專(zhuān)題06分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（八大考點(diǎn)）

專(zhuān)題06分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)二：分步乘法計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)三：兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用考點(diǎn)四：組數(shù)問(wèn)題考點(diǎn)五：占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇考點(diǎn)六：涂色問(wèn)題考點(diǎn)七：種植問(wèn)題考點(diǎn)八：列舉法知識(shí)點(diǎn)一：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理（也稱(chēng)加法原理）1、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有類(lèi)辦法．在第1類(lèi)辦法中有種不同方法，在第2類(lèi)辦法中有種不同的方法，……，在第類(lèi)辦法中有種不同方法，那么完成這件事共有種不同的方法．2、加法原理的特點(diǎn)是：①完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成n類(lèi)；②用每一類(lèi)中的每一種方法都可以完成這件事；③把每一類(lèi)的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)菏褂梅诸?lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對(duì)這件事確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，第二步是確定各類(lèi)的方法數(shù)，第三步是取和．知識(shí)點(diǎn)二、分步乘法計(jì)數(shù)原理1、分步乘法計(jì)數(shù)原理“做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟”，就是說(shuō)完成這件事的任何一種方法，都要分成n個(gè)步驟，要完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事才算完成．2、乘法原理的特點(diǎn)：①完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可；②完成每一步有若干種方法；③把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)菏褂梅植匠朔ㄓ?jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對(duì)完成這件事進(jìn)行分步，第二步是確定各步的方法數(shù)，第三步是求積．知識(shí)點(diǎn)三、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別：1、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別：兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)和分類(lèi)有關(guān)，一個(gè)和分步有關(guān)．完成一件事的方法種數(shù)若需“分類(lèi)”思考，則這n類(lèi)辦法是相互獨(dú)立的，且無(wú)論哪一類(lèi)辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事，則用加法原理；若完成某件事需分n個(gè)步驟，這n個(gè)步驟相互依存，具有連續(xù)性，當(dāng)且僅當(dāng)這n個(gè)步驟依次都完成后，這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數(shù)需用乘法原理計(jì)算．1、利用兩個(gè)基本原理解決具體問(wèn)題時(shí)的思考程序：（1）首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？（2）然后考慮如何完成？主要有三種類(lèi)型①分類(lèi)或分步．②先分類(lèi)，再在每一類(lèi)里再分步．③先分步，再在每一步里再分類(lèi)，等等．（3）最后考慮每一類(lèi)或每一步的不同方法數(shù)是多少？考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理例1．（2024·廣東梅州·高二?？茧A段練習(xí)）從名女同學(xué)和名男同學(xué)中任選人主持本班的某次專(zhuān)題班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】選人主持本班的某次專(zhuān)題班會(huì)可從名女同學(xué)任選一名，也可以從名男同學(xué)中任選名,由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知不同的選法種數(shù)為種.故選：C.例2．（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備編號(hào)為的四道試題，編號(hào)為的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號(hào)和自己的編號(hào)都不同的情況共有（

