理論力學(xué)課件：平面一般力系

平面一般力系3.1力線平移定理3.2平面一般力系的簡化主矢和主矩3.3

平面一般力系的平衡條件平衡方程3.4物體系統(tǒng)的平衡靜定與超靜定問題的概念3.5平面簡單桁架的內(nèi)力分析3.6摩擦思考題

平面一般力系是指各力的作用線共面且任意分布的力系。

平面一般力系是工程中最常見的力系,很多工程實際問題都可簡化為平面一般力系問題來處理。例如,圖3-1所示為工業(yè)廠房結(jié)構(gòu)中的立柱,其上分別作用有上部屋架結(jié)構(gòu)、吊車梁傳來的荷載F1、F2及自重F3,風(fēng)荷載q及固定端約束反力等,這些力組成一個平面一般力系。圖3-1

圖3-2所示為水利工程中常見的水壩,作用于該單位長度壩體上的力系可簡化為位于該段壩中心對稱平面內(nèi)的一般力系。曲柄連桿機構(gòu)(見圖3-3)的受力也形成平面一般力系。圖3-2圖3-3

3.1力線平移定理

力線平移定理:作用在剛體上的力可以平行移動到剛體內(nèi)的任一指定點。欲不改變力對剛體的效應(yīng),必須同時在該力與指定點所決定的平面內(nèi)附加一力偶,該附加力偶之矩等于原力對指定點的矩。

證明要將圖3-4(a)所示的作用在剛體上A點的力F平行移動到其上O點處。由靜力學(xué)公理可知,在O點處加上一對平衡力F'與F″且使其作用線與力F平行,并使F=F'=-F″,如圖3-4(b)所示。顯然,等值、反向、不共線的平行力F與F″組成一力偶(F,F″),稱為附加力偶。這樣在力F與點O所決定的平面內(nèi),作用于點A的力F就與作用于點O的力F'、力偶矩為m的力偶(F,F″)所組成的力系等效,如圖3-4(c)所示。

顯然,附加力偶(F,F″)的矩為

上式中d為該附加力偶的力偶臂。由此,定理得到證明。圖3-4

力線平移定理是力系向一點簡化的理論基礎(chǔ),同時,也可用來分析力對物體的作用效應(yīng)。例如,圖3-5(a)所示的單層廠房立柱牛腿上承受著吊車梁傳來的荷載F,力F到柱軸線的偏心距為e。在分析力F對柱的作用效應(yīng)時,根據(jù)力線平移定理,將力F平移到柱軸線上,同時附加一力偶m=Fe,如圖3-5(b)所示。力F'使柱子產(chǎn)生壓縮變形,力偶m使柱子產(chǎn)生彎曲變形,由此可見力F使立柱牛腿以下部分產(chǎn)生壓彎組合變形。圖3-5

例如用扳手和絲錐攻絲,如圖3-6(a)所示。若只在扳手的一端加力F,由力線平移定理,將力F平移到O點,得到力F'和力偶M,如圖3-6(b)所示。力偶M使絲錐轉(zhuǎn)動,力F'使絲錐產(chǎn)生彎曲變形,從而影響加工精度。所以在攻絲時,需要用雙手在扳手上反方向均勻加力,使工件僅受力偶的作用,這樣可保證工件的加工精度。圖3-6

3.2平面一般力系的簡化主矢和主矩

1.平面力系的簡化在圖3-7(a)所示的剛體上的A1,A2,…,An點分別作用著力F1,F2,…,Fn?，F(xiàn)將平面力系F1,F2,…,Fn中的各力向同平面內(nèi)任一點O簡化,O點稱為簡化中心。依據(jù)力線平移定理,將各力分別平行移動到O點,得到一個作用于該點的平面匯交力系F'1,F'2,…,F'n和一個附加的平面力偶系m1,m2,…,mn,如圖3-7(b)所示。這樣,平面力系就簡化為一個平面匯交力系和一個平面力偶系。圖3-7

