2023-2024學(xué)年江西省南昌二十八中教育集團(tuán)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年江西省南昌二十八中教育集團(tuán)九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共6小題，每小題3分，共計(jì)18分）1．下列事件為隨機(jī)事件的是（）A．負(fù)數(shù)大于正數(shù) B．三角形內(nèi)角和等于180° C．明天太陽從東方升起 D．購買一張彩票，中獎(jiǎng)2．垃圾分類一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四種垃圾分類標(biāo)識的圖案和文字說明，其中圖案是中心對稱圖形的是（）A．有害垃圾 B．廚余垃圾 C．其它垃圾 D．可回收物3．下列各點(diǎn)中，在反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)是（）A．（1，6） B．（﹣6，﹣1） C．（6，1） D．（2，﹣3）4．半徑為5的四個(gè)圓按如圖所示位置擺放，若其中有一個(gè)圓的圓心到直線l的距離為4，則這個(gè)圓可以是（）A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O45．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M≥N B．M≤N C．M＝N D．不能確定6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行于x軸的直線y＝2，與二次函數(shù)y＝x2，y＝ax2分別交于A、B和C、D，若CD＝2AB，則a為（）A．4 B． C．2 D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計(jì)18分）7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，﹣1）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．8．點(diǎn)A（1，m），B（4，n）是拋物線y＝（x﹣2）2上的兩點(diǎn)，則mn．（填＜，＞或＝）9．一個(gè)不透明的袋中裝有紅、黃兩種顏色的球共40個(gè)，這些球除顏色外都相同，小旭通過多次摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.35左右，則袋中紅球可能有個(gè)．10．讀一讀下面的詩詞：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同．詩詞大意是周瑜三十歲當(dāng)上了東吳都督，去世時(shí)年齡是兩位數(shù)，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)小3，個(gè)位數(shù)的平方等于他去世時(shí)的年齡．若設(shè)他去世時(shí)年齡的個(gè)位數(shù)為x，則根據(jù)題意可列出方程．11．如圖，用圓心角為120°，半徑為6cm的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐形無底紙帽，則這個(gè)紙帽的高是cm．12．如圖，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)A作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)B，若點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，且∠PBA＝45°，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共計(jì)30分）13．解下列一元二次方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．14．為了更好的感受中考考法，精準(zhǔn)備考，學(xué)生L和學(xué)生H兩位同學(xué)，分別從2020、2021、2022、2023四年的浙江中考真題中選擇一套完成，四套題分別記為A、B、C、D，若他們兩人選擇哪一套題相互不受影響，且選擇每一套題的幾率均等．（1）他們都選擇“2023”的概率為；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩人都不選擇“2023”的概率．15．如圖，在⊙O中，請僅用無刻度直尺作出A'B'，使得A'B'＝AB（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中，已知AB是⊙O的一條弦；（2）在圖2中，已知點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O外．16．“筒車”是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了“筒車”的工作原理．如圖，“筒車”盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O始終在水面上方，且當(dāng)圓被水面截得的弦AB為6米時(shí)，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點(diǎn)距離水面的最大距離）．（1）求該圓的半徑；（2）若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦AB從原來的6米變?yōu)?米時(shí)，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？17．將一副三角尺（∠C＝∠F＝90°，∠EDF＝∠E＝45°，∠A＝30°）進(jìn)行放置，點(diǎn)D在AB邊上，△ABC不動(dòng)，將△DEF繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)，使線段AC與DE相交，線段DF與BC相交．（1）如圖1，當(dāng)DF∥AC時(shí)，∠1+∠2＝°；（2）如圖2，當(dāng)DF與AC不平行時(shí)，求∠1+∠2的度數(shù)．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共計(jì)24分）18．已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：無論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊a＝3，另兩邊長b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長19．圖中是拋物線拱橋，點(diǎn)P處有一照明燈，水面OA寬4m，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，）．（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)水面上升1m，水面寬是多少？20．如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)．在AB的延長線上取一點(diǎn)D，連接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含π的式子表示）．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共計(jì)18分）21．為了預(yù)防某種流感病毒，某學(xué)校在休息天用藥熏消毒法對教室進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），如圖所示．