南通市2023屆高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

南通市2023屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測模擬數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.4.本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得集合，根據(jù)集合的并集運算即可得答案.【詳解】解得，解得，故得，故，故選：B．2.已知復(fù)數(shù)，滿足，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)位于第一象限，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的乘方運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】設(shè)，則，則，所以，，，所以，則有，解得，又復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)位于第一象限，所以，代入可得．故選：C3.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)列為遞增數(shù)列，列出不等式組求解即可.【詳解】因為，是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實數(shù)t的取值范圍為，故選：C4.俄國著名飛機(jī)設(shè)計師埃格?西科斯基設(shè)計了世界上第一架四引擎飛機(jī)和第一種投入生產(chǎn)直升機(jī)，當(dāng)代著名的“黑鷹”直升機(jī)就是由西科斯基公司生產(chǎn)的.年，為了遠(yuǎn)程性和安全性上與美國波音競爭，歐洲空中客車公司設(shè)計并制造了，是一種有四臺發(fā)動機(jī)的遠(yuǎn)程雙過道寬體客機(jī)，取代只有兩臺發(fā)動機(jī)的.假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障率為，且各引擎是否有故障是獨立的，已知飛機(jī)至少有個引擎正常運行，飛機(jī)就可成功飛行；飛機(jī)需要個引擎全部正常運行，飛機(jī)才能成功飛行.若要使飛機(jī)比飛機(jī)更安全，則飛機(jī)引擎的故障率應(yīng)控制的范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由獨立重復(fù)實驗概率公式可得兩種飛機(jī)正常飛行的概率，解不等式即可得解.【詳解】由題意，飛機(jī)引擎正常運行的概率為，則飛機(jī)能成功飛行的概率為，飛機(jī)能成功飛行的概率為，令即，解得.所以飛機(jī)引擎的故障率應(yīng)控制的范圍是.故選：C.5.如圖，內(nèi)外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，若直線AC與BD的斜率之積為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出切線AC和BD的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去，根據(jù)判別式，求得的表達(dá)式，根據(jù)AC與BD的斜率之積求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，橢圓的離心率可得.【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓的方程為，由離心率相同可知，外層橢圓的方程為，如圖，設(shè)切線的方程為，則，消去得由，得，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立，消去得，由得，又直線AC與BD的斜率之積為，.故選：C6.已知函數(shù)為的零點，為圖象的對稱軸，且在單調(diào)，則的最大值為A.11 B.9C.7 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知可得ω為正奇數(shù)，且ω≤12，結(jié)合x為f（x）的零點，x為y＝f（x）圖象的對稱軸，求出滿足條件的解析式，并結(jié)合f（x）在（，）上單調(diào)，可得ω的最大值．【詳解】∵x為f（x）的零點，x為y＝f（x）圖象的對稱軸，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω為正奇數(shù)，∵f（x）在（，）上單調(diào)，則，即T，解得：ω≤12，當(dāng)ω＝11時，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此時f（x）在（，）不單調(diào)，不滿足題意；當(dāng)ω＝9時，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此時f（x）在（，）單調(diào)，滿足題意；故ω的最大值為9，故選B．【點睛】本題將三角函數(shù)的單調(diào)性與對稱性結(jié)合在一起進(jìn)行考查,題目新穎,是一道考查能力的好題.注意本題求解中用到的兩個結(jié)論：①的單調(diào)區(qū)間長度是最小正周期的一半;②若的圖像關(guān)于直線對稱,則或.7.