綜上所述可得如下結(jié)論:平面力系向作用面內(nèi)任一點簡化可得到一個力和一個力偶。這個力作用于簡化中心,其大小和方向等于該力系的主矢;這個力偶在該力系所在平面之內(nèi),其力偶之矩等于該力系對簡化中心的主矩。

圖3-8(a)所示的雨篷嵌入墻內(nèi)的一端、圖3-8(b)所示的廠房立柱固定在基礎(chǔ)內(nèi)的端部、圖3-8(c)所示的車刀固定于刀架部分,都構(gòu)成了固定端約束,圖3-9(a)為固定端約束簡圖。下面應(yīng)用平面力系簡化的方法來分析工程中常見的固定端(也稱插入端)支座的約束反力。圖3-8

固定端約束對被約束構(gòu)件的作用是一種與主動力有關(guān)且在接觸面處分布復(fù)雜的力系。在平面問題中,構(gòu)件所受約束反力為平面力系(見圖3-9(b))。將這些約束反力向構(gòu)件端部截面中心點A處簡化,得到一個力RA和一個力偶mA(見圖3-9(c)),RA和mA

分別稱為固定端支座在點A處對物體的約束反力和約束反力偶。通常情況下未知反力RA可用兩個相互垂直的分力XA和YA來代替(見圖3-9(d))。顯然反力XA

、YA

分別限制物體在水平方向和鉛垂方向移動,反力偶mA

限制物體繞A點轉(zhuǎn)動。圖3-9

2.平面力系的簡化結(jié)果分析

平面力系向作用面內(nèi)任一點簡化,一般可得到一個力R'和一個矩為MO的力偶。根據(jù)力系的主矢R'和主矩MO

可能出現(xiàn)的幾種情況作進一步討論,討論如下。

1)力系簡化為力偶

若R'=0,MO

≠0,則力系簡化為一個力偶,該力偶矩等于原力系對簡化中心的主矩即MO

=∑mO(F)。

2)力系簡化為合力

(1)若R'≠0,MO

=0,則力系簡化為一個作用線過簡化中心的合力,合力矢等于力系的主矢R',即R'=∑F。

(2)若R'≠0,MO≠0,則力系向點O簡化得到一個作用線過簡化中心O的力和一個力偶,如圖3-10(a)所示。這個力和力偶可合成為一個作用線不過簡化中心的力:將力偶矩為MO的力偶用力偶(R″,R)來代替,且令R'=R=-R″,如圖3-10(b)所示。根據(jù)加減平衡力系公理,去掉R'與R″這對平衡力,這樣就得到一個作用線過O'點的與原力系等效的力R,如圖3-10(c)所示。顯然力R與原力系主矢R'相同,且從點O到R作用線的距離為圖3-10

3)力系平衡

若R'=0,MO

=0,簡化后的平面匯交力系和平面力偶系都處于平衡狀態(tài),則原力系也處于平衡狀態(tài)。

3.合力矩定理

在力系向作用面內(nèi)任一點簡化時,只要所得主矢R'不為零,就有合力R=R'=∑F。

由圖3-10(c)可知,合力R對點O之矩為

而主矩MO=∑mO(F),因此有mO

由于O點是力系作用面內(nèi)任意選取的一點,所以式(3-6)具有普遍意義,可敘述如下:

平面力系如果有合力,則合力對力系所在平面內(nèi)任一點的矩,等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。此即平面力系的合力矩定理。

【例3-1】圖3-11所示的簡支梁AB受三角形分布荷載的作用,梁長為l,設(shè)分布荷載集度的最大值為q0(N/m),試求該分布荷載的合力大小及作用線位置。

解圖3-11所示的三角形分布荷載為一平行分布力系。現(xiàn)欲求該荷載的合力大小和作用線的位置,需要建立坐標系A(chǔ)xy。在距點A為x處取一微段dx,由幾何關(guān)系可知,x處荷載集度為圖3-11