）A．9種 B．10種 C．11種 D．12種【答案】A【解析】用表示編號(hào)的面試者回答的試題為，其中，所以的全部可能情況有：，所以共有9種，故選：A例3．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．18 B．36C．72 D．48【答案】B【解析】解法一：按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8分成八類(lèi)，在每一類(lèi)中滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)共有個(gè)．解法二：按個(gè)位上的數(shù)字分別是2，3，4，5，6，7，8，9分成八類(lèi)，在每一類(lèi)中滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)共有個(gè)．解法三：所有的兩位數(shù)共有90個(gè)，其中個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字的兩位數(shù)為11，22，33，…，99，共9個(gè)；有10，20，30，…，90共9個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有個(gè)．在這72個(gè)兩位數(shù)中，每一個(gè)個(gè)位數(shù)字（a）小于十位數(shù)字（b）的兩位數(shù)都有一個(gè)十位數(shù)字（a）小于個(gè)位數(shù)字（b）的兩位數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是.故選：B.變式1．（2024·高二單元測(cè)試）如圖所示，在間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通,今發(fā)現(xiàn)之間電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有（）A．9種 B．11種 C．13種 D．15種【答案】C【解析】若之間電路不通，按焊接點(diǎn)脫落的個(gè)數(shù)分成4類(lèi)：脫落1個(gè)，有1，4，共2種；脫落2個(gè)，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6種；脫落3個(gè)，有（1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4），共4種；脫落4個(gè)，有（1，2，3，4），共1種，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，焊接點(diǎn)脫落的情況共有種．故選：C考點(diǎn)二：分步乘法計(jì)數(shù)原理例4．（2024·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校開(kāi)設(shè)了游泳、武術(shù)和籃球課程，甲、乙、丙、丁4位同學(xué)每人從中任選門(mén)課程參加，則不同的選法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【解析】甲、乙、丙、丁4位同學(xué)每人都有種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選法共有種．故選：C．例5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）用這五個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．18 B．24 C．30 D．48【答案】D【解析】由題意可知，首位數(shù)字有4種選擇，則中間的數(shù)位有4種選擇，末尾數(shù)字有3種選擇.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù).故選:.例6．（2024·河南·高二河南大學(xué)附屬中學(xué)校考）把3個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，共有（

）種方法.A．81 B．64 C．12 D．7【答案】B【解析】對(duì)于第一個(gè)小球有4種不同的放法，第二個(gè)小球也有4種不同的放法，第三個(gè)小球也有4種不同的放法，即每個(gè)小球都有4種可能的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知不同放法共有（種）.故選：B.變式2．（2024·河南周口·高二校聯(lián)考）360的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．24 B．36 C．48 D．42【答案】A【解析】因?yàn)?，所?60有個(gè)不同的正因數(shù)．故選：A考點(diǎn)三：兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用例7．（2024·遼寧遼陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）同一個(gè)宿舍的8名同學(xué)被邀請(qǐng)去看電影，其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，丙同學(xué)不去，其他人根據(jù)個(gè)人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（

）A．32種 B．128種 C．64種 D．256種【答案】C【解析】若甲、乙都去，剩下的5人每個(gè)人都可以選擇去或不去，有種去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每個(gè)人都可以選擇去或不去，有種去法．故一共有種去法．故選：C.例8．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，有8個(gè)不同顏色的正方形盒子組成的調(diào)味盒，現(xiàn)將編號(hào)為的4個(gè)蓋子蓋上（一個(gè)蓋子配套一個(gè)盒子），要求A，B不在同一行也不在同一列，C，D也是此要求．那么不同的蓋法總數(shù)為（

）12345678A．224 B．336 C．448 D．576【答案】B【解析】第一步：先蓋，有種方法；第二步：再蓋．①若C與A或B在同一列，則有2種蓋法，D就有3種蓋法，共種方法；②若C與A或B不在同一列，則有4種蓋法，D就有2種蓋法，共種方法．綜上所述，滿(mǎn)足要求的有種方法．故選：B．例9．（2024·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）為了備戰(zhàn)下一屆排球世錦賽，中國(guó)國(guó)家隊(duì)甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，第1次由甲傳給乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者傳給另外三人中的任意一人，往后依次類(lèi)推，經(jīng)過(guò)4次傳球，球仍回到甲手，則傳法總數(shù)為（

）A．30 B．24 C．21 D．12【答案】C【解析】由題意，四人練習(xí)傳球，第1次由甲傳給乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者傳給另外三人中的任意一人，經(jīng)過(guò)4次傳球，球仍回到甲手，∴第1次傳球有3種方法，第2次傳球分成“在甲手中”和“不在甲手中”兩類(lèi)方法，第3次傳球，球也不一定在甲手中；第4次傳球只能在甲手中；∴當(dāng)?shù)?次傳球后球在甲手中時(shí)，則第3次傳球可能為丙或乙或丁，共3種方法；當(dāng)?shù)?次傳球后球不在甲手中時(shí)，有2種方法，則第3次傳球有2種方法.∴經(jīng)過(guò)4次傳球，球仍回到甲的傳法總數(shù)為：，∴球仍回到甲的傳法總數(shù)為21種，故選：C.變式3．（2024·高二單元測(cè)試）洛書(shū)，古稱(chēng)龜書(shū)，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)（圖中白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽(yáng)數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽(yáng)和為7，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)有（