已知實數(shù)a滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)得，對AB，構(gòu)造，根據(jù)零點存在性定理判斷即可；對CD，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)，求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合所給不等式判斷即可.【詳解】由得，對于選項A與B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則存在，使得，即，又且，所以，均有可能，即與a大小不確定．故A與B都不正確．對于選項C與D，令函數(shù)得，令得，所以在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，即，故D正確．故選：D8.已知四棱錐外接球表面積為，體積為平面，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將已知轉(zhuǎn)化為，運用余弦定理與基本不等式得到AC的取值范圍，由此運用正弦定理得四邊形ABCD外接圓半徑的范圍，然后根據(jù)球的性質(zhì)得球半徑的范圍，得解.【詳解】以四邊形ABCD的外接圓為底，PA為高，將四棱錐補形為一個已知球的內(nèi)接圓柱.設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r、R外接球的半徑，,則，，故，，所以在中運用余弦定理與基本不等式得：，在中運用余弦定理與基本不等式得：，上兩式相加得：，故有：，在中由正弦定理得：，因此，.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列結(jié)論正確的是（）A.若隨機(jī)變量服從兩點分布，，則B.若隨機(jī)變量的方差，則C.若隨機(jī)變量服從二項分布，則D.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)兩點分布、二項分布、正態(tài)分布以及方差的性質(zhì)，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：若隨機(jī)變量服從兩點分布，，則，故A錯誤；對B：若隨機(jī)變量的方差，則，故錯誤；對C：若隨機(jī)變量服從二項分布，則，故正確；對D：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則，故，故正確.故選：CD.10.已知正方體的邊長為2，為的中點，為側(cè)面上的動點，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.平面C.動點的軌跡長為 D.與所成角的余弦值為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量法判斷各選項.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為，則，，，，，所以，，，由平面，得，即，化簡可得，所以動點在直線上，A選項：，，，所以與不垂直，所以A選項錯誤；B選項：，平面，平面，所以平面，B選項正確；C選項：動點在直線上，且為側(cè)面上的動點，則在線段上，，所以，C選項正確；D選項：，，D選項錯誤；故選：BC11.設(shè)拋物線的焦點為，為坐標(biāo)原點，直線與C交于A，B兩點，以AB為直徑的圓與y軸交于D，E兩點，則（）A. B.C.是鈍角 D.的面積小于的面積【答案】BCD【解析】【分析】聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計算，A錯誤；計算圓方程為：，計算得到B正確；計算，得到C正確；，，D正確；得到答案.【詳解】直線過拋物線焦點，設(shè)，，則，，，，，A錯誤；中點坐標(biāo)為，，，圓方程為：，取得到，，B正確；不妨取，，故，不共線，故是鈍角，C正確；，，，D正確；故選：BCD12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，對任意的，，恒有，則下列說法正確的有（）A. B.必為奇函數(shù)C. D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】賦值法求的值，判斷A；賦值法結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)奇偶性的定義，判斷B；賦值法結(jié)合換元法判斷C;利用賦值法求得的值有周期性，即可求得的值，判斷D.【詳解】對于A，令，則由可得，故或，故A錯誤；對于B,當(dāng)時，令，則，則，故，函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；當(dāng)時，令，則，所以，為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；綜合以上可知必為奇函數(shù)，B正確；對于C，令，則，故。由于,令,即，即有，故C正確；對于D，若，令，則，則，故令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，由此可得的值有周期性，且6個為一周期，且，故，故D正確，故選：BCD【點睛】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性和特殊值以及求函數(shù)值的和的問題，涉及到導(dǎo)數(shù)問題，綜合性強(qiáng)，對思維能力要求高，解答的關(guān)鍵是利用賦值法確定的周期性.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.