【例3-2】圖3-12所示的正方形的邊長為2m,其上有均布荷載q=50N/m,集中力P=4002N,集中力偶M=150N·m。試求該力系簡化的結(jié)果。圖3-12

3.3-平面一般力系的平衡條件平衡方程

將平面力系向作用面內(nèi)任一點簡化得到一個匯交力系和一個力偶系,其中匯交力系的合力就是主矢R',而主矩MO則為力偶系的合力偶。由匯交力系、力偶系平衡的充要條件可知,平面一般力系平衡的充要條件:

由式(3-3)、(3-4)和式(3-7)有

【例3-3】圖3-13所示的簡支梁的跨度l=4a,梁上左半部分受均布載荷q作用,截面D處有矩為Me

的力偶作用。試求支座處的約束反力,梁自重及各處的摩擦均不計。圖3-13

【例3-4】求圖3-14所示的鋼架的支座反力。圖3-14

【例3-5】圖3-15(a)所示為懸臂式起重機,A、B、C處均為鉸接。已知橫梁AB自重W1=1kN,起吊重物W2=8kN,桿BC重量不計。試求BC桿所受的力及支座A的約束反力。圖3-15

圖3-16

(2)三矩式。該平衡方程形式為圖3-17

【例3-6】用平衡方程的二力矩式求解圖3-13所示簡支梁的支座反力。

解根據(jù)圖3-13(b)所示的受力圖,列出平衡方程:

解得

【例3-7】圖3-18(a)所示為一管道支架,設(shè)每一支架所承受的管重Q1=12kN,Q2=7kN,且支架重量不計。求支座A和C處的約束反力,尺寸如圖3-18(a)所示。圖3-18

各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行的力系稱為平面平行力系,如圖3-19所示。該力系是平面力系的一種特殊情形。因此,它的平衡方程可由平面力系的平衡方程導(dǎo)出。圖3-19

【例3-8】圖3-20所示的塔式起重機,懸臂長12m,機身重G=220kN,其最大起吊重量P=50kN。起重機兩軌道A、B間距為4m,平衡重Q到機身中心線的距離為6m。

試求:

(1)當起重機滿載時,要保持機身平衡,平衡重Q之值?

(2)當起重機空載時,要保持機身平衡,平衡重Q之值?

(3)當Q=30kN,且起重機滿載時,軌道A、B作用于起重機輪子的反力?圖3-20

【例3-9】圖3-21所示的水平雙外伸梁上作用著集中荷載2kN,分布荷載q的最大值為1kN/m,求支座A、B的反力。圖3-21

3.4物體系統(tǒng)的平衡靜定與超靜定問題的概念

由若干個物體(零件、構(gòu)件或部件)用某些約束方式連接而成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng),簡稱為物系。研究物體系統(tǒng)的平衡問題比研究單個物體的平衡問題要復(fù)雜得多。

研究物體系統(tǒng)的平衡問題時,除了要分析系統(tǒng)以外的物體對物系的作用力,還要分析系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力。系統(tǒng)外物體對所選研究對象的作用力稱為外力,而系統(tǒng)內(nèi)部各物體間的相互作用力稱為內(nèi)力。由于內(nèi)力總是成對的出現(xiàn),且每對內(nèi)力中的兩力大小相等、共線、反向,所以對于物體系統(tǒng)其內(nèi)力矢量和為零。因此,當選取系統(tǒng)為研究對象探究其平衡問題時,內(nèi)力不應(yīng)出現(xiàn)在受力圖和平衡方程中。

在靜力學(xué)中,由n個物體組成的系統(tǒng)在平面力系作用下可列出3n個獨立的平衡方程,亦可解出3n個未知量。當然,若系統(tǒng)中某些物體受平面匯交力系或平面平行力系的作用,則系統(tǒng)的獨立平衡方程數(shù)以及所能求出的未知量數(shù)均應(yīng)相應(yīng)減少。當系統(tǒng)中未知量的數(shù)目多于獨立平衡方程數(shù)3n時,未知量數(shù)不能全部由3n個獨立的平衡方程求出,這樣的問題稱為超

