小學(xué)奧數(shù)數(shù)論與材料閱讀

、數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)

一、因數(shù)與倍數(shù)

1、因數(shù)與倍數(shù)

（1）定義：

定義1:若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)。

定義2:如果非零自然數(shù)a、b、c之間存在aXb=c,或者c+a=b,那么稱a、b是c的因

數(shù)，c是a、b的倍數(shù)。

注意：倍數(shù)與因數(shù)是相互依存關(guān)系，缺一不可。（a、b是因數(shù)，。是倍數(shù)）

一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本身。

一個(gè)數(shù)的倍數(shù)個(gè)數(shù)是無(wú)限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒(méi)有最大的倍數(shù)。

（2）一個(gè)數(shù)的因數(shù)的特點(diǎn)：

①最小的因數(shù)是1,第二小的因數(shù)一定是質(zhì)數(shù)；

②最大的因數(shù)是它本身，第二大的因數(shù)是：原數(shù)+第二小的因數(shù)

（3）①完全平方數(shù)的因數(shù)特征：

②完全平方數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)，有奇數(shù)個(gè)因數(shù)的數(shù)是完全平方數(shù)。

③完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)次數(shù)都是偶數(shù)次：

1000以內(nèi)的完全平方數(shù)的個(gè)數(shù)是31個(gè)，2000以內(nèi)的完全平方數(shù)的個(gè)數(shù)是44個(gè)，

3000以內(nèi)的完全平方數(shù)的個(gè)數(shù)是54個(gè)。（31三961,442=1936,54三2916）

2、數(shù)的整除（數(shù)的倍數(shù)）

（1）定義：

定義1:一般地，三個(gè)整數(shù)a、b、c,且b片0,如有a+b=c,則我們就說(shuō)，a能被b整除,

或b能整除a,或a能整除以b。

定義2：如果一個(gè)整數(shù)a,除以一個(gè)整數(shù)b（b*0）,得到一個(gè)整數(shù)商c,而且沒(méi)有余數(shù)，那

么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。（a》b）

（2）整除的性質(zhì)：

如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么aXc也能被b整除。

如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

（3）一些常見(jiàn)數(shù)的整除特征（倍數(shù)特征）：

①末位判別法

2、5的倍數(shù)特征：末位上的數(shù)字是2、5的倍數(shù)。

4、25的倍數(shù)特征：末兩位上的數(shù)字是4、25的倍數(shù)。

8、125的倍數(shù)特征：末三位上的數(shù)字是8、125的倍數(shù)。

②截?cái)嗲蠛头ǎ◤挠议_(kāi)始截）

9（及其因數(shù)3）的倍數(shù)特征：一位截?cái)嗲蠛?/p>

99（及其因數(shù)3、9、11、33）的倍數(shù)特征：兩位截?cái)嗲蠛?/p>

999（及其因數(shù)3、9、27、37、111、333）的倍數(shù)特征：三位裁斷求和

③截?cái)嗲蟛罘ǎ◤挠议_(kāi)始截）

11的倍數(shù)特征：一位截?cái)嗲蟛?/p>

101的倍數(shù)特征：兩位截?cái)嗲蟛?/p>

1001（及其因數(shù)7、11、13、77、91、143）的倍數(shù)特征：三位截?cái)嗲蟛?/p>

④公倍數(shù)法

6的倍數(shù)特征：2和3的公倍數(shù)。先判斷是否2的倍數(shù)，再判斷是否3的倍數(shù)。

12的倍數(shù)特征：4和3的公倍數(shù)。先判斷是否4的倍數(shù)，再判斷是否3的倍數(shù)。

3、奇數(shù)與偶數(shù)(自然數(shù)按是否能被2整除分類)

(1)定義：

奇數(shù)：不是2的倍數(shù)的數(shù)。在自然數(shù)中，最小的奇數(shù)是1。

偶數(shù)：是2的倍數(shù)的數(shù)。在自然數(shù)中，最小的偶數(shù)是0。

(2)數(shù)的奇偶性質(zhì)：

①

②奇偶相連，奇偶相間，偶數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，奇偶各半。

③奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)；

④兩個(gè)奇(偶)數(shù)的差是偶數(shù)；一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)的差是奇數(shù)；

⑥若a、b為整數(shù)，則a+b與a-b有相同的奇偶性；

n個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，n個(gè)偶數(shù)的乘積是2"的倍數(shù)；算式中有一個(gè)是偶數(shù)，則