）A．120 B．90 C．48 D．12【答案】A【解析】根據(jù)題意，陽(yáng)數(shù)為1，3，5，7，9，陰數(shù)為2，4，6，8，第一位數(shù)的選擇有5種，第二位數(shù)的選擇有4種，第三位數(shù)和第四位數(shù)的組合可以為，，，，，共6種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這樣的四位數(shù)共有（個(gè)）.故選:A.考點(diǎn)四：組數(shù)問(wèn)題例10．（2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱(chēng)為“四位合六數(shù)”（如1203、1005均是四位合六數(shù)），則在“四位合六數(shù)”中首位為1的不同的“四位合六數(shù)”共有個(gè)．【答案】21【解析】由題知后三位數(shù)字之和為5，當(dāng)一個(gè)位置為5時(shí)有005，050，500，共3個(gè);當(dāng)兩個(gè)位置和為5時(shí)有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12個(gè);當(dāng)三個(gè)位置和為5時(shí)有113，131，311，122，212，221，共6個(gè);所以一共有21個(gè).故答案為:21.例11．（2024·浙江臺(tái)州·高二臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)校聯(lián)考）如果一個(gè)三位正整數(shù)如“”滿(mǎn)足，且，則稱(chēng)這樣的三位數(shù)為凹數(shù)（如201，325等），那么由數(shù)字0，1，2，3，4，5能組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的凹數(shù).【答案】40【解析】當(dāng)首位為1，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為2，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為3，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；中間位置為2有2個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為4，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；中間位置為2有2個(gè)凹數(shù)；中間位置為3有1個(gè)凹數(shù)；當(dāng)首位為5，中間位置為0有4個(gè)凹數(shù)；中間位置為1有3個(gè)凹數(shù)；中間位置為2有2個(gè)凹數(shù)；中間位置為3有1個(gè)凹數(shù)；綜上，共有40個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的凹數(shù).故答案為：40例12．（2024·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）在一個(gè)三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字，則稱(chēng)該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如“102”，“546”為“駝峰數(shù)”．由數(shù)字1，2，3，4可構(gòu)成無(wú)重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有個(gè)，其中偶數(shù)有個(gè)．【答案】85【解析】十位上的數(shù)為1時(shí)，有213，214，312，314，412，413，共6個(gè)；十位上的數(shù)為2時(shí)，有324，423，共2個(gè)；所以共有6＋2＝8個(gè)；偶數(shù)為214，312，314，412，324，共5個(gè)．答案：8，5變式4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）由數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有個(gè).【答案】【解析】能被整除的三位數(shù)說(shuō)明末尾數(shù)字是或當(dāng)末尾數(shù)字是時(shí)，百位數(shù)字除了有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據(jù)分步乘法原理一共有種方法；當(dāng)末尾數(shù)字是時(shí)，百位數(shù)字有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據(jù)分步乘法原理一共有種方法；則一共有種故答案為：考點(diǎn)五：占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇例13．（2024·廣東·清遠(yuǎn)市博愛(ài)學(xué)校高二階段練習(xí)）3名志愿者，每人從4個(gè)不同的崗位中選擇1個(gè)，則不同的選擇方法共有（

）A．12種 B．64種 C．81種 D．24種【答案】B【解析】每個(gè)人都有4種選擇，故不同的選擇方法共有種.故選：B例14．（2024·福建福州·高二期末）6名同學(xué)參加3個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)必須且只能隨機(jī)選擇其中的一個(gè)，不同的選法種數(shù)是（

）A．20 B． C． D．120【答案】B【解析】依題意，每位同學(xué)都有3種選法，所以不同的選法種數(shù)是.故選：B例15．（2024·廣東廣州·高二期末）3名同學(xué)報(bào)名參加足球隊(duì)、籃球隊(duì)，每名同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)是（

