2023-2024學年山東省濟南市平陰縣九年級（上）期末數學試卷（含解析）

2023-2024學年山東省濟南市平陰縣九年級第一學期期末數學試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．椫卯是古代中國建筑、家具及其它器械的主要結構方式，是我國工藝文化精神的傳奇；凸出部分叫棒，凹進部分叫卯，如圖是某個部件“卯”的實物圖，它的俯視圖是（）A． B． C． D．2．如果兩個相似三角形對應邊之比是1：2，那么它們的對應周長之比是（）A． B．1：2 C．1：4 D．1：63．下列函數中，函數值y隨x的增大而減小的是（）A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣4．如圖，小兵同學從A處出發(fā)向正東方向走x米到達B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（）A．米 B．米 C．x?sinα米 D．x?cosα米5．據國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（）A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7 C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.26．如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現以原點O為位似中心，在第一象限內作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）7．如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的度數為（）A．32° B．42° C．48° D．52°8．為落實教育部辦公廳、中共中央宣傳部辦公廳關于《第41批向全國中小學生推薦優(yōu)秀影片片目》的通知精神，某校七、八年級分別從如圖所示的三部影片中隨機選擇一部組織本年級學生觀看，則這兩個年級選擇的影片相同的概率為（）A． B． C． D．9．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在函數（k＞0，x＞0）的圖象上，分別以A、B為圓心，1為半徑作圓，當⊙A與x軸相切、⊙B與y軸相切時，連接AB，，則k的值為（）A．3 B．3 C．4 D．610．若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍點”．在﹣3＜x＜1的范圍內，若二次函數y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，則c的取值范圍是（）A．﹣≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣≤c＜6 D．﹣4≤c＜5二、填空題（共6個小題，每小題4分，共24分）11．不透明袋子中裝有10個球，其中有7個綠球、3個紅球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機取出1個球，則它是綠球的概率為．12．已知，那么的值等于．13．若x＝2是關于x的方程x2+x﹣2m＝0的一個解，則m的值是．14．已知二次函數y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的頂點坐標為．15．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為．16．如圖，在反比例函數（x＞0）的圖象上有P1，P2，P3，…P2024等點，它們的橫坐標依次為1，2，3，…，2024，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，…，S2023，則S1+S2+S3+…+S2023＝．三、解答題（共10個小題，共86分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．計算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．18．解方程：x2﹣3x﹣4＝0．19．在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現將矩形折疊，折痕為BN，點A對應的點記為點M，若點M恰好落在邊DC上，求證：△NDM∽△MCB．20．貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗，擬在如圖①景區(qū)內修建觀光索道．設計示意圖如圖②所示，以山腳A為起點，沿途修建AB、CD兩段長度相等的觀光索道，最終到達山頂D處，中途設計了一段與AF平行的觀光平臺BC為50m．索道AB與AF的夾角為15°，CD與水平線夾角為45°，A、B兩處的水平距離AE為576m，DF⊥AF，垂足為點F．（圖中所有點都在同一平面內，點A、E、F在同一水平線上）（1）求索道AB的長（結果精確到1m）；（2）求水平距離AF的長（結果精確到1m）．（參考數據：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）21．某校舉辦“我勞動，我快樂，我光榮”活動．為了解該校九年級學生周末在家的勞動情況，隨機調查了九年級1班的所有學生在家勞動時間（單位：小時），并進行了統(tǒng)計和整理，繪制如圖所示的不完整統(tǒng)計圖．