據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）寫出從藥物釋放開始，y與t之間的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量的取值范圍；（2）當(dāng)室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量達(dá)到1毫克及以上時(shí)才能起有效的消毒作請問本次消毒過程中，有效的消毒作用時(shí)長為多少小時(shí)？（3）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.5毫克以下時(shí)，學(xué)生方可室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)后，學(xué)生才能進(jìn)入教室？22．如圖，拋物線過點(diǎn)O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上．設(shè)B（t，0），當(dāng)t＝2時(shí)，BC＝4．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形ABCD的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．六、解答題（本大題共1小題，每小題12分，共計(jì)12分）23．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點(diǎn)D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：，∠BDC＝°；（2）類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，連接BE，CF，延長BE，F(xiàn)C交于點(diǎn)D．請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，△ABC和△AEF均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，連接BE，CF，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)在一條直線上，過點(diǎn)A作AM⊥BF，垂足為點(diǎn)M．則BF，CF，AM之間的數(shù)量關(guān)系：．

參考答案一、單選題（本大題共6小題，每小題3分，共計(jì)18分）1．下列事件為隨機(jī)事件的是（）A．負(fù)數(shù)大于正數(shù) B．三角形內(nèi)角和等于180° C．明天太陽從東方升起 D．購買一張彩票，中獎(jiǎng)【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合必然事件、隨機(jī)事件、隨機(jī)事件的定義即可求解．解：A．負(fù)數(shù)大于正數(shù)是不可能事件，不符合題意；B．三角形內(nèi)角和等于180°是必然事件，不符合題意；C．明天太陽從東方升起是必然事件，不符合題意；D．購買一張彩票，中獎(jiǎng)是隨機(jī)事件，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查必然事件、隨機(jī)事件、隨機(jī)事件的定義，屬于基礎(chǔ)題，理解相關(guān)概念是關(guān)鍵．2．垃圾分類一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四種垃圾分類標(biāo)識的圖案和文字說明，其中圖案是中心對稱圖形的是（）A．有害垃圾 B．廚余垃圾 C．其它垃圾 D．可回收物【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與自身重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形．據(jù)此判斷即可．解：A．是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；B．不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C．不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D．不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形的概念．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．3．下列各點(diǎn)中，在反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)是（）A．（1，6） B．（﹣6，﹣1） C．（6，1） D．（2，﹣3）【分析】將各選項(xiàng)坐標(biāo)代入解析式可求解．解：當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣6，故（1，6）不在反比例函數(shù)圖象上；當(dāng)x＝﹣6時(shí)，y＝1，故（﹣6，﹣1）不在反比例函數(shù)圖象上；當(dāng)x＝6時(shí)，y＝﹣1，故（6，1）不在反比例函數(shù)圖象上；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣3，故（2，﹣3）在反比例函數(shù)圖象上；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確掌握代入法是解題的關(guān)鍵．4．半徑為5的四個(gè)圓按如圖所示位置擺放，若其中有一個(gè)圓的圓心到直線l的距離為4，則這個(gè)圓可以是（）A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解答即可．解：∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四個(gè)半徑為5的等圓，∴圓心到直線l的距離為4是⊙O3，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出這個(gè)圓．5．若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M≥N B．M≤N C．M＝N D．不能確定【分析】兩個(gè)式子作差計(jì)算即可．解：M﹣N＝2x2﹣12x+15﹣（x2﹣8x+11）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0，∴M≥N，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要注意配方的步驟，注意在變形的過程中不要改變式子的值．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行于x軸的直線y＝2，與二次函數(shù)y＝x2，y＝ax2分別交于A、B和C、D，若CD＝2AB，則a為（）A．4 B． C．2 D．【分析】將y＝2分別代入y＝x2，y＝ax2求出AB，CD長度，根據(jù)CD＝2AB求解．解：將y＝2代入y＝x2得2＝x2，解得x1＝﹣，x2＝，將y＝2代入y＝ax2得2＝ax2，解得x3＝﹣，x4＝，∴AB＝2，CD＝，由題意得＝4，解得a＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計(jì)18分）7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，﹣1）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，1）．