）A．8 B．6 C．5 D．9【答案】A【解析】依題意，每名同學(xué)報(bào)名方法數(shù)是2，所以3名同學(xué)不同的報(bào)名方法的種數(shù)是.故選：A變式5．5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同報(bào)名方法有（

）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種【答案】D【解析】由題，每個(gè)同學(xué)有2種選擇，故不同報(bào)名方式為，故選：D考點(diǎn)六：涂色問(wèn)題例16．（2024·江西新余·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色給矩形，，，涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．72種【答案】D【解析】先涂C區(qū)域有4種涂法，再涂D區(qū)域3種涂法，涂A區(qū)域3種涂法，涂B區(qū)域2種涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種涂法.故選：D.例17．（2024·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）A．240 B．360 C．480 D．600【答案】C【解析】將區(qū)域標(biāo)號(hào)，如下圖所示：因?yàn)棰冖邰軆蓛上噜?，依次用不同的顏色涂色，則有種不同的涂色方法，若①與④的顏色相同，則有1種不同的涂色方法；若①與④的顏色不相同，則有3種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法.故選：C.例18．（2024·四川德陽(yáng)·高二德陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）某小區(qū)有5個(gè)區(qū)域要種上鮮花（如圖），現(xiàn)有四種不同品種的鮮花可供選擇，每個(gè)區(qū)域只能種一種鮮花，要求相鄰區(qū)域不能種同一種鮮花，則符合條件的方案有（）種A．36 B．48 C．54 D．72【答案】D【解析】如圖所示，依順序，A區(qū)域可種4種顏色，B區(qū)域可種3種顏色，C區(qū)域可種2種顏色，①D區(qū)域若與B區(qū)域同色，則E有兩種顏色可選；②D區(qū)域若不與B區(qū)域同色，則只有1種顏色可選，E也只有1種顏色可選，故有種方案.故選：D變式6．（2024·江蘇南京·高二南京師大附中?？迹┤鐖D，用4種不同的顏色給圖中四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】區(qū)域同色的方法數(shù)為區(qū)域不同色的方法數(shù)為，總的方法數(shù)為．故選：C．考點(diǎn)七：種植問(wèn)題例19．（2024·河北石家莊·高二石家莊市第四十一中學(xué)?？迹┰谌鐖D所示的四個(gè)區(qū)域中，有5種不同的花卉可選，每個(gè)區(qū)域只能種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法共有種（用數(shù)字作答）【答案】240【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理得種,故答案為：240.例20．（2024·安徽六安·高二?？迹┤鐖D一個(gè)正方形花圃被分成5份．若給這5個(gè)部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，則不同的種植方法有種【答案】72【解析】先對(duì)部分種植，有4種不同的種植方法；再對(duì)部分種植，又3種不同的種植方法；對(duì)部分種植進(jìn)行分類(lèi)：①若與相同，有2種不同的種植方法，有2種不同的種植方法，共有（種），②若與不同，有2種不同的種植方法，有1種不同的種植方法，有1種不同的種植方法，共有（種），綜上所述，共有72種種植方法．故答案為：72.例21．（2024·吉林·高二開(kāi)學(xué)考試）．將3種作物種植在如圖5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物，不同的種植方法共有種.（以數(shù)字做答）【答案】42【解析】變式7．（2024·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）某學(xué)校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個(gè)區(qū)域內(nèi)種植花卉，且相鄰區(qū)域顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有種．（用數(shù)字作答）【答案】180【解析】先在1中種植，有5種不同的種植方法，再在2中種植，有4種不同的種植方法，再在3中種植，有3種不同的種植方法，最后在4中種植，有3種不同的種植方法，所以不同的種植方案共有（種）．故答案為：180．考點(diǎn)八：列舉法例22．（2024·北京·高二北大附中校考期末）某公司有家直營(yíng)店，現(xiàn)需將箱貨物運(yùn)送至直營(yíng)店進(jìn)行銷(xiāo)售，各直營(yíng)店出售該貨物以往所得利潤(rùn)統(tǒng)計(jì)如下表所示.根據(jù)此表，該公司獲得最大總利潤(rùn)的運(yùn)送方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【解析】箱貨物的分配方法和最大利潤(rùn)分別為：；；；；；；，此時(shí)；，此時(shí)；，此時(shí)或；綜上，該公司獲得最大總利潤(rùn)的運(yùn)送方式有種.故選：D.例23．（2024·河北邯鄲·高二校聯(lián)考）有序數(shù)對(duì)滿(mǎn)足，且使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則這樣的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．14 C．13 D．10【答案】A【解析】（1）當(dāng)時(shí)，有為實(shí)根，則有4種可能；（2）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，所以，所以.當(dāng)時(shí)，有4種.當(dāng)時(shí)，有4種.當(dāng)時(shí)，有3種.所以，有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為.故選：A.例24．（2024·河南·馬店第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，某水果店門(mén)前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串?dāng)?shù)依次為1，2，3．到了晚上，水果店老板要收攤了，假設(shè)每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)是（