根據圖表信息回答以下問題：類別勞動時間xA0≤x＜1B1≤x＜2C2≤x＜3D3≤x＜4E4≤x（1）九年級1班的學生共有人，補全條形統(tǒng)計圖；（2）已知E類學生中恰好有2名女生3名男生，現從中抽取兩名學生做勞動交流，請用列表或畫樹狀圖的方法，求所抽的兩名學生恰好是一男一女的概率．22．當今社會，“直播帶貨”已經成為商家的一種新型的促銷手段．小亮在直播間銷售一種進價為每件10元的日用商品，經調查發(fā)現，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數關系，它們的關系如下表：銷售單價x（元）202530銷售量y（件）200150100（1）求y與x之間的函數關系式；（2）該商家每天想獲得2160元的利潤，又要盡可能地減少庫存，應將銷售單價定為多少元？23．如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE是⊙O的切線，且DE⊥AC，垂足為E，延長CA交⊙O于點F．（1）求證：AB＝AC；（2）若AE＝3，DE＝6，求CE的長．24．如圖，一次函數y1＝kx+b（k≠0）與函數為的圖象交于兩點．（1）求這兩個函數的解析式；（2）根據圖象，直接寫出滿足y1﹣y2＞0時x的取值范圍；（3）點P在線段AB上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數y2的圖象于點Q，若△POQ的面積為3，求點P的坐標．25．如圖①，拋物線y＝ax2+bx﹣9與x軸交于點A（﹣3，0），B（6，0），與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是x軸上任意一點．（1）求拋物線的表達式；（2）點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標；（3）如圖②，當點P（m，0）從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作PE∥BC，交AC于點E，作PD⊥BC，垂足為點D．當m為何值時，△PED面積最大，并求出最大值．26．問題背景：一次小組合作探究課上，小明將一個正方形ABCD和等腰Rt△CEF按如圖1所示的位置擺放（點B、C、E在同一條直線上），其中∠ECF＝90°．小組同學進行了如下探究，請你幫助解答：初步探究（1）如圖2，將等腰Rt△CEF繞點C按順時針方向旋轉，連接BF，DE．請直接寫出BF與DE的關系；（2）如圖3，將（1）中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分別改成菱形ABCD和等腰△CEF，其中CE＝CF，∠BCD＝∠FCE，其他條件不變，求證：BF＝DE；深入探究（3）如圖4，將（1）中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分別改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°且，其它條件不變．①探索線段BF與DE的關系，說明理由；②連接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，直接寫出DF2+BE2＝．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．椫卯是古代中國建筑、家具及其它器械的主要結構方式，是我國工藝文化精神的傳奇；凸出部分叫棒，凹進部分叫卯，如圖是某個部件“卯”的實物圖，它的俯視圖是（）A． B． C． D．【分析】直接利用俯視圖即從物體的上面觀察得到視圖即可．解：如圖所示，俯視圖為：．故選：B．【點評】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，正確掌握觀察角度是解題關鍵．2．如果兩個相似三角形對應邊之比是1：2，那么它們的對應周長之比是（）A． B．1：2 C．1：4 D．1：6【分析】根據相似三角形的性質：相似三角形的周長的比等于相似比，求解即可．解：∵兩個相似三角形對應邊之比是1：2，∴它們的對應周長之比為1：2，故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．3．下列函數中，函數值y隨x的增大而減小的是（）A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣【分析】根據反比例函數的性質和正比例函數的性質分別判斷即可．解：A選項，y＝6x的函數值隨著x增大而增大，故A不符合題意；B選項，y＝﹣6x的函數值隨著x增大而減小，故B符合題意；C選項，在每一個象限內，y＝的函數值隨著x增大而減小，故C不符合題意；D選項，在每一個象限內，y＝﹣的函數值隨著x增大而增大，故D不符合題意，故選：B．【點評】本題考查了反比例函數的性質，正比例函數的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．4．如圖，小兵同學從A處出發(fā)向正東方向走x米到達B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（）A．米 B．米 C．x?sinα米 D．x?cosα米【分析】根據題意可得：BC⊥AB，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數的定義求出AC的長，即可解答．解：由題意得：BC⊥AB，在Rt△ABC中，∠CAB＝α，AB＝x米，∴AC＝＝（米），∴A，C兩處相距米，故選：B．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．