靜定問題(或靜不定問題),反之稱為靜定問題。未知量的數(shù)目與3n個獨立平衡方程數(shù)之差稱為超靜定次數(shù)或靜不定次數(shù)。如圖3-22所示的AB梁和圖3-23所示的兩鉸剛架的平衡問題都是靜不定問題,且超靜定次數(shù)均為1次。

圖3-22圖3-23

【例3-10】圖3-24(a)所示為多跨靜定梁ABC,其中A端為固定端約束,C處為可動鉸支座,B處是連接AB、BC梁的中間鉸。已知P=20kN,q=5kN/m,α=45°,求支座A、C的反力和中間鉸B處的壓力。圖3-2

解該多跨靜定梁ABC由基本部分AB和附屬部分BC組成。對這種結(jié)構(gòu)通常先研究附屬部分,然后計算基本部分。

以BC梁為研究對象,其受力如圖3-24(b)所示,列平衡方程:

解得

再取AB梁為研究對象,受力如圖3-24(c)所示,列平衡方程:

【例3-11】圖3-25所示為三鉸鋼架,求A、B支座處的約束反力及C處的壓力。剛架自重不計,所受荷載集度為q(N/m)。圖3-25

【例3-12】在圖3-26(a)所示結(jié)構(gòu)中,已知l=2R,BD=2l,重物的重量為P,各桿及滑輪重量不計,鉸鏈處均為光滑,繩子不可伸長,試求構(gòu)架的約束反力。圖3-26

3.5平面簡單桁架的內(nèi)力分析

平面桁架是平面力系平衡方程的應(yīng)用,下面對它進行內(nèi)力分析。所謂平面桁架,就是組成桁架的所有桿件都在同一平面內(nèi),且桿端以適當?shù)姆绞竭B接而組成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。桿端相連接的地方稱為節(jié)點。

工程上為簡化計算通常對桁架作如下假設(shè):

①桁架的節(jié)點都是由光滑的鉸鏈組成;

②組成桁架的桿件都是直桿;

③所有的外力都在桁架平面內(nèi)且集中作用在節(jié)點上;

④與荷載比較,桿件的重量都可忽略不計,如果需要計入自重則應(yīng)將桿件自重平均分配到兩端節(jié)點上。

符合以上條件的桁架稱為理想桁架。根據(jù)這樣的假設(shè)組成桁架的所有桿件都是二力桿件。

求解平面靜定桁架內(nèi)力的兩種方法:

1.節(jié)點法

若平面桁架在外力作用下處于平衡狀態(tài),則組成桁架的每個節(jié)點也處于平衡狀態(tài)。把截取桁架上某一節(jié)點作為研究對象并考慮其平衡問題求出桁架各桿內(nèi)力的方法稱為節(jié)點法。由于節(jié)點為桿件的鉸接點,所以作用在節(jié)點上的力為一平面匯交力系,且可求解兩個未知量。圖3-27

2.截面法

當只需要求桁架中某些桿件的內(nèi)力時,可用截面法。所謂截面法,就是假想用一截面將桁架在適當部位截開(包含欲求內(nèi)力的桿件),取其中一部分為研究對象,再根據(jù)平面一般力

系平衡方程,求出某些桿件的內(nèi)力(可求出三個未知量)。圖3-28

3.6摩擦

按照接觸物體間相對運動的情況,通常把摩擦分為滑動摩擦和滾動摩擦兩類。當兩物體接觸處有相對滑動或相對滑動的趨勢時,在接觸處的公切面內(nèi)將受到一定的阻力阻礙其滑動,這種現(xiàn)象稱為滑動摩擦。當兩物體間有相對滾動或滾動的趨勢時,在接觸處產(chǎn)生的對滾動的阻礙稱為滾動摩阻(或滾動摩擦)。