今天是星期四，經(jīng)過7天后還是星期四，那么經(jīng)過天后是__________.【答案】星期五【解析】【分析】利用周期含義以及指數(shù)運算即可.【詳解】根據(jù)題意，周期為，，所以除以的余數(shù)為1，即經(jīng)過天后，為星期五.故答案為：星期五14.單位圓中，為一條直徑，為圓上兩點且弦長為，則取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)，再根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)運算計算即可.【詳解】解：如圖，由弦長為，可得，不妨設(shè)，則，所以.故答案為：.15.已知函數(shù)，則曲線經(jīng)過點的切線方程是______．【答案】或.【解析】【分析】設(shè)切點，然后求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得到該點處的切線方程，再代入點即可.【詳解】設(shè)切點為對求導(dǎo)得：，切線方程為：，切線過，解之：或1，所以斜率或，又過，代入點斜式得切線方程為：或，故答案為：或.16.設(shè)數(shù)列首項，前n項和為，且滿足，則滿足的所有n的和為__________.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)求出數(shù)列的通項，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求出，從而可得出答案.【詳解】解：由，得，兩式相減得，則，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列是以為首項為公比的等比數(shù)列，則，，故，由，得，所以，所以或5，即所有n的和為.故答案為：9.四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，只有答案沒有過程的不能得分.17.在△ABC中，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知tanB（1）若，求tanC的值：（2）已知中線AM交BC于M，角平分線AN交BC于N，且求△ABC的面積．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角關(guān)系式可得或sin，然后利用和角公式即得；（2）由題可得，利用角平分線定理及條件可得，進(jìn)而可得，，即得.【小問1詳解】因為，所以，解得或sin,當(dāng)時，，，所以，；當(dāng)時，因為，所以，又，所以．【小問2詳解】∵，∴，，∴，即，∴，由角平分線定理可知，，又，所以，由，可得，∴，，所以．18.已知數(shù)列成等比數(shù)列，是其前項的和，若成等差數(shù)列.（1）證明：成等差數(shù)列；（2）比較與的大??；（3）若，為大于1的奇數(shù)，證明：【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差中項得，即可；（2）作差法比較即可；（3）利用等比數(shù)列求和公式可得，然后進(jìn)行求和即可得到答案【小問1詳解】由題知，，所以，所以，所以公比，所以，所以，所以成等差數(shù)列.得證【小問2詳解】由（1）得，因為，所以，所以.【小問3詳解】由（1）和題意得，，所以，所以.得證19.2020年，新冠病毒席卷全球，給世界各國帶來了巨大的災(zāi)難面對疫情，我們偉大的祖國以人民生命至上為最高政策出發(fā)點，統(tǒng)籌全國力量，上下一心，進(jìn)行了一場艱苦的疫情狙擊戰(zhàn)，控制住了疫情的蔓延并迅速開展相關(guān)研究工作．某醫(yī)療科學(xué)小組為了了解患有重大基礎(chǔ)疾?。ㄈ纾悄虿?、高血壓…）是否與更容易感染新冠病毒有關(guān)，他們對疫情中心的人群進(jìn)行了抽樣調(diào)查，對其中50人的血液樣本進(jìn)行檢驗，數(shù)據(jù)如下表：感染新冠病毒未感染新冠病毒合計不患有重大基礎(chǔ)疾病15患有重大基礎(chǔ)疾病25合計30（1）請?zhí)顚懥新?lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為患有重大基礎(chǔ)疾病更容易感染新冠病毒；（2）在抽樣調(diào)查過程中，發(fā)現(xiàn)某樣本小組5人中有1人感染新冠病毒，需要通過化驗血液來確定感染者，血液化驗結(jié)果呈陽性即為感染者，呈陰性即未感染．下面是兩種化驗方法：方法一：逐一檢驗，直到檢出感染者為止；方法二：先取3人血液樣本，混合在一起檢驗，如呈陽性則逐一檢驗，直到檢出感染者為止；如呈陰性，則檢驗剩余2人中任意1人血液樣本．①求方法一的化驗次數(shù)大于方法二的化驗次數(shù)的概率；②用X表示方法二中化驗的次數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．0.0500.0100.0013.8416.63510.828附：，其中．【答案】（1）填表見解析；有；（2）①；②（次）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表，計算，所以有99%的把握認(rèn)為患重大基礎(chǔ)疾病更容易感染新冠病毒．（2）①記表示依方法一需化驗i次，表示依方法二需化驗j次，分別計算和，分析計算，即可得答案.②的可能取值為2，3，分別計算和，代入公式，即可求得期望.【詳解】解：（1）列聯(lián)表完成如下圖感染新冠病毒未感染新冠病毒合計不患有重大基礎(chǔ)疾病101525患有重大基礎(chǔ)疾病20525合計302050∴所以有99%的把握認(rèn)為患重大基礎(chǔ)疾病更容易感染新冠病毒．