專題12等比數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用歸類 （原卷版）

專題12等比數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用歸類一、鞏固提升練【題型一】等比數(shù)列定義：構(gòu)造等比【題型二】等比數(shù)列“高斯”積【題型三】“糾纏數(shù)列”【題型四】比值型不定方程【題型五】等比數(shù)列特性：前n項(xiàng)積【題型六】等比數(shù)列與1比較型不等式判斷【題型七】插入數(shù)型等比【題型八】等比數(shù)列單調(diào)性【題型九】等比數(shù)列恒成立求參【題型十】等比數(shù)列下標(biāo)數(shù)列【題型十一】等比數(shù)列求范圍型【題型十二】等比數(shù)列與三角函數(shù)綜合二、能力培優(yōu)練熱點(diǎn)【題型一】等比數(shù)列定義：構(gòu)造等比知識(shí)點(diǎn)與技巧：.已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的典型方法：（1）（為常數(shù)）型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列.；（2）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，用累乘法求解.（3）（為常數(shù)）可以取倒數(shù)，構(gòu)造新的遞推公式即型，解法回歸到構(gòu)造等比數(shù)列技巧中（4）（為常數(shù)，下同）型遞推式，可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則．3.（2021秋·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，則.4.．（2021春·江西撫州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.（2020春·湖北武漢·高一湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且對(duì)任意正整數(shù)，都有，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為.【題型二】等比數(shù)列“高斯”積知識(shí)點(diǎn)與技巧：等比數(shù)列等比中項(xiàng)具有“高斯”積技巧若p＋q＝m＋n，則ap·aq＝am·an，特別地，若p＋q＝2k，則ap·aq＝ak2數(shù)列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.“和項(xiàng)”等比：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為__qn__.1.（2023春·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，則（

）A． B． C． D．2.（2010·全國·高考真題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A． B．7 C．6 D．3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，且，，則等于（

）A．6 B． C． D．4.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若數(shù)列的前項(xiàng)積有最大值，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．5或65.在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，則的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【題型三】“糾纏數(shù)列”知識(shí)點(diǎn)與技巧：糾纏數(shù)列等差數(shù)列某些項(xiàng)（包括復(fù)合型）成等比，或者等比數(shù)列某些項(xiàng)成等差，稱之為“糾纏數(shù)列。糾纏數(shù)列處理思維1.如果是等差數(shù)列中某些項(xiàng)成等比，則設(shè)公差和首項(xiàng)，解方程2.如果是等比數(shù)列中某些項(xiàng)成等差，則設(shè)公比和首項(xiàng)，解方程1.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5＝（

）A．29 B．31 C．33 D．362.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列為等差數(shù)列，為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（

）A． B． C． D．﹣43.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，且，，成等差數(shù)列，則的前4項(xiàng)和（

）A．4 B．40 C．4或40 D．154.已知實(shí)數(shù)b為a，的等差中項(xiàng)，若，b，成等比數(shù)列，則此等比數(shù)列的公比為（

）A． B． C． D．5.等比數(shù)列，，，成公差不為0的等差數(shù)列，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【題型四】比值型不定方程1.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．42.已知數(shù)列為各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，，則（

）A．3 B． C． D．3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．3 D．44.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．8 C．1或 D．或5.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．【題型五】等比數(shù)列特性：前n項(xiàng)積知識(shí)點(diǎn)與技巧：類比前n項(xiàng)和求通項(xiàng)過程來求數(shù)列前n項(xiàng)積：1.n=1，得a12.n時(shí)，所以1..已知等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（

）A．10 B．8 C．6 D．42.等比數(shù)列的前項(xiàng)之積為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．43.已知等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和之積為，設(shè)等差數(shù)列的公差為d、等比數(shù)列的公比為q，則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①

②

③

④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4.已知{}為等比數(shù)列，，公比.若是數(shù)列{}的前n項(xiàng)積，則取最大值時(shí)n為（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或65.已知{}為等比數(shù)列，，公比.若是數(shù)列{}的前n項(xiàng)積，則取最大值時(shí)n為（）A．3 B．4 C．3或4 D．4或5【題型六】等比數(shù)列與1比較型不等式判斷1.（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論中不正確的有（

）A．q>1B．C．D．是數(shù)列中的最大項(xiàng)2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)之積為，且滿足，，，則（