）A．144 B．96 C．72 D．60【答案】D【解析】將6串香蕉編號(hào)為1，2，3，4，5，6．把“2，3，4，5，6”取完，方法為23456，24356，24536，24563，42356，42536，42563，45263，45623，45236，共10種，再把1插入其中，每個(gè)有6種插法．共有60種方法，故選：D．變式8．元旦來(lái)臨之際，某寢室四人各寫(xiě)一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（

）A．6種 B．9種 C．11種 D．23種【答案】B【解析】解法1：設(shè)四人A、B、C、D寫(xiě)的賀卡分別是a、b、c、d，當(dāng)A拿賀卡b，則B可拿a、c、d中的任何一張，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b時(shí)有三種不同的分配方式；同理，A拿c，d時(shí)也各有三種不同的分配方式，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，四張賀卡共有（種）分配方式；解法2：讓四人A、B、C、D依次拿一張別人送出的賀卡，如果A先拿，有3種，此時(shí)被A拿走的那張賀卡的人也有3種不同的取法，接下來(lái)，剩下的兩個(gè)人都各只有1種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，四張賀卡不同的分配方式有（種）．故選：B.過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（2024·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)?？计谀┨咔驎r(shí)甲?乙?丙三人互相傳遞，由甲開(kāi)始傳球，經(jīng)過(guò)3次傳遞后，球又被傳回到甲，則不同的傳遞方式共有（