5．據國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（）A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7 C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2【分析】根據2020年的人均可支配收入×（1+年平均增長率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．解：由題意得：3.2（1+x）2＝3.7，故選：B．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．6．如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現以原點O為位似中心，在第一象限內作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【分析】根據位似變換的性質解答即可．解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，∵點C的坐標為（3，2），∴點C′的坐標為（3×2，2×2），即（6，4），故選：C．【點評】本題考查的是位似變換的性質、相似三角形的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．7．如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的度數為（）A．32° B．42° C．48° D．52°【分析】根據外角∠APD，求出∠C，由同弧所對圓周角相等即可求出∠B．解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°﹣48°＝32°，∵，∴∠B＝∠C＝32°．故選：A．【點評】本題考查了圓周角的性質的應用，三角形外角的性質應用是解題關鍵．8．為落實教育部辦公廳、中共中央宣傳部辦公廳關于《第41批向全國中小學生推薦優(yōu)秀影片片目》的通知精神，某校七、八年級分別從如圖所示的三部影片中隨機選擇一部組織本年級學生觀看，則這兩個年級選擇的影片相同的概率為（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，其中七、八年級選擇的影片相同的結果有3種，再由概率公式求解即可．解：把三部影片分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中七、八年級選擇的影片相同的結果有3種，∴這兩個年級選擇的影片相同的概率為＝，故選：B．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．9．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在函數（k＞0，x＞0）的圖象上，分別以A、B為圓心，1為半徑作圓，當⊙A與x軸相切、⊙B與y軸相切時，連接AB，，則k的值為（）A．3 B．3 C．4 D．6【分析】依據題意，可得A（k，1），B（1，k），再由AB＝3，從而2（k﹣1）2＝18，進而得解．解：由題意，得A（k，1），B（1，k）．∵AB＝3，∴由兩點距離公式可得：2（k﹣1）2＝18．∴（k﹣1）2＝9．∴k＝﹣2或4．又k＞0，∴k＝4．故選：C．【點評】本題考查了反比例函數的圖象與性質的應用，解題時需要熟練掌握并理解．10．若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍點”．在﹣3＜x＜1的范圍內，若二次函數y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，則c的取值范圍是（）A．﹣≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣≤c＜6 D．﹣4≤c＜5【分析】由題意得，三倍點所在的直線為y＝3x，根據二次函數y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”轉化為y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一個交點，求Δ≥0，再根據x＝﹣3和x＝1時兩個函數值大小即可求出．解：由題意得，三倍點所在的直線為y＝3x，在﹣3＜x＜1的范圍內，二次函數y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，即在﹣3＜x＜1的范圍內，二次函數y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一個交點，令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，則Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3；把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，∴3＞﹣2+c，解得c＜5，綜上，c的取值范圍為：﹣4≤c＜5．故選：D．【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數與一次函數的交點問題，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．二、填空題（共6個小題，每小題4分，共24分）11．