乘積必是偶數(shù)。

連續(xù)的奇數(shù)或偶數(shù)差為2。如，與奇數(shù)m相鄰的兩個(gè)奇數(shù)分別是(m-2)和(m+2)。

⑦奇偶分析：奇+奇=偶奇奇=偶奇X奇=奇

奇+偶=奇偶一偶=偶奇乂偶=偶

偶+偶=偶偶=奇偶*偶=偶

4、質(zhì)數(shù)與合數(shù)(非0自然數(shù)按因數(shù)個(gè)數(shù)分類)

(1)定義：

質(zhì)數(shù)：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)。(因數(shù)個(gè)數(shù)：2個(gè))

合數(shù)：除了1和它本身還有其它因數(shù)的數(shù)。(因數(shù)個(gè)數(shù)：3個(gè)或3個(gè)以上)

(2)常見(jiàn)質(zhì)數(shù)特征：

1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)(1只有1個(gè)因數(shù))；

2是最小的質(zhì)數(shù)；4是最小的合數(shù)；

2是質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)，也是偶數(shù)中唯一的質(zhì)數(shù)(除2外，其它質(zhì)數(shù)都是奇數(shù))。

(3)100以內(nèi)質(zhì)數(shù)表(25個(gè))：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、

47、

53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

(4)分解質(zhì)因數(shù)

①唯一分解定理：任何一個(gè)大于1的自然數(shù)N,如果N不是質(zhì)數(shù)，那么N可以唯一分解成

有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。

②質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的因數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

③分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)寫成它的幾個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式。如：28=2X2X7=22X7

@通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

@要求出乘積中末尾。的個(gè)數(shù)，只需要知道這些乘數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后2和5的個(gè)數(shù)，不用考

慮其它質(zhì)因數(shù)。

(5)互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)。

常見(jiàn)的互質(zhì)數(shù)：

①相鄰自然數(shù)：8和9

②相鄰奇數(shù)：21和23

③2與任意奇數(shù)：2和15

④不同的兩個(gè)質(zhì)數(shù)：11和17

(5)1與任意非零自然數(shù)：1和4

⑥

⑦當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)：3和14

⑧公因數(shù)只有1的兩個(gè)合數(shù)：6和25

如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)，就說(shuō)這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)：3、5、7

5、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)

(1)定義：

最大公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)叫做最大公因數(shù)，用

(a,b)表示。

最小公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)叫做最小公倍數(shù)，用

[a,b]表示。

(2)最大公因數(shù)的性質(zhì)：

①幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公因數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。

②幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的因數(shù)。

③幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)。

(4)幾個(gè)數(shù)都乘一個(gè)自然數(shù)m,所得的積的最大公因數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)乘m。

(3)最小公倍數(shù)的性質(zhì):

?兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

(2)兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘■積等于這兩個(gè)數(shù)的乘■積。即(a.b)X[a,b]=aXb

求最大公因數(shù)的方法：

①

②列舉法

③短除法

④分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。

據(jù)轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公因

數(shù)。

求最小公倍數(shù)基本方法：

①(5)

②列舉法

③短除法

分解質(zhì)因數(shù)法

分類求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：

①

②倍數(shù)關(guān)系：a是b的倍數(shù)，(a,b)=b,[a,b]=a

③互質(zhì)關(guān)系：a與b互質(zhì)，(a,b)=1,[a,b]=aXb

一般關(guān)系：a與b不互質(zhì)也不倍數(shù)，用短除法。(a,b)=左側(cè)除數(shù)連乘積，[a,b]=除

數(shù)和商連乘積

6、分解質(zhì)因數(shù)的運(yùn)用：

(1)求一個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)

①列舉法：2個(gè)一組列舉

②分解質(zhì)因數(shù)法：①分解質(zhì)因數(shù)②所有不同質(zhì)數(shù)出現(xiàn)次數(shù)+1連乘■積(指數(shù)加1再相乘)

如：360=23X32X5,360的因數(shù)個(gè)數(shù)：(3+1)X(2+1)X(1+1)=4X3X2=24(個(gè))

(2)求一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)的和

步驟：①分解質(zhì)因數(shù)②所有不同質(zhì)因數(shù)的各種取法之和的連乘積。

如：180=22X32X5,180的所有因數(shù)之和：(20+2,+22)X(30+3'+32)(50+5')=7X13X6

=546

二、余數(shù)性質(zhì)與同余問(wèn)題

1、余數(shù)的性質(zhì)

（1）余數(shù)小于除數(shù)。

（2）若a、b除以c的余數(shù)相同，則（a-b）或（b-a）可以被c整除。

（3）a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

（和的余數(shù)=余數(shù)的和）

（4）a與b的差除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)減b除以c的余數(shù)的差除以c的余數(shù)。

