與圓相交于，兩點(diǎn)，則所在的直線方程為.到的距離為，所以.【小問2詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得.設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?又，所以三點(diǎn)共線.圓：的圓心為,半徑為3，故，所以，即.因?yàn)橹本€：，所以，解得,此時(shí)直線：.圓心到直線的距離為，所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以存在實(shí)數(shù)，使得.19.已知，分別是橢圓的左頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)，，是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，．（1）求的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，，是直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，證明：直線，的交點(diǎn)在一條定直線上．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由橢圓得對(duì)稱性可得，可得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓，利用韋達(dá)定理表示，，分別表示，聯(lián)立可得，即可得證.【小問1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，其右焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性可知，即，又，所以，，則橢圓方程為：；【小問2詳解】由已知可得直線的斜率一定存在，則設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓，得，，即，則，，設(shè)，，，則直線的方程為，直線的方程為，兩式相減可得又，所以，即，解得，所以直線與的交點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．20.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）試在線段上找一點(diǎn)，使得平面，并證明；（2）在（1）的條件下，若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）為線段的中點(diǎn),證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面.取的中點(diǎn)，連接，可證明四邊形是平行四邊形，，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）取的中點(diǎn)，連接，可證明，再證明≌可得，由面面垂直的性質(zhì)可得兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量法即可求解.【小問1詳解】當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面.證明如下：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.所以當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面.【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以且，，因?yàn)閭?cè)面為正方形，所以,因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以，則，即，因?yàn)?，所以≌，則，所以，又，所以，所以兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以.設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，故.所以直線與平面所成角的正弦值為.21.已知，.（1）若，求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用空間向量夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解；(2)根據(jù)兩向量的共線定理，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解.【小問1詳解】由已知可得，，∴.【小問2詳