不透明袋子中裝有10個球，其中有7個綠球、3個紅球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機取出1個球，則它是綠球的概率為．【分析】找準兩點：①符合條件的情況數目；②全部情況的總數；二者的比值就是其發(fā)生的概率．解：∵袋子中共有10個球，其中綠球有7個，∴從袋子中隨機取出1個球，它是綠球的概率是，故答案為：．【點評】本題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．12．已知，那么的值等于．【分析】把化成+1，再進行計算即可得出答案．解：∵＝，∴＝+1＝+1＝．故答案為：．【點評】此題考查了比例的性質，把化成+1是解題的關鍵．13．若x＝2是關于x的方程x2+x﹣2m＝0的一個解，則m的值是3．【分析】把x＝2代入方程x2+x﹣2m＝0列出關于m的新方程，通過解新方程來求m的值．解：依題意，得22+2﹣2m＝0，解得：m＝3，故答案為：3．【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值．即用這個數代替未知數所得式子仍然成立．14．已知二次函數y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的頂點坐標為（2，﹣3）．【分析】二次函數y＝a（x﹣h）2+k的頂點坐標是（h，k），根據拋物線的頂點式解答．解：二次函數y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的頂點坐標為（2，﹣3），故答案為：（2，﹣3）．【點評】本題考查了二次函數的性質，熟知二次函數的頂點式是關鍵．15．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為．【分析】根據正切的定義求出AB，證明△ADE∽△ABC，根據相似三角形的性質列出比例式，把已知數據代入計算即可．解：由題意得，DE＝1，BC＝3，在Rt△ABC中，∠A＝60°，則AB＝＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BD＝，故答案為：．【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．16．如圖，在反比例函數（x＞0）的圖象上有P1，P2，P3，…P2024等點，它們的橫坐標依次為1，2，3，…，2024，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，…，S2023，則S1+S2+S3+…+S2023＝．【分析】將除第一個矩形外的所有矩形向左平移至y軸，得出所求面積為矩形ABP1D的面積，再分別求矩形ODP1C和矩形OABC的面積即可．解：∵P1，P2，P3，…P2024的橫坐標依次為1，2，3，…，2024，∴陰影矩形的一邊長都為1，將除第一個矩形外的所有矩形向左平移至y軸，∴S1+S2+S3+…+S2023＝，把x＝2024代入關系式得，y＝，即OA＝，∴S矩形OABC＝OA?OC＝，由幾何意義得，＝8，∴＝8﹣＝．故答案為：．【點評】本題考查了反比例函數的性質的應用，幾何意義的應用是解題關鍵．三、解答題（共10個小題，共86分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．計算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．【分析】先計算零次冪、化簡二次根式，再代入特殊值的函數值算乘法并化簡絕對值，最后算加減得結論．解：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|＝1+2﹣2×+5＝1+2﹣1+5＝7．【點評】本題考查了實數的混合運算，掌握零次冪、絕對值的意義，二次根式的性質及特殊角的函數值等知識點是解決本題的關鍵．18．解方程：x2﹣3x﹣4＝0．【分析】先把方程化為兩個因式積的形式，再求出x的值即可．解：∵原方程可化為：（x+1）（x﹣4）＝0，∴x+1＝0或x﹣4＝0，解得，x1＝4，x2＝﹣1．【點評】本題考查的是利用因式分解法解一元二次方程，根據題意把方程化為兩個因式積的形式是解答此題的關鍵．19．在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點N在邊AD上，現將矩形折疊，折痕為BN，點A對應的點記為點M，若點M恰好落在邊DC上，求證：△NDM∽△MCB．【分析】先根據圖形翻折變換的性質得出∠A＝∠BMN＝90°，故可得出∠DMN+∠BMC＝90°，再由∠DNM+∠DMN＝90°可得出∠DNM＝∠BMC，據此可得出結論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∵△MBN由△ABN翻折而成，∴∠DMN+∠BMC＝90°，∵∠DNM+∠DMN＝90°，∴∠DNM＝∠BMC，∴△NDM∽△MCB．【點評】本題考查的是相似三角形的判定，矩形的性質及翻折變換，熟知相似三角形的判定定理是解題的關鍵．20．貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗，擬在如圖①景區(qū)內修建觀光索道．設計示意圖如圖②所示，以山腳A為起點，沿途修建AB、CD兩段長度相等的觀光索道，最終到達山頂D處，中途設計了一段與AF平行的觀光平臺BC為50m．索道AB與AF的夾角為15°，CD與水平線夾角為45°，A、B兩處的水平距離AE為576m，DF⊥AF，垂足為點F．