1.靜滑動摩擦

在圖3-29中將一重W的物塊放置在水平粗糙的支承面上。在物塊上作用一水平力P,當P逐漸增大且不超過一定的限度時,物塊仍然保持靜止。這說明除了在豎直方向有支承平面對物塊的約束反力N與重量W平衡外,一定有一個與物塊運動趨勢方向相反且與P大小相等的沿接觸面的力F來阻止物塊的滑動。力F就是兩接觸面間產(chǎn)生的切向阻力即靜滑動摩擦力,簡稱靜摩擦力。圖3-29

由靜力學(xué)平衡方程有

即F=P。由此可見,當物塊靜止時,靜摩擦力F的大小隨著水平力P的變化而變化。這是靜摩擦力與一般約束反力的共同點。

靜滑動摩擦力的概念:靜滑動摩擦力是一種約束反力,它的方向與物體相對運動趨勢的方向相反;它的大小隨主動力的變化而變化由靜力平衡來確定,其大小的變化范圍為

Fmax可由實驗來測定,實驗結(jié)果表明,最大靜摩擦力Fmax的方向與物體相對滑動趨勢的方向相反,其大小與接觸面的正壓力N(即法向反力)的大小成正比,即

式(3-13)稱為庫倫定律或靜摩擦定律。

式中無量綱的比例系數(shù)f稱為靜滑動摩擦系數(shù),簡稱靜摩擦系數(shù)。它的大小主要與接觸物體的材料和接觸面的表面狀況(粗糙度、濕度、溫度等)有關(guān)。表3-1給出了工程上常見的

幾種材料的靜滑動摩擦系數(shù)。

值得注意,式(3-13)中正壓力(即法向反力)N的大小,一般不等于物體的重量,也不一定等于物體的重力在接觸面法線方向的分力,其值需要由平衡方程確定。例如,在圖3-30中重為W的物塊放置在傾角為α的斜面上,受一水平力P作用,則物塊與斜面間的正壓力N(也就是物塊所受的法向反力)可以由沿斜面法線方向的平衡方程求出。

即圖3-30

摩擦角及自鎖的概念

在圖3-31(a)中,把法向反力N和靜摩擦力F的合力R稱為支承面對物體的全約束反力,合力R的作用線與接觸面公法線的夾角為φ。顯然,角度φ隨靜摩擦力的變化而變化,當物體處于臨界平衡狀態(tài)時,靜摩擦力達到最大值Fmax,角度φ也相應(yīng)達到最大值φm,如圖3-31(b)所示。全約束反力與法線間的夾角的最大值φm稱為摩擦角。顯然有

即摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)。圖3-31

摩擦角與靜摩擦系數(shù)一樣,也是表征材料摩擦性質(zhì)的重要參數(shù)。摩擦角與摩擦系數(shù)間的數(shù)值關(guān)系又為幾何法求解考慮摩擦的平衡問題提供了可能性。

把重力W與主動力P的合力稱為全主動力Q。如果全主動力Q的作用線位于摩擦角(錐)之內(nèi),那么無論力Q的數(shù)值有多大,其水平分力P的值小于等于摩擦力Fmax的值,物體總是處于平衡狀態(tài),這種現(xiàn)象稱為自鎖,如圖3-32(a)所示。如果全主動力Q的作用線位于摩擦角(錐)之外,那么無論力Q的數(shù)值有多小,其水平分力P的值都大于摩擦力Fmax的值,物體發(fā)生滑動,如圖3-32(b)所示。工程上自鎖原理應(yīng)用很廣泛,例如螺旋千斤頂、螺釘、楔塊以及機械中的夾具等都是依據(jù)自鎖原理設(shè)計的。圖3-32

2.動滑動摩擦

在圖3-31中,如果主動力P的值大于靜滑動摩擦力Fmax的值,物體相對于支承面發(fā)生滑動,這時接觸面之間產(chǎn)生的阻礙滑動的摩擦力稱為動滑動摩擦力,簡稱動摩擦力。

