分析力學(xué)-哈密頓原理

理論力學(xué)分析力學(xué)————哈密頓原理主要內(nèi)容位形空間、真實(shí)運(yùn)動(dòng)和可能運(yùn)動(dòng)完整有勢(shì)系統(tǒng)的哈密頓原理一般完整系的哈密頓原理位形空間、真實(shí)運(yùn)動(dòng)和可能運(yùn)動(dòng)位形空間：s個(gè)廣義坐標(biāo)組成的s維空間。力學(xué)系統(tǒng)在某時(shí)刻的位形與該空間中的一點(diǎn)對(duì)應(yīng)。當(dāng)位形隨時(shí)間變化時(shí)，位形空間的位形點(diǎn)形成一條曲線，此時(shí)時(shí)間t是自變量。真實(shí)運(yùn)動(dòng)曲線：設(shè)方程組代表系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)，則它們決定的曲線為真實(shí)運(yùn)動(dòng)曲線。真實(shí)軌道可能軌道可能運(yùn)動(dòng)曲線：在約束許可下，由于函數(shù)形式發(fā)生變化而在真實(shí)運(yùn)動(dòng)曲線鄰近出現(xiàn)的曲線。哈密頓原理：利用變分法將真實(shí)運(yùn)動(dòng)從一切可能的運(yùn)動(dòng)中挑選出來(lái)。完整有勢(shì)系統(tǒng)的哈密頓原理對(duì)比歐拉方程和拉格朗日方程歐拉方程-泛函求極值對(duì)應(yīng)的條件說(shuō)明拉格朗日方程對(duì)應(yīng)的也是某個(gè)變分問題的自然結(jié)果作用量（泛函）真實(shí)軌道可能軌道可能軌道滿足的條件完整有勢(shì)系統(tǒng)的哈密頓原理哈密頓原理：受完整約束的有勢(shì)系，在位形空間中，相同時(shí)間間隔內(nèi)通過(guò)兩點(diǎn)間的一切可能運(yùn)動(dòng)曲線中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)曲線使作用量取極值。這個(gè)極值為極小值，則此定理又稱為哈密頓最小作用原理。對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)形式為完整有勢(shì)系統(tǒng)的哈密頓原理例題：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在重力場(chǎng)中以與水平線成α角度的初速度v拋射，根據(jù)哈密頓原理，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：建立坐標(biāo)系o-xy，選擇x,y為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為作用量為根據(jù)哈密頓原理，真實(shí)運(yùn)動(dòng)使由于變分與微商可交換，利用分部積分完整有勢(shì)系統(tǒng)的哈密頓原理第二項(xiàng)由于在時(shí)刻，，則又由于之間相互獨(dú)立，則上式成立，必須與牛頓運(yùn)動(dòng)定律得出的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程一致。為什么最小作用量對(duì)應(yīng)的是物體的真實(shí)運(yùn)動(dòng)？對(duì)應(yīng)的作用量為極小值。完整有勢(shì)系統(tǒng)的哈密頓原理為什么最小作用量對(duì)應(yīng)的是物體的真實(shí)運(yùn)動(dòng)？ⅡⅠⅢ大自然界中所有的物體運(yùn)動(dòng)都是趨于穩(wěn)定的。自然界中，一切物質(zhì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變化都遵循最大可能的經(jīng)濟(jì)原則，往往使作用量降到最小。液滴總是保持球狀懸掛的線質(zhì)心總是處于最低點(diǎn)曲線Ⅰ的最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)勢(shì)能極值點(diǎn)，作用量最小。曲線Ⅱ有勢(shì)能大于動(dòng)能部分，能量不守恒。曲線Ⅲ平均勢(shì)能小，動(dòng)能大，作用量大。一般完整系的哈密頓原理對(duì)一般完整系，主動(dòng)力含非有勢(shì)力，前面的哈密頓原理不再適用。從基本形式的拉格朗日方程出發(fā)，當(dāng)函數(shù)的形式發(fā)生變化，即對(duì)應(yīng)動(dòng)能的變分為那么一般形式的拉格朗日方程源于以下形式的變分一般形式的哈密頓原理一般完整系的哈密頓原理當(dāng)力學(xué)系統(tǒng)為有勢(shì)系時(shí)，一般完整系的哈密頓原理具有更普遍的意義。對(duì)于完整理想系統(tǒng)，則一般完整系的哈密頓原理可寫為虛功一般完整系的哈密頓原理：受完整理想約束的力學(xué)體系，在位形空間中，相同時(shí)間間隔內(nèi)通過(guò)兩點(diǎn)間的一切可能運(yùn)動(dòng)曲線中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)曲線使動(dòng)能的變分和虛功之和