（2）記表示依方法一需化驗i次，表示依方法二需化驗j次，A表示方法一化驗次數(shù)大于方法二的化驗次數(shù)，依題意知與相互獨立．①，，，，由于所以即②的可能取值為2，3．，所以（次）【點睛】獨立性檢驗一般步驟：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計算；（3）查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作出判斷.20.請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答．①；②；③點P在平面ABCD的射影在直線AD上．如圖，平面五邊形PABCD中，是邊長為2的等邊三角形，，，，將沿AD翻折成四棱錐，E是棱PD上的動點（端點除外），F(xiàn)，M分別是AB，CE的中點，且______．（1）求證：平面PAD；（2）當(dāng)EF與平面PAD所成角最大時，求平面ACE與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取CD中點為G，可得，，再由線面平行、面面平行的判定定理可得答案；（2）取AD為O，連接PO，F(xiàn)G，EG．選擇①：由得，再由線面垂直的判定定理可得平面PAD．則即為EF與平面PAD所成的角，由，當(dāng)AE最小時，最大，E為PD的中點，AE最小．再求二面角余弦值：以點O為坐標(biāo)原點，以O(shè)C為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面CAE的法向量和平面ABCD的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；選擇②：連接OC，可得，由線面垂直的判定定理可得平面PAD，則即為EF與平面PAD所成的角．由，得AE最小時，最大，E為PD的中點，AE最?。偾蠖娼怯嘞抑狄渣cO為坐標(biāo)原點，以O(shè)C為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面CAE的法向量和平面ABCD的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；選擇③：P在平面ABCD的射影在直線AD上，得平面平面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)得平面PAD，即為EF與平面PAD所成的角，，當(dāng)AE最小時，最大，即E為PD中點，AE最?。偾蠖娼怯嘞抑?，以點O為坐標(biāo)原點，以O(shè)C為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面CAE的法向量和平面ABCD的法向量，再由二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】取CD中點為G，連接MG，F(xiàn)G，則MG，F(xiàn)G分別為三角形CDE，梯形ABCD的中位線，∴，，平面，平面，所以平面，同理，平面，∵，∴平面平面PAD，∵平面MGF，∴平面PAD.【小問2詳解】取AD為O，連接PO，F(xiàn)G，EG，選擇①：因為，，所以，即，又，，所以平面PAD，連接AE，EF，所以即為EF與平面PAD所成的角，因為，所以當(dāng)AE最小時，最大，所以當(dāng)，即E為PD的中點，AE最小，下面求二面角余弦值，∵平面ABCD，∴平面平面PAD，∵平面平面PAD，平面平面，∵，∴平面ABCD，以點O為坐標(biāo)原點，以O(shè)C為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面CAE的法向量為，則，令，得，由題意可知：平面ABCD的法向量為，所以，所以平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為．選擇②：連接OC，則，，因為，，所以，又，，所以平面PAD，連接AE，EF，所以即為EF與平面PAD所成的角，因為，所以當(dāng)AE最小時，最大，所以當(dāng)，即E為PD的中點，AE最小，下面求二面角余弦值，∵平面ABCD，∴平面平面PAD，∵平面平面PAD，平面平面，∵，∴平面ABCD，以點O為坐標(biāo)原點，以O(shè)C為x軸，OD為y軸，OP為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，于是，，，所以，，設(shè)平面CAE的法向量為，則，令，得，由題意可知：平面ABCD的法向量為，所以，所以平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為．選擇③：因為點P在平面ABCD的射影在直線AD上，所以平面平面ABCD，因為平面平面，平面PAD，，所以平面ABCD，所以．又，，所以平面PAD，連接AE，EF，所以即為EF與平面PAD所成的角，因為，所以當(dāng)AE最小時，最大，所以當(dāng)，即E為PD中點，AE最?。旅媲蠖娼怯嘞抑?，∵平面，∴平面平面PAD，∵平面平面PAD，平面平面，∵，∴平面ABCD，以點O為坐標(biāo)原點，以O(shè)C為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，于是，，．所以，，設(shè)平面CAE的法向量為，則，令，得．由題意可知：平面ABCD的法向量為，所以，所以平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為．21.已知雙曲線：的焦距為