【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號相反可得答案．解：點(diǎn)（2，﹣1）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，1），故答案為：（﹣2，1）．【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．8．點(diǎn)A（1，m），B（4，n）是拋物線y＝（x﹣2）2上的兩點(diǎn)，則m＜n．（填＜，＞或＝）【分析】根據(jù)拋物線解析式得到開口向上，對稱軸為直線x＝2，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性即可得到結(jié)論．解：∵拋物線y＝（x﹣2）2，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝2，∴當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)A（1，m）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為（3，m），且3＜4，∴m＜n．故答案為＜．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．一個(gè)不透明的袋中裝有紅、黃兩種顏色的球共40個(gè)，這些球除顏色外都相同，小旭通過多次摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.35左右，則袋中紅球可能有26個(gè)．【分析】根據(jù)概率公式計(jì)算即可．解：設(shè)袋子中黃球有x個(gè)，根據(jù)題意，得：＝0.35，解得：x＝14，即布袋中黃球可能有14個(gè)，紅球的個(gè)數(shù)為40﹣14＝26（個(gè)），故答案為：26．【點(diǎn)評】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．10．讀一讀下面的詩詞：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同．詩詞大意是周瑜三十歲當(dāng)上了東吳都督，去世時(shí)年齡是兩位數(shù)，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)小3，個(gè)位數(shù)的平方等于他去世時(shí)的年齡．若設(shè)他去世時(shí)年齡的個(gè)位數(shù)為x，則根據(jù)題意可列出方程x2＝10（x﹣3）+x．【分析】根據(jù)個(gè)位及十位數(shù)字間的關(guān)系，可得出他去世時(shí)年齡的十位數(shù)為x（x﹣3），結(jié)合個(gè)位數(shù)的平方等于他去世時(shí)的年齡，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．解：∵去世時(shí)年齡是兩位數(shù)，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)小3，他去世時(shí)年齡的個(gè)位數(shù)為x，∴他去世時(shí)年齡的十位數(shù)為（x﹣3）．根據(jù)題意得：x2＝10（x﹣3）+x．故答案為：x2＝10（x﹣3）+x．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．如圖，用圓心角為120°，半徑為6cm的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐形無底紙帽，則這個(gè)紙帽的高是4cm．【分析】先利用弧長公式得到圓心角為120°，半徑為6cm的扇形的弧長＝4π，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，則可計(jì)算出圓錐的底面圓的半徑為2，然后根據(jù)勾股定理可計(jì)算出圓錐的高．解：∵圓心角為120°，半徑為6cm的扇形的弧長＝＝4π，∴圓錐的底面圓的周長為4π，∴圓錐的底面圓的半徑為2，∴這個(gè)紙帽的高＝＝4（cm）．故答案為4．【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了弧長公式和勾股定理．12．如圖，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)A作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)B，若點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，且∠PBA＝45°，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是1或2或．【分析】先求出k的值，然后根據(jù)BD＝DP列式即可．【解答】解過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D．把點(diǎn)代入得：3＝，∴k＝2，∴y＝，設(shè)P（x，），∵AB∥x軸，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P相同，都是x，∴點(diǎn)D（x，3），∵∠PAB＝45°，∴∠APD＝∠PAB，∴BD＝DP，當(dāng)點(diǎn)P在A的下方時(shí)，則有3﹣＝x解得：x＝1或x＝2，當(dāng)點(diǎn)P在A的上方時(shí)，則有﹣3＝x，解得：x＝或x＝（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是1或2或．故答案為：1或2或．【點(diǎn)評】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的知識等，根據(jù)BD＝DP列出方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共計(jì)30分）13．解下列一元二次方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．【分析】（1）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可．解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，x1＝5，x2＝﹣1；（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4），（x﹣4）2﹣10（x﹣4）＝0，（x﹣4）（x﹣4﹣10）＝0，x﹣4＝0或x﹣4﹣10＝0，x1＝4，x2＝14．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．14．為了更好的感受中考考法，精準(zhǔn)備考，學(xué)生L和學(xué)生H兩位同學(xué)，分別從2020、2021、2022、2023四年的浙江中考真題中選擇一套完成，四套題分別記為A、B、C、D，若他們兩人選擇哪一套題相互不受影響，且選擇每一套題的幾率均等．（1）他們都選擇“2023”的概率為；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩人都不選擇“2023”的概率．