非正交基底中利用平面法向量計算空間中角與距離方法

非正交基底中利用平面法向量計算空間角與距離方法我們知道利用空間向量的坐標和待定系數(shù)法可以求出直線的方向向量和平面的法向量，進而計算空間角與距離的大小。但是，課本上所介紹的方法都是在正交基底的情況下，建立空間直角坐標系，利用坐標運算進行計算。而往往有些幾何圖形中找不到正交基底，不能建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，那是不是就不能利用這種方法了呢？本文就是通過幾個例子，探究這種計算方法在非正交基底中的應(yīng)用，使得這種方法能運用到更多的題目中去，加強學(xué)生解題方法的多樣性，從而進一步加深學(xué)生對空間向量基本定理的理解。a,b,C兩兩夾角都是600,例1、如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1a,b,C兩兩夾角都是600,ZCCB=ZCCD=ZBCD=60。.CD=1,CC=2,111⑴求異面直線￡C與DA所成角的余弦值；求直線CD與平面BDq所成角的正弦值.求平面ABCD與平面A]BCD]的距離解：設(shè)CD=a，CB=b，CC=c，貝a=b=1,c=2,a,1r2--2-2-■-1a=b=1,c2=4,ab= ,ac=bc=1ca?dA(-+b+c2b國卜網(wǎng)—? —r fa+b+c?b2(I)CA=a+b+c,DA=CB=b,/.cosCA,DA.：=—?—■ —? ffab+b2+bc1+1+12J—ir —*■ —fc- —b—fc- ——fc- —b-—?I—fc-|Va2+b2+c2+2ab+2ac+2bc?bJ1+1+4+1+2+2?15di22(II)設(shè)平面BDq的法向量為n=xa+yb+zc，則tBD=b-a,DC=c-a? N J( ■) 1 1 介n?BD=0V ,nVn?dc=0I1a+yb+zc?b一an?BD=0V ,nVn?dc=0I1-bJ(J130n]y+6z=0a+yb+zc'?c一a7=y+3z=02???可得平面BDq的法向量為n=6a+6b-c,從而直線CD與平面BDq所成角的正弦值為sin9=CD?nCD值為sin9=CD?nCD?n )—+6b-ca?6a+6b-c1?*36+36+4+36-12-12=^''22=11(III)設(shè)平面ABCD的法向量為n=xa+yb+zc，則tCD=a,CB=bI ?八?丿1八 xa+ yb+zc?a=x+—y+z=0 (n?CD=0 丿 2 Iy=xn?CB=0^ C 7J()1 n?Iy+2z=0lnCBu 士a+ yb+zc'?b=—x+y+z=0 1、2可得平面ABCD的法向量為n=2a+2b-3c，從而平面ABCD與平面AiBiCiDi的距<4+4+<4+4+36+4-12-122+2-12=2J6="V例2、(2006年江西卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角例2、(2006年江西卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=J3,BD=CD=1,另一個側(cè)面ABC是正三角形求證：AD丄BC求二面角B－AC－D余弦值的大小在線段AC上是否存在一點E,使ED與面BCD成30。角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。設(shè)AB=a，AC=b，AD=c，則a=”|=*2”=J3,a,b夾角是600,ac,bc夾角余弦都是-3-,r2-2 r2/.a2=b2=2，c=3，ab=1，ac=bc=2~?"t(1)AD=c，BC=b—a，/.AD?BC=cb—a=0nAD丄BC(2)設(shè)平面ABC的法向量為n=xa+yb+zc,則tAB=a，AC=bIn?AB=0Ivr nvn?AC=0a+yb+zc?a=2x+y+2z=0Iy=xa+yb+zc厶\〉=x+2y+2z=0I3y+2z=0/.可得平［面ABC的法向量為n=2a+2b—3c,n=2a+2b—3c=J3設(shè)平面ACD的法向量為m=pa+qb+rc，則tAD=c，設(shè)平面ACD的法向量為m=pa+qb+rc，則tAD=c，AC=bm?AD=0—r im?AC=0nva+qb+rca+qb+rc=2p+2q+3r=0n=p+2q+2r=0p+r=02q+r=0可得平^^ACD的法向量為m=2a+b—2c,從而二面角B—AC—D可得平^^ACD的法向量為m=2a+b—2c,從而二面角B—AC—D余弦值為a+b—2ca+2b—3ccos0=2a+b—2c?2a+2b—3c to*H—b rff(3)設(shè)AE=kAC=kb，則ED=c—kb=2a+b—2c=y/2=2邁?屯=比3", ” ， 1 + * ■- —? —J* ■> —■ —#■設(shè)平面BCD的法向量為n=xa+yb+zc，貝1」BC=b一a,CD=c一bn?BC=0n?CD=0a+yb+zc?ff■*Ia+yb+zc?J—a<=—x+y=0一)n一b=x+z=0可得平面BCD的法向量為n=a+b一c,n=a+b一c=1從而直線ED與平面BCD所成角的正弦值為sin0ED?nED?nc—kb|?|a1—kV2k2—4k+3=1nk=1」遼22即AE=1-寧邁=j2-1，所以存在E點