）A．6種 B．8種 C．2種 D．4種【答案】C【解析】經(jīng)過(guò)3次傳到甲，必定經(jīng)過(guò)2次傳到乙或丙，且經(jīng)過(guò)2次傳到乙或丙的方式種數(shù)相等，經(jīng)過(guò)2次傳到乙有“甲一丙一乙”1種方式，經(jīng)過(guò)2次傳到丙有“甲一乙一丙”1種方式，所以經(jīng)過(guò)3次傳到甲共有2種傳遞方式.故選：C.2．（2024·重慶·高三重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，且，用組成一個(gè)三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)滿(mǎn)足“十位上的數(shù)字比其它兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都大”，則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．14 B．17 C．20 D．23【答案】C【解析】集合，且，則這個(gè)三位數(shù)滿(mǎn)足“十位上的數(shù)字比其它兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都大”包含以下三種情況：①十位數(shù)是，則百位數(shù)可以是中的一個(gè)數(shù)，個(gè)位數(shù)可以是中的一個(gè)數(shù)，即個(gè)；②十位數(shù)是，則百位數(shù)可以是中的一個(gè)數(shù)，個(gè)位數(shù)可以是中的一個(gè)數(shù)，即個(gè)；③十位數(shù)是，則百位數(shù)只能是，個(gè)位數(shù)可以是中的一個(gè)數(shù)，即個(gè)；綜上，符合條件的共有個(gè).故選：C.3．（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？迹┘?、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，每個(gè)人都有三種選擇，則不同的游覽方案種數(shù)為種.故選：B.4．（2024·山東臨沂·高二?？茧A段練習(xí)）集合，，，，5，6，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】第二象限的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)．若集合提供橫坐標(biāo)，集合提供縱坐標(biāo)，則有，若集合提供縱坐標(biāo)，集合提供橫坐標(biāo)，則有，合計(jì)，即這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6個(gè)，故選：D.5．（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考）若3名學(xué)生報(bào)名參加天文?計(jì)算機(jī)?文學(xué)?美術(shù)這4個(gè)興趣小組，每人選1組，則不同的報(bào)名方式有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種【答案】C【解析】由題意可得每個(gè)人都有4種選法，則由分步乘法原理可得不同的報(bào)名方式有種，故選：C6．（2024·浙江溫州·高二校聯(lián)考）2022年北京冬奧會(huì)的順利召開(kāi)，激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的興趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺(tái)滑雪這四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則不同的選法共有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種【答案】C【解析】由題意，可知每一人都可在四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中選一項(xiàng)，即每人都有四種選法，可分三步完成，根據(jù)分步乘法原理，不同的選法共有種.故選：C．7．（2024·浙江湖州·高二校聯(lián)考）將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A．90 B．135 C．270 D．360【答案】B【解析】在6個(gè)盒子中任選2個(gè)，放入與其編號(hào)相同的小球，有種，剩下的4個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)不同，假設(shè)這4個(gè)盒子的編號(hào)為3,4,5,6，則3號(hào)小球可以放進(jìn)4,5,6號(hào)盒子，有3種選法，剩下的3個(gè)小球放進(jìn)剩下的3個(gè)盒子，有3種選法，所以不同的放法種數(shù)為種選法.故選：B.8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36【答案】D【解析】正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線有棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有（個(gè)）；對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)，不存在四個(gè)頂點(diǎn)確定的平面與體對(duì)角線垂直，所以正方體中“正交線面對(duì)”共有（個(gè)）.故選：D二、多選題9．（2024·甘肅白銀·高二?？计谀┯梅N不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】當(dāng)時(shí)，分四步：第一步，涂處，有3種涂色方案；第二步，涂處，有2種涂色方案；第三步，涂處，有2種涂色方案；第四步，涂處，有1種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，分四步：第一步，涂處，有4種涂色方案；第二步，涂處，有3種涂色方案；第三步，涂處，有3種涂色方案；第四步，涂處，有2種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，分四步：第一步，涂處，有5種涂色方案；第二步，涂處，有4種涂色方案；第三步，涂處，有4種涂色方案；第四步，涂處，有3種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，分四步：第一步，涂處，有6種涂色方案；第二步，涂處，有5種涂色方案；第三步，涂處，有5種涂色方案；第四步，涂處，有4種涂色方案.所以不同的涂色方法共種數(shù)為，所以，故D正確.故選：AD.10．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）A．在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，兩類(lèi)不同方案中的方法可以相同B．在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，每類(lèi)方案中的方法都能直接完成這件事C．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有每個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成D．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法可以相同【答案】BC【解析】對(duì)于A，在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，兩類(lèi)不同方案中的方法互不相同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，每類(lèi)方案中的方法都能直接完成這件事，故B正確；對(duì)于C，在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有每個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成，故C正確；對(duì)于D，在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，則x·y的值可取（

）A．－8 B．－12C．11 D．24【答案】ABD【解析】分兩步：第一步在集合中{2，3}中任取一個(gè)值，有2種不同取法，第二步在集合{－4，8}中任取一個(gè)值，有2種不同的取法，故x·y可表示2×2＝4個(gè)不同的值．即2×(－4)＝－8，2×8＝16，3×(－4)＝－12，3×8＝24，故選：ABD.12．（2024·吉林長(zhǎng)春·高二?？茧A段練習(xí)）高二年級(jí)安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．所有可能的方法有種B．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種C．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種D．如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，故有種選擇方案，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有（種），正確；對(duì)于選項(xiàng)C：如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有（種），正確；對(duì)于選項(xiàng)D：如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，再分為丙與甲、乙兩名同學(xué)在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種），錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題13．（2024·甘肅白銀·高二?？计谀┬瞧诙挛绲?節(jié)課排物理?化學(xué)和自習(xí)課各一節(jié)，要求第一節(jié)不排自習(xí)課，那么不同的排課方法種數(shù)為