【分析】（1）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及他們都選擇“2023”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案；（2）由樹狀圖可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩人都不選擇“2023”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案；解：（1）畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中他們都選擇D的結(jié)果有1種，他們都選擇“2023”的概率為，故答案為：；（2）由樹狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中他們都不選擇D的結(jié)果有9種，∴兩人都不選擇“2023”的概率為．【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．15．如圖，在⊙O中，請僅用無刻度直尺作出A'B'，使得A'B'＝AB（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中，已知AB是⊙O的一條弦；（2）在圖2中，已知點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O外．【分析】（1）根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)解全等三角形的性質(zhì)作圖；（2）根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)解全等三角形的性質(zhì)作圖．解：（1）如圖1：A'B'即為所求；（2）如圖2：A'B'即為所求．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．“筒車”是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了“筒車”的工作原理．如圖，“筒車”盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O始終在水面上方，且當(dāng)圓被水面截得的弦AB為6米時(shí)，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點(diǎn)距離水面的最大距離）．（1）求該圓的半徑；（2）若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦AB從原來的6米變?yōu)?米時(shí)，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？【分析】（1）作OD⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)垂徑定理得AE＝3米，設(shè)圓的半徑為r米，根據(jù)勾股定理得AE2+OE2＝OA2，即可求出答案；（2）當(dāng)AB＝8米時(shí)，AE＝4，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．解：（1）如圖，作OD⊥AB于點(diǎn)E，交圓于點(diǎn)D，則AE＝AB＝3米，DE＝1米，設(shè)圓的半徑為r米，在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，∴32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∴該圓的半徑為5米；（2）如圖，當(dāng)AB＝8米時(shí)，AE＝AB＝4，在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，∴42+OE2＝52，∴OE＝3米，∴DE＝5﹣3＝2（米），答：水面下盛水筒的最大深度為2米．【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．17．將一副三角尺（∠C＝∠F＝90°，∠EDF＝∠E＝45°，∠A＝30°）進(jìn)行放置，點(diǎn)D在AB邊上，△ABC不動(dòng)，將△DEF繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)，使線段AC與DE相交，線段DF與BC相交．（1）如圖1，當(dāng)DF∥AC時(shí)，∠1+∠2＝135°；（2）如圖2，當(dāng)DF與AC不平行時(shí)，求∠1+∠2的度數(shù)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠EDF＝45°，∠2＝∠C＝90°，即可求解；（2）由三角形內(nèi)角和定理可得∠1+∠A+∠ADB+∠2+∠B+∠BDF＝360°，即可求解．解：（1）∵DF∥AC，∴∠1＝∠EDF＝45°，∠2＝∠C＝90°，∴∠1+∠2＝45°+90°＝135°；故答案為：135；（2）∠1+∠2的度數(shù)不會(huì)變化，理由如下：∵∠1+∠A+∠ADB＝180°，∠2+∠B+∠BDF＝180°，∴∠1+∠A+∠ADB+∠2+∠B+∠BDF＝360°，∴∠1+30°+∠ADE+∠2+60°+∠BDF＝360°，∴∠1+∠2+∠ADE+∠BDF+90°＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°﹣（180°﹣45°）＝135°．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共計(jì)24分）18．已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：無論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊a＝3，另兩邊長b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長【分析】（1）表示出方程根的判別式，判斷其值大于等于0即可得證；（2）分兩種情況考慮：當(dāng)b＝c時(shí)，求出方程的解，進(jìn)而得到三角形周長；當(dāng)a＝c或a＝b時(shí)，把x＝3代入方程求出k的值，進(jìn)而求出周長即可．【解答】（1）證明：∵關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0，∴Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，則無論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：當(dāng)b＝c時(shí)，k＝2，方程為x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，此時(shí)三邊長為3，2，2，周長為3+2+2＝7；當(dāng)a＝b＝3或a＝c＝3時(shí)，把x＝3代入方程得：9﹣3（k+2）+2k＝0，解得：k＝3，此時(shí)方程為：x2﹣5x+6＝0，解得：x1＝2，x2＝3，此時(shí)三邊長為3，3，2，周長為3+3+2＝8，綜上所述，△ABC的周長為7或8．【點(diǎn)評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，三角形三邊關(guān)系，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．19．圖中是拋物線拱橋，點(diǎn)P處有一照明燈，水面OA寬4m，以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，）．（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)水面上升1m，水面寬是多少？【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得；（2）在所求函數(shù)解析式中求出y＝1時(shí)x的值即可得．