高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章第五節(jié) 課時跟蹤訓(xùn)練 理

課時知能訓(xùn)練一、選擇題1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()A．3n－1 B．4n－3C．n2 D．3n－1【解析】a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.【答案】C2．我們知道，在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值eq\f(\r(3),2)a，類比上述結(jié)論，在邊長為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到其四個面的距離之和為定值()A.eq\f(\r(6),3)aB.eq\f(\r(6),4)aC.eq\f(\r(3),3)aD.eq\f(\r(3),4)a【解析】正四面體內(nèi)任一點(diǎn)與四個面組成四個三棱錐，它們的體積之和為正四面體的體積，設(shè)點(diǎn)到四個面的距離分別為h1，h2，h3，h4，每個面的面積為eq\f(\r(3),4)a2，正四面體的體積為eq\f(\r(2),12)a3，則有eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝eq\f(\r(2),12)a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝eq\f(\r(6),3)a.【答案】A3．定義A*B，B*C，C*D，D*B分別對應(yīng)下列圖形那么下列圖形中，可以表示A*D，A*C的分別是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(2)(4) D．(1)(4)【解析】由題意知，A是“|”，B是大正方形，C是“—”，D是小正方形，∴A*D為小正方形中有豎線，即為(2)，A*C為“＋”，即為(4)．【答案】C4．在△ABC中，若AB⊥AC，AC＝b，AB＝a，則△ABC的外接圓半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體S－ABC中，若SA，SB，BC兩兩垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，則四面體S－ABC的外接球半徑R＝()A.eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)B.eq\f(\r(a2＋b2＋c2),3)C.eq\f(\r(3,a3＋b3＋c3),2)D.eq\f(\r(3,a3＋b3＋c3),3)【解析】從結(jié)構(gòu)形式上看，A、D都符合類比推理的要求，但題中要求的是正確結(jié)論，所以還需要驗(yàn)證或證明．事實(shí)上，我們將四面體S－ABC以SA，SB，SC為三邊可以補(bǔ)成一個長方體，四面體的外接球半徑為長方體對角線長的一半，所以選A.【答案】A5．(2012·南昌模擬)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如：他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)，下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A．289B．1024C．1225D．1378【解析】由圖形的規(guī)律可知，第n個三角形數(shù)為1＋2＋3…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，第n個正方形數(shù)為n2，其中A、B、C都是正方形數(shù)，分別令它們等于eq\f(nn＋1,2)求n，知1225是三角形數(shù)．【答案】C二、填空題6．(2012·肇慶模擬)觀察下列各式：9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示為________．【解析】由所給等式可知，等式左邊為(n＋2)2－n2，等式右邊是首項(xiàng)為8，公差為4的等差數(shù)列，故第n個等式的右邊為4(n＋1)，故這個等式為(n＋2)2－n2＝4(n＋1)．【答案】(n＋2)2－n2＝4(n＋1)7．把正整數(shù)1,2,3,4,5,6…按某種規(guī)律填入下表.261014145891213…371115按照這種規(guī)律連續(xù)填寫，2011出現(xiàn)在第________行第________列．【解析】依題意知，這些數(shù)所出現(xiàn)的位置是以4為周期重復(fù)性地連續(xù)填入相應(yīng)的位置；且從1開始的連續(xù)四個整數(shù)共填了3列．注意到2011＝4×502＋3，因此2011所填的位置與3所填的位置相對應(yīng)，即應(yīng)填在第三行；2011所填的位置應(yīng)是第502×3＋2＝1508列，即2011出現(xiàn)在第3行第1508列．【答案】3,15088．如果f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝1，則eq\f(f2,f1)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2010,f2009)＋eq\f(f2012,f2011)＝________.【解析】∵f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1，∴f(x＋1)＝f(x)·f(1)，即eq\f(fx＋1,fx)＝f(1)＝1.∴eq\f(f2,f1)＝eq\f(f4,f3)＝…＝eq\f(f2010,f2009)＝eq\f(f2012,f2011)＝1，∴eq\f(f2,f1)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2010,f2009)＋eq\f(f2012,f2011)＝1006×1＝1006.【答案】1006三、解答題9．通過觀察下列等式，猜想出一個一般性結(jié)論，并證明結(jié)論的真假．sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)；sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝eq\f(3,2)；sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝eq\f(3,2)；sin215°＋sin275°＋sin2135°＝eq\f(3,2).【解】猜想：sin2(α－eq\f(π,3))＋sin2α＋sin2(α＋eq\f(π,3))＝eq\f(3,2).證明∵左＝(sinαcoseq\f(π,3)－cosαsineq\f(π,3))2＋sin2α＋(sinαcoseq\f(π,3)＋cosαsineq\f(π,3))2＝eq\f(3,2)(sin2α＋cos2α)＝eq\f(3,2)＝右，∴待證式成立．10．定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和，已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，試求：(1)a18的值；(2)該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.【解】(1)由等和數(shù)列的定義，數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝2＋2＋…＋eq\o(2,\s\do4(\f(n,2)個2))＋3＋3＋…＋eq\o(3,\s\do4(\f(n,2)個3))＝eq\f(5,2)n；當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝Sn－1＋an＝eq\f(5,2)(n－1)＋2＝eq\f(5,2)n－eq\f(1,2).綜上所述：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)nn為偶數(shù),\f(5,2)n－\f(1,2)n為奇數(shù))).11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由．【證明】如圖所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想，四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).證明：如圖，連結(jié)BE并延長交CD于F，連結(jié)AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