）A． B．C．的值是中最大的 D．使成立的最小正整數(shù)的值為40423.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，，則n的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．64.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列存在最大值 D．是數(shù)列中的最大值5.（2023春·湖南長沙·高二長沙市明德中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④使成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④【題型七】插入數(shù)型等比1.將等比數(shù)列按原順序分成1項(xiàng)，2項(xiàng)，4項(xiàng)，…，項(xiàng)的各組，再將公差為2的等差數(shù)列的各項(xiàng)依次插入各組之間，得到新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，新數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，，則S200=（

）A． B． C． D．2.若在1和16中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則公比為（

）A． B．2 C． D．43.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，在和之間插入1個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；…在和之間插入n個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列．這樣得到一個(gè)新數(shù)列：，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，有下列結(jié)論：①②③④其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．44.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)是1，公比為3，等差數(shù)列的首項(xiàng)是-5，公差為1，把中的各項(xiàng)按如下規(guī)則依次插入的每相鄰兩項(xiàng)之間，構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，即在和兩項(xiàng)之間依次插入中n個(gè)項(xiàng)，則（

）A．1950 B．1951 C．1952 D．19535.在3和9之間插入兩個(gè)正數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)的和是A． B． C． D．【題型八】等比數(shù)列單調(diào)性1..已知等差數(shù)列公差不為0，正項(xiàng)等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．2.若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．3.設(shè)是等比數(shù)列，則“對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4.數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5.如果是公比為q的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，那么“”是“數(shù)列為單調(diào)數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【題型九】等比數(shù)列恒成立型求參1.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)，若數(shù)列是無窮數(shù)列，且滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．存在數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 B．存在數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列C．恒成立 D．2.（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┮阎獢?shù)列是公比為的等比數(shù)列，是其前和，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，是公比為的等比數(shù)列，記，若不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4.（2021·甘肅武威·武威第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列中，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．5.（2022秋·遼寧沈陽·高二沈陽市第三十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“對(duì)恒成立”是“是公比為2的等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型十】等比型下標(biāo)數(shù)列1.（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知遞增數(shù)列對(duì)任意均滿足，記，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于A． B． C． D．2.已知數(shù)列中，，且（），則（

）．A． B． C． D．3.已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，n的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．74.已知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則A． B． C． D．【題型十一】等比數(shù)列求范圍型1.（2020秋·吉林長春·高二長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)，，，成等差數(shù)列，，，，成等比數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2. （2019·浙江·高二專題練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為，如果實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則的取值范圍為A． B． C． D．3.（2022·河北·高二階段練習(xí)）在圓內(nèi)，過點(diǎn)有三條弦的長度成等比數(shù)列.則其公比的取值范圍（

）.A． B．C． D．4.（2019·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為9，如果實(shí)數(shù)構(gòu)成公比不等于的等比數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5.（2017秋·湖南岳陽·高二岳陽一中階段練習(xí)）三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若有成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型十二】等比數(shù)列與三角函數(shù)綜合知識(shí)點(diǎn)與技巧：中，，，或，，三邊成等比，意味著角，熟記此結(jié)論可以提高解小題的時(shí)間.1.（2022·安徽池州·高一階段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角、、的所對(duì)的邊、、成等比數(shù)列，且公比為，則的取值范圍為A． B． C． D．2.（2022·遼寧·高二練習(xí)）在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊a、b、c成等比數(shù)列.則的取值范圍是.A．(0,+∞) B． C． D．3.（2023春·遼寧·高二遼師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)△ABC的內(nèi)角的所對(duì)的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是A． B．C． D．4.（2022春·重慶·高二統(tǒng)考）設(shè)△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則角B的取值范圍是A． B． C． D．5.（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知中，，，成等比數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．培優(yōu)練1.（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知等比數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．33..已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則（

）A． B． C．1 D．24.正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，成等差數(shù)列，則（

）A．或－1 B．或1 C． D．5.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，，當(dāng)最小時(shí)，的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．66.（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)不正確的是（

）A．為遞減數(shù)列 B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．7.在1和256中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則公比為（

）A．±2 B．2 C． D．48.已知數(shù)列滿足，，設(shè)，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．9.（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知，數(shù)列為等比數(shù)列，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)