解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx，將點(diǎn)A（4，0）、P（3，）代入，得：，解得：，所以拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x；（2）當(dāng)y＝1時(shí)，﹣x2+2x＝1，即x2﹣4x+2＝0，解得：x＝2，則水面的寬為2+﹣（2﹣）＝2（m）．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題求解，并熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．20．如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)．在AB的延長線上取一點(diǎn)D，連接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含π的式子表示）．【分析】（1）連接OC，由AB是直徑，可得∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，再證∠OCA＝∠A＝∠BCD，從而有∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，即可證明．（2）由圓周角定理求得∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用三角形的面積公式和扇形的面積公式即可解答．【解答】（1）證明：連接OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD是⊙O的切線．（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠BOC＝＝tan60°，CD＝2，∴，解得OC＝2，∴陰影部分的面積＝S△OCD﹣S扇形BOC＝﹣＝2﹣．【點(diǎn)評】本題主要考查圓周角定理，切線的判定，扇形的面積公式及解直角三角形，熟練掌握性質(zhì)是解題關(guān)鍵．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共計(jì)18分）21．為了預(yù)防某種流感病毒，某學(xué)校在休息天用藥熏消毒法對教室進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），如圖所示．據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）寫出從藥物釋放開始，y與t之間的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量的取值范圍；（2）當(dāng)室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量達(dá)到1毫克及以上時(shí)才能起有效的消毒作請問本次消毒過程中，有效的消毒作用時(shí)長為多少小時(shí)？（3）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.5毫克以下時(shí)，學(xué)生方可室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)后，學(xué)生才能進(jìn)入教室？【分析】（1）將點(diǎn)（1，4）代入正比例函數(shù)y＝kx得其解析式，代入反比例函數(shù)y＝得其解析式即可；（2）將y＝1代入兩個(gè)解析式，計(jì)算出時(shí)間段即可；（3）將y＝0，5代入反比例函數(shù)解析式計(jì)算即可．解：（1）由題意和圖象可知：設(shè)正比例函數(shù)為y＝kx，點(diǎn)（1，4）代入得，k＝4，∴正比例函數(shù)解析式為：y＝4t（0≤t≤1）；將（1，4）代入y＝中，得a＝4，∴反比例函數(shù)解析式為：y＝（t≥1）；（2）當(dāng)y＝1時(shí)，1＝4t，t＝；1＝；t＝4；4﹣＝3（小時(shí)），（3）當(dāng)y＝時(shí)，＝，t＝8．至少需要經(jīng)過8小時(shí)后，學(xué)生才能進(jìn)入教室．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，應(yīng)用反比例函數(shù)解題時(shí)，特別要注意自變量的取值范圍．22．如圖，拋物線過點(diǎn)O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上．設(shè)B（t，0），當(dāng)t＝2時(shí)，BC＝4．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形ABCD的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．【分析】（1）由點(diǎn)E的坐標(biāo)設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，再把點(diǎn)C的坐標(biāo)（2，﹣4）代入計(jì)算可得；（2）由拋物線的對稱性得AE＝OB＝t，據(jù)此知AB＝10﹣2t，再由x＝t時(shí)BC＝t2﹣t，根據(jù)矩形的周長公式列出函數(shù)解析式，配方成頂點(diǎn)式即可得；（3）連接AC，BD相交于點(diǎn)P，連接OC，取OC的中點(diǎn)Q，連接PQ，根據(jù)直線GH平分矩形ABCD的面積，得到直線GH過點(diǎn)P，由平移的性質(zhì)可知，四邊形OCHG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ＝CH，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，求得PQ＝OA，于是得到結(jié)論．解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝ax（x﹣10），∵當(dāng)t＝2時(shí)，BC＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，﹣4），∴將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式得2a（2﹣10）＝﹣4，解得：a＝，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x；（2）由拋物線的對稱性得AE＝OB＝t，∴AB＝10﹣2t，當(dāng)x＝t時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為t2﹣t，∴矩形ABCD的周長＝2（AB+BC）＝2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]＝﹣t2+t+20＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)t＝1時(shí)，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為；（3）如圖，連接AC，BD相交于點(diǎn)P，連接OC，取OC的中點(diǎn)Q，連接PQ，∵t＝2，∴B（2，0），∴A（8，0），∵BC＝4．∴C（2，﹣4），∵直線GH平分矩形ABCD的面積，∴直線GH過點(diǎn)P，由平移的性質(zhì)可知，四邊形OCHG是平行四邊形，∴PQ＝CH，∵四邊形ABCD是矩形，∴點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，∴P（5，﹣2），∴PQ＝OA，∵OA＝8，CH＝PQ＝OA＝4，∴拋物線向右平移的距離是4個(gè)單位【點(diǎn)評】本題主要考