小學奧數(shù)數(shù)論模塊-余數(shù)問題

模塊一化除為乘

田3知識剖析，毋涉.

在整數(shù)的除法中，只有能整除和不能整除兩種情況。當不能整除時，就會產(chǎn)生余數(shù)。

余數(shù)問題和整除問題是有密切關(guān)系的，因為只要我們?nèi)サ粲鄶?shù)，就能和整除問題聯(lián)系在一

起了。余數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：

被除數(shù)=除數(shù)X商（當余數(shù)大于0時也可稱為不完全商）+余數(shù)；

除數(shù)=（被除數(shù)一余數(shù)）一商；

商=（被除數(shù)一余數(shù)）邛余數(shù)；

余數(shù)小于除數(shù)。

理解這些性質(zhì)時，要與整除性聯(lián)系起來，從被除數(shù)中減掉余數(shù)，那么所得到的差就能

夠被除數(shù)整除了。在一些題目中，因為余數(shù)的存在，不便于我們計算，去掉余數(shù)，回到我

們比較熟悉的整除性問題，那么問題就會變得簡單了。

“4例1

?—一

完成下列填空：

17^5=0LL□

□+6=13LL4

79+d=9LL7

113+[]=12LL□

Z4例2

■_一?

兩個數(shù)相除，商是7,余數(shù)是5；如果兩個數(shù)相加，和是69,那么這兩個數(shù)分別是多少？

W練一練

兩個自然數(shù)相除，商是7,余數(shù)是3,已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為53,則被除數(shù)

是多少？

亍金）模塊二余數(shù)的特征

>----------------——海。.知識剖析飛

我們之前學過一些特殊數(shù)（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整

除特性。這些數(shù)的整除特性稍加改造，即可成為求解余數(shù)的一類簡便算法：

?特性一：一個數(shù)除以2或5的余數(shù)，等于這個數(shù)的個位數(shù)字除以2或5的余數(shù)；

一個數(shù)除以4或25的余數(shù)，等于這個數(shù)的末兩位數(shù)除以4或25的余數(shù)；

一個數(shù)除以8或125的余數(shù)，等于這個數(shù)的末三位數(shù)除以8或125的余數(shù)；

?特性二：一個數(shù)除以3或9的余數(shù)，等于這個數(shù)的各位數(shù)字和除以3或9的余

數(shù)；

一個數(shù)除以99（包括11、33）的余數(shù)，等于將它兩位截斷再求和之后的余數(shù)。

?特性三：（1）一個數(shù)除以11的余數(shù)，等于它的奇位數(shù)字和減去偶位數(shù)字和所得的

差除以11的余數(shù)，如果奇位數(shù)字和比偶位數(shù)字和小，則加上若干個II再減即可；

（2）一個數(shù)除以7、11和13的余數(shù)，等于將它從個位開始三位截斷之后，奇數(shù)段之和

減去偶數(shù)段之和所得的差除以7、11和13的余數(shù)，如果奇數(shù)段之和比偶數(shù)段之和小，

則加上若干個1001再減即可。

<------------------------------------------少

4、例3

-----

計算34567除以3、4、5、9、99的余數(shù).

〃練一練

計算876543除以2、4、5、9、99的余數(shù).

例4

計算123456789除以7、11的余數(shù).

的練一練

計算87654321除以7、11的余數(shù).

模塊三余數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用

錢涿知識剖析

比較探索一些除法算式的結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)余數(shù)還有一些很好的性質(zhì):

和的余數(shù)等于余數(shù)的和

差的余數(shù)等于余數(shù)的差

積的余數(shù)等于余數(shù)的積

【例】計算33+37x15-80的結(jié)果除以7的余數(shù)。

每個數(shù)都用它除以7的余數(shù)替換，用這些數(shù)字的計算

結(jié)果除以7得到的余數(shù)就是答案。

需要提醒大家的是，雖然上述三條計算余數(shù)的口訣朗朗上口，但并不嚴格，在使用時

還需要注意：

(1)如果替換之后余數(shù)的計算結(jié)果大于除數(shù)，還需要再次計算結(jié)果的余數(shù)。

例如：在計算423+317除以6的余數(shù)時，利用“和的余數(shù)等于余數(shù)的和“，結(jié)果就變成了

3+5=8,

8>6,所以還需要再次計算8除以6的余數(shù)是2,才是423+317除以6最后的余數(shù)。再比如

在計算423x317除以6的余數(shù)時，也會遇到3x5=15>6的情況，同樣的還需要計算15除以

6的余數(shù)是3,才是最終的結(jié)果；

(2)在計算減法時，會出現(xiàn)余數(shù)不夠減的情況，這時只要再加上除數(shù)或除數(shù)的倍數(shù)即

可。例如：在計算423-317除以6的余數(shù)時，會發(fā)現(xiàn)結(jié)果變成了3-5不夠減。此時，只要

再加上6,用6+3-5=4來計算即可。

￡\例5

?一

(1)求23456789+3456789的結(jié)果除以9的余數(shù)；

(2)求23456789x3456789的結(jié)果除以9的余數(shù)；

(3)求36x37x38+39x40x41的結(jié)果除以7的余數(shù).

伊練一練

(1)求4164『除以9的余數(shù).

⑵求224468x6678除以7的余數(shù).

ari例6

將假分數(shù)5°x51x52x53x54x55化成帶分數(shù)后,真分數(shù)部分是多少？

7

4、

(1)若已知358除以7的余數(shù)是4,那么3”除以7的余數(shù)是,3即除以7的余數(shù)是

(2)分別求出3、32>3\3”、3\3\3\3s、3\對除以7的余數(shù);

(3)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并求出3心除以7的余數(shù).

C隨堂練習

練習1.完成下列填空：

89+6=|jLL□

□+7=12LL5

95+[]=8LL7

330+|J=19LL□

練習2.兩個數(shù)相除，商是9,余數(shù)是4,兩個數(shù)如果相加，和是54,求這兩個數(shù)的積.

練習3.求684597除以3、5、9的余數(shù).

練習4.求587964除以7、11的余數(shù).

練習5.求23x24x25x26x27x28x29x30x31的結(jié)果除以7的余數(shù).

G思維提升

提升1.兩數(shù)相除，商3余4,如果被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)相加的和是243,則被除數(shù)

是？

提升2.求24587x