（差的余數(shù)=余數(shù)的差）

（5）a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

（積的余數(shù)=余數(shù)的積）

2、余數(shù)的計(jì)算（求余數(shù)）

（1）末位判斷法：2,5,4,25,8,125

（2）數(shù)字求和法：3,9

各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和除以3或9的余數(shù)=某數(shù)除以3或9的余數(shù)。

如：234569。2+3+4+5+6+9=29,因?yàn)?9+9=3…2,所以234569+9=?-2,即234569

=29（mod9）

（3）截?cái)嗲蠛头ǎ?9,999及其因數(shù)

99（3、9、11、33）：兩位截?cái)嗲蠛?，得到的和除?9余數(shù)，即原數(shù)除以99的余數(shù)。

999（3、9,27、37、111、333）:三位截?cái)嗲蠛?，得到的和除?99余數(shù)，即原數(shù)除以

999的余數(shù)。

如：12345?345+12=357,357＜999,所以12345+999余357。

（4）截?cái)嗲蟛罘ǎ簭挠议_(kāi)始截?cái)啵娑魏鸵慌级魏汀?1,101,1001及其因數(shù)7、11、13、

77、91、1430

①11:一位截?cái)嘧鞑?。從右開(kāi)始，1位截?cái)?，（奇?shù)位數(shù)字之和）-（偶數(shù)位數(shù)字之和）+

11的余數(shù)，即為原數(shù)+11的余數(shù)；如不夠減，求出的負(fù)數(shù)+11。

如：234569o奇數(shù)位數(shù)字之和3+5+9=17,偶數(shù)位數(shù)字之和2+4+6=12,17-12=5,所

以234569?11余5,即234569三5（mod11）

如：98,（奇數(shù)位8V偶數(shù)位9）8-9=-1,-1+11=10,則984-11=8...10,即98=10（mod

11）

②101:兩位截?cái)嘧鞑睢挠议_(kāi)始，2位截?cái)?，（奇位和?（偶位和）+101的余數(shù)，即為原

數(shù)+101的余數(shù)；如不夠減，求出的負(fù)數(shù)+101。

③1001（7、11、13、77、91、143）:三位截?cái)嘧鞑睢挠议_(kāi)始，3位截?cái)?，（奇位和?（偶

位和）?1001的余數(shù)，即為原數(shù)+1001的余數(shù)；如不夠減，求出的負(fù)數(shù)+1001。

3、費(fèi)馬小定理

如果P是質(zhì)數(shù)，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則才一'三1（modp）。

即：假如a是自然數(shù)，p是質(zhì)數(shù)，且a,p互質(zhì)，那么a的（p-1）次方除以p的余數(shù)恒等于1。

如：a是自然數(shù)2,p是質(zhì)數(shù)5,2和5互質(zhì)，余1。

a是自然數(shù)10,p是質(zhì)數(shù)3,10和3互質(zhì)，10'＞，＞+3余1。

4、同余問(wèn)題（求除數(shù)）

同余的定義：

（1）若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對(duì)于模m同余。

（2）已知三個(gè)整數(shù)a、b、m,如果m能被（a-b）整除，就稱a、b對(duì)于模m同余，記作a=b（mod

m）,讀作a同余于b模m。

5、中國(guó)剩余定理（物不知數(shù)問(wèn)題：求被除數(shù)）

題：

名算

有著

》中

算經(jīng)

孫子

的《

年前

千多

在一

？

幾何

問(wèn)物

二。

之剩

七數(shù)

三，七

之剩

五數(shù)

，五

剩二

數(shù)之

三三

數(shù)，

知其

物不

今有

。

問(wèn)題

點(diǎn)兵

韓信

題、

子問(wèn)

叫孫

，又

問(wèn)題

知數(shù)

物方不

①

缺)。

同減

差(缺

同減

，差

加余

余同

和，

同加

：和

數(shù)法

公倍

最小

②

)

件法

足條

步滿

法(逐

列舉

③

除

月，

正半

團(tuán)圓

；七子

一枝

花廿

樹(shù)梅

，五

十稀

行七

人同

)：三

5、7

于3、

適應(yīng)

法(僅

口訣

。

得知

五便

百零

的余

以7

將除

21,

數(shù)乘

的余

以5

將除

70,

數(shù)乘

的余

以3

將除

可)：

字即

看數(shù)

釋(只

法解

口訣

案。

是答

數(shù)就

的余

得到

105,

除以

來(lái)后

加起

全部

15,

數(shù)乘

23

2...

05=

3+1

23

=233,

63+30

=140+

2X15

X21+

70+3

：2X

步驟

方數(shù)

完全平

三、

數(shù)：

平方

完全

84-

41,4

400,4

,361,

324

289,