極限存在準則兩個重要極限17無窮小的比較

第六節(jié)極限存在準則兩個重要極限1內容提要1.兩個極限存在準則；2.兩個重要極限。

教學要求

1.了解兩個極限存在準則（夾逼準則和單調有界準則）；2.熟練掌握用兩個重要極限求極限。(1)(2)2一、極限存在準則1.夾逼準則注：上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限3注:上述兩個準則稱為夾逼準則..并且他們的極限是容易求出且相等。利用夾逼準則求極限關鍵是構造出數(shù)列和4例1求解由夾逼定理得又52.單調有界準則單調增加單調減少單調數(shù)列幾何解釋:滿足條件如果數(shù)列xn6二、兩個重要極限

(x

取弧度單位)如圖所示,作單位圓則圓心角∠AOB=x，

顯然有AODAOBSSSDD<<AOB扇形

即xxxtansin<<

分別除以

xsin

1.對于情形,有證:x<<7再取倒數(shù),得1sincos<<xxx

………………(1)由于用x-代替x時xcos和xxsin都不變號不等式(1)仍成立,恒有不等式

1sincos<<xxx

成立。3．由于1coslim0=?xx,且11lim0=?x,由夾逼準則可知,1sinlim0=?xxx.證畢從而當時,2.對于的情形,所以當時,（偶函數(shù)），8注意：解例1求9

例2求例3求解解10例4求解11解當￥?n時,因此例5,有12例6解13練習解解令.00??tx則14解解15

證明略(用兩個準則證明)。

例1

解16解法一令tx=-

則當￥?x時

有￥?t

所以例2

求17

解法二18解

令tx=1

當0?x時

有￥?t

所以例3

(3)互倒注意：19解解解練習20小結二、兩個重要極限重要極限一:

重要極限二：(3)互倒夾逼準則;單調有界準則.一、兩個準則21作業(yè)P56習題1-61(1)(3)(5)2(1)(2)(3)22第七節(jié)無窮小的比較23內容提要無窮小量的比較。教學要求熟練掌握無窮小的比較、等價無窮小量的性質以及一些常見的等價無窮小。24由無窮小的性質可知,兩個無窮小的和、差、積仍為無窮小,

但兩個無窮小的商會出現(xiàn)不同的情況。如:當0?x時,函數(shù)x2,xsin都是無窮小。但是0=￥=21=(3)2sinxx25由此可見,無窮小雖然都是以0為極限的變量,

但它們趨向0的速度不一樣,趨向0的“快”、“慢”程度,我們引入無窮小的“階”的概念。為了反映無窮小26定義.若則稱

是比

高階的無窮小,若若若若或設a,b是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱

是比

低階的無窮小;則稱

是

的同階無窮小;則稱

是關于

的k階無窮小;則稱

是

的等價無窮小,記作27

例如

03lim30=?xxxQ

)0(?x)3(3=\xox1sinlim0=?xxxQ

)0(?x~sin\xx1-\x與12-x同階無窮小)1(?x)0(?x28可以證明:當0?x時,有下列等價無窮?。簒~xsinx~xtanx~ex1-x~x)1ln(+2~2xcos1x-利用等價無窮小可以簡化某些極限的運算,有下面定理：定理1.29定理2設當0xx?時,)(~)(xxaa￠,)(~)(xxbb￠且)()(lim0xxxxab￠￠?存在(或￥)

,)()(lim0xxxxab￠￠=?則)()(lim0xxxxab?證明

因)()(lim0xxxxab?)()(lim0xxxxab￠￠=?(證畢))()(xxaa￠)()(xxab￠￠)()(xxbb￠lim0xx=?)()(lim0xxxxaa￠?)()(lim0xxxxab￠￠?)()(lim0xxxxbb￠=?23lim0=?xxx例1求2tan3sinlim0?xxx,0時當?x300=0lim30=?xxlim30-=?xxxx這種解法是錯誤的！解正確的解法如下.正確的解法如下.30sintanlim2xxxx-?求例,0時當?xQ.sin不是無窮小是無窮小，而時，xxxp?Q31cos21lim0=?xxcos2lim320.=?xxxxxcos)cos1(sinlim30-=?xxxxxsintanlim30-?xxxx解注意：用無窮小的等價替換簡化極限運算時，可用無窮小量替換分子或分母，也可替換分子或分母的因式，而對分子或分母中“+”，而對分子或分母中“+”，部分不能分別作替換。30sintanlimxxxx-?求,0時當?x32小結1.無窮小的比較:反映了同一過程中,兩無