專題08 橢圓雙曲線綜合大題（原卷版）

專題08橢圓雙曲線綜合大題一、鞏固提升練【題型一】韋達(dá)定理基礎(chǔ)：五個(gè)方程【題型二】直線雙變量型【題型三】韋達(dá)定理“變異”型【題型四】直線過定點(diǎn)【題型五】斜率“和與積”型定點(diǎn)【題型六】韋達(dá)定理型求定值【題型七】非韋達(dá)定理型點(diǎn)帶入【題型八】面積最值型【題型九】軌跡型二、能力培優(yōu)練熱點(diǎn)好題歸納知識(shí)點(diǎn)與技巧：一、利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.二、直線與橢圓的相交弦長的求解方法：1.當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.2.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為的直線與橢圓相交于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長公式的常見形式有如下兩種：（1）；（2）（）.三、過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法（1）動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題．解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為，由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動(dòng)直線過定點(diǎn)；（2）動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．四、求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．【題型一】韋達(dá)定理基礎(chǔ)：五個(gè)方程1.（2022秋·廣東深圳·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，一條漸近線方程為，直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程.(2)若過雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得直線繞點(diǎn)無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由.2.．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：的離心率為，短軸長為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.求證：.3.（2023秋·黑龍江鶴崗·高二鶴崗市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線C與有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程，并寫出其離心率與漸近線方程；(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)m的值．4.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，，原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的離心率；(2)平面上點(diǎn)B滿足，過與平行的直線交于兩點(diǎn)，若，求橢圓的方程.【題型二】直線雙變量型1.（2022·廣東東莞·期中）已知橢圓的離心率為分別為橢圓的上?下頂點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），且的面積為，過點(diǎn)A作直線，交橢圓于點(diǎn)，求證：.2.（2023春·湖北·高二開學(xué)考）已知雙曲線的焦距為，直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是上異于兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率之積為.(1)求的方程；(2)已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值.3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線過定點(diǎn).4.．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線.四個(gè)點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，求原點(diǎn)到直線的距離.【題型三】韋達(dá)定理“變異”型1.橢圓：（）的離心率為，遞增直線過橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的斜率.2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，，動(dòng)圓與圓，均外切，記圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)直線過點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，滿足，求直線的方程．3..已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．右焦點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過右焦點(diǎn)為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．4.（2023秋·江蘇蘇州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的兩條漸近線分別為，.(1)求雙曲線的離心率；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過雙曲線上一點(diǎn)作直線分別交直線，于，兩點(diǎn)（，分別在第一、第四象限），且，求的面積.【題型四】直線過定點(diǎn)1.已知橢圓過點(diǎn)．右焦點(diǎn)為，縱坐標(biāo)為的點(diǎn)在上，且．(1)求的方程：(2)設(shè)過與軸垂直的直線為，縱坐標(biāo)不為的點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過作直線的垂線交于點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．2..已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)且不垂直于軸的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)B關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，證明：直線與軸交于定點(diǎn).3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑與外接圓的半徑的比是．(1)求橢圓的方程；(2)過的左焦點(diǎn)作弦，，這兩條弦的中點(diǎn)分別為，，若，證明：直線過定點(diǎn)．4.已知雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)與軸不重合的直線與雙曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)，直線與雙曲線分別交于另一點(diǎn).①若直線與直線的斜率都存在，并分別設(shè)為.是否存在實(shí)常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.②證明：直線恒過定點(diǎn).【題型五】斜率“和與積”型求定點(diǎn)1.．（2023秋·湖北荊州·高二沙市中學(xué)?？计谀┮阎p曲線經(jīng)過點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)為雙曲線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率滿足，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)，為上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，判斷：直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．3.（2023春·山西大同·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線的離心率為，且過點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)設(shè)A，B為C上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，則求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．4.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，點(diǎn)在橢圓C上，不過點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線AP，AQ的斜率之和為1，試問直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．【題型六】韋達(dá)定理型求定值1.