實驗證明,動摩擦力的方向與物體運動的方向相反,其大小與兩物體間的正壓力N成正比,即

式(3-15)稱為動滑動摩擦定律,f'稱為動摩擦系數(shù)。

3.考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題

帶有與不帶有摩擦的平衡問題的共性是作用在物體或物體系統(tǒng)上的力系必須滿足平衡條件。然而考慮摩擦?xí)r的平衡問題還有其自身特點:

①受力圖中多了摩擦力,列平衡方程時也必須考慮摩擦力。摩擦力除了滿足平衡方程外,還必須滿足方程F≤Fmax;

②由于0≤F≤Fmax,因而考慮摩擦?xí)r平衡問題的解答往往是一個范圍,即可能是力、尺寸或角度的一個平

衡范圍值。

【例3-15】在圖3-34中,重為G的物塊A置于傾角為α的斜面上。物塊與斜面間的摩擦角為φm,且α>φm,試求維持物塊A靜止于斜面上的水平力Q的大小。圖3-34

解由于α>φm,若不加適當?shù)乃搅物塊將向下滑動,加上水平推力Q可維持物塊A的平衡。

取物塊A為研究對象。設(shè)物塊A有向上滑動的趨勢且處于臨界平衡狀態(tài),其受力如圖3-34(b)所示。在圖示坐標系下列出平衡方程:

由本題解答可看出:

①若斜面光滑,即f=0,則Q=Qmin=Qmax=G·tanα。這說明不考慮摩擦?xí)r使物塊靜止的力Q的大小只有一個值,考慮摩擦?xí)r使物塊平衡的力Q的大小可在一定范圍內(nèi)變化。

②計算Qmax、Qmin是根據(jù)物體的運動趨勢及臨界平衡狀態(tài)進行的,因此受力圖中摩擦力的指向不能任意假定,一定要按與物體運動趨勢相反的方向畫出。

【例3-16】在圖3-35所示的結(jié)構(gòu)中,構(gòu)件1、2用楔塊3聯(lián)結(jié),已知楔塊與構(gòu)件間的摩擦系數(shù)f=0.1,求結(jié)構(gòu)平衡時楔塊3的傾斜角α。圖3-35

解研究楔塊3,其受力如圖3-35(b)所示。其中R=F-+N,R-=F-+N-,在平衡狀態(tài)下由二力平衡公理有R=R1。

在水平方向列投影方程:

顯然有

由此解得

所以結(jié)構(gòu)平衡時楔塊3的傾斜角α≤11°26',即結(jié)構(gòu)自鎖。

4.滾動摩阻的概念

將一半徑為r,重為P的輪子放在固定的水平面上,圓輪在重力P和支承反力N的作用下處于平衡狀態(tài),由平衡條件有N=-P。現(xiàn)在圓輪的中心點O加一水平力Q,當Q值不超過某一特定值時,圓輪仍保持靜止狀態(tài),既不滑動也不滾動。由靜力平衡條件可知,在水平方向一定存在一個力F,使得F=-Q,而力F只能是由圓輪與地面之間產(chǎn)生,即為靜滑動摩擦力。顯然力F、Q形成一力偶(F,Q),其力偶矩的大小為Qr。由于圓輪處于靜止狀態(tài),所以一定存在一個阻礙圓輪滾動的反力偶M與力偶(F,Q)平衡,該反力偶M稱為靜滾動摩擦力偶,其力偶矩的大小為M=Qr,轉(zhuǎn)向與圓輪滾動的趨勢相反,如圖3-36所示。圖3-36圖3-37

【例3-17】半徑為r、重為P的車輪,放置在傾斜的鐵軌上,如圖3-38所示。已知鐵軌傾角為α,車輪與鐵軌間的滾動摩擦系數(shù)為δ,求車輪