已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與該雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)，設(shè)，．(1)若，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；(2)設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)E，，，證明：為定值．2.已知橢圓：，，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)若過點(diǎn)且不與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，，證明，斜率之積為定值．3..已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)（2，3），兩條漸近線的夾角為60°，直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程．(2)若l過原點(diǎn)，P為雙曲線上異于A、B的一點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率、均存在．求證：為定值．(3)若l過雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在x軸上的點(diǎn)M（m，0），使得直線l繞點(diǎn)無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．4.已知橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，0），左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且|F1F2|＝2，直線l交橢圓Γ于不同的兩點(diǎn)M和N．(1)求橢圓Γ的方程；(2)若直線l的斜率為1，且以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A，求直線l的方程；(3)若直線l與橢圓Γ相切，求證：點(diǎn)F1、F2到直線l的距離之積為定值．【題型七】非韋達(dá)定理型點(diǎn)帶入1.已知橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)為橢圓上不與重合的任意一點(diǎn)，直線分別與直線相交于點(diǎn)，求證：.2.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點(diǎn)是雙曲線的右支上異于頂點(diǎn)的任意點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，為的中點(diǎn)，求證：直線與直線的交點(diǎn)在某定曲線上．3.已知橢圓的左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)．(1)求的方程(2)設(shè)為上一點(diǎn)（異于左、右頂點(diǎn)），為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：．4.已知雙曲線的離心率為，且點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程：(2)試問：在雙曲線的右支上是否存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，且？若存在，求出點(diǎn)；若不存在，請說明理由.【題型八】面積最值型1.（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上，設(shè)點(diǎn)為的短軸的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且，的斜率之積為.(1)求的方程；(2)過的兩焦點(diǎn)、作兩條相互平行的直線，交于，和，，求四邊形面積的取值范圍.2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，已知曲線C上任意一點(diǎn)滿足.(1)化簡曲線的方程；(2)已知圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切，過點(diǎn)A作直線的垂線，交于兩點(diǎn)，求面積的最小值.3.（2024·全國·高二專題練習(xí)）在中，已知點(diǎn)，，邊上的中線長與邊上的中線長之和為6；記的重心的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若圓：，，過坐標(biāo)原點(diǎn)且與軸不重合的任意直線與圓相交于點(diǎn)，，直線，與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)，，求面積的最大值.4.．（2022秋·江西撫州·高二江西省臨川第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到的距離與到直線的距離之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)點(diǎn)是軌跡上一點(diǎn)，在直線，上分別取點(diǎn)A，B，當(dāng)A，B分別位于第一、二象限時(shí)，若，，求△AOB面積的取值范圍.附：在△ABC中，若，則△ABC的面積為.【題型九】軌跡型1.（2021·高二單元測試）已知平面內(nèi)B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，.①的周長為18；②直線AB、AC的斜率分別為、，且.請從上面條件中任選一個(gè)作答，以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，求出三角形ABC頂點(diǎn)A的軌跡方程.2.已知圓A：，直線l（與x軸不重合）過點(diǎn)交圓A于C、D兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線的平行線交直線于點(diǎn)E.(1)證明為定值，并求點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡方程為，直線l與曲線交于M、N兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，是否存在實(shí)常數(shù)入，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.浙江省名校協(xié)作體2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題3.已知是橢圓中垂直于長軸的動(dòng)弦，是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，求直線和的交點(diǎn)的軌跡方程．4.（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線與直線：有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.1.（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知雙曲線的焦距為10，漸近線方程為.(1)求的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線與雙曲線的兩支分別交于、兩點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，求的值.2.．（2023秋·江蘇蘇州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式：.(1)點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；(2)設(shè)圓O：，直線l：與圓O相切且與點(diǎn)M的軌跡交于不同兩點(diǎn)A，B，當(dāng)且時(shí)，求弦長的最大值.3.（2021春·云南昭通·高二校考期末）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為45°，到直線l的距離為.(1)求橢圓C的焦距；(2)如果，求橢圓C的方程.4.已知雙曲線．(1)求雙曲線C的離心率；(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B均異于左、右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點(diǎn)D，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．5.（2022秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線的焦距為且經(jīng)過點(diǎn).(1)求雙曲線的方程：(2)若直線不經(jīng)過點(diǎn)，與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且直線MA，MB的斜率之和為1，求證：直線l恒過定點(diǎn).6.已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為A，，右焦點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為2，當(dāng)軸時(shí)，.(1)求橢圓的方程；(2)已知直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn).求證：為定值.7.如圖，，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，，是該雙曲線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)