（圖中所有點都在同一平面內，點A、E、F在同一水平線上）（1）求索道AB的長（結果精確到1m）；（2）求水平距離AF的長（結果精確到1m）．（參考數據：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）【分析】（1）通過解Rt△ABE可求得AB的長；（2）延長BC交DF于G，證明四邊形BEFG是矩形，可得EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解Rt△CDG可求解CG的長，進而可求解．解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，∴AB＝（m），即AB的長約為600m；（2）延長BC交DF于G，∵BC∥AE，∴∠CBE＝90°，∵DF⊥AF，∴∠AFD＝90°，∴四邊形BEFG為矩形，∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，∴CG＝CD?cos∠DCG＝600×cos45°＝600×＝（m），∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+≈1049（m），即AF的長為1049m．【點評】本題主要考查解直角三角形的應用，掌握三角函數的概念是解題的關鍵．21．某校舉辦“我勞動，我快樂，我光榮”活動．為了解該校九年級學生周末在家的勞動情況，隨機調查了九年級1班的所有學生在家勞動時間（單位：小時），并進行了統(tǒng)計和整理，繪制如圖所示的不完整統(tǒng)計圖．根據圖表信息回答以下問題：類別勞動時間xA0≤x＜1B1≤x＜2C2≤x＜3D3≤x＜4E4≤x（1）九年級1班的學生共有50人，補全條形統(tǒng)計圖；（2）已知E類學生中恰好有2名女生3名男生，現從中抽取兩名學生做勞動交流，請用列表或畫樹狀圖的方法，求所抽的兩名學生恰好是一男一女的概率．【分析】（1）由C的人數及對應的百分數可得九年級1班的學生共有50人；求出B的人數為14人，D的人數為8人，再補全條形統(tǒng)計圖；（2）列樹狀圖用概率公式可得答案．解：（1）∵15÷30%＝50（人），∴九年級1班的學生共有50人；∴B的人數為50×28%＝14（人），∴D的人數為50﹣8﹣14﹣15﹣5＝8（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：故答案為：50；（2）列樹狀圖如下：由圖可知，一共有20中等可能的情況，其中恰為一男一女的情況有12種，∴所抽的兩名學生恰好是一男一女的概率是P＝＝．【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，解題的關鍵是從圖中獲取有用的信息和列樹狀圖求求概率．22．當今社會，“直播帶貨”已經成為商家的一種新型的促銷手段．小亮在直播間銷售一種進價為每件10元的日用商品，經調查發(fā)現，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數關系，它們的關系如下表：銷售單價x（元）202530銷售量y（件）200150100（1）求y與x之間的函數關系式；（2）該商家每天想獲得2160元的利潤，又要盡可能地減少庫存，應將銷售單價定為多少元？【分析】（1）直接利用待定系數法求出一次函數解析式即可；（2）直接利用（1）中所求，表示出總利潤，進而解方程的得出答案．解：（1）設商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數關系y＝kx+b，根據題意可得：，解得：，故y與x之間的函數關系式為：y＝﹣10x+400；（2）根據題意可得：（﹣10x+400）（x﹣10）＝2160，整理得：x2﹣50x+616＝0，（x﹣28）（x﹣22）＝0，解得：x1＝28（不合題意，舍去），x2＝22，答：應將銷售單價定為22元．【點評】此題主要考查了一次函數的應用以及一元二次方程的應用，正確得出等量關系是解題關鍵．23．如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE是⊙O的切線，且DE⊥AC，垂足為E，延長CA交⊙O于點F．（1）求證：AB＝AC；（2）若AE＝3，DE＝6，求CE的長．【分析】（1）連接OD，由切線的性質得到半徑OD⊥DE，又DE⊥AC，因此OD∥AC，推出∠C＝∠ODB，由等腰三角形的性質得到∠B＝∠ODB，故∠B＝∠C，即可證明AB＝AC；（2）連接DF，DA，由圓周角定理得到∠F＝∠B，而∠B＝∠C，得到∠F＝∠C，推出DF＝DC，因此CE＝FE，由△DAE∽△CDE，得到DE：CE＝AE：DE，即可求出CE＝12．【解答】（1）證明：連接OD，∵DE是⊙O的切線，∴半徑OD⊥DE，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠C＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：連接DF，DA，∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，∴∠F＝∠C，∴DF＝DC，∵DE⊥CF，∴FE＝EC，∵AB是圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∵DE⊥AC，∴∠C+∠CDE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∵∠AED＝∠CED＝90°，∴△DAE∽△CDE，∴DE：CE＝AE：DE，∵AE＝3，DE＝6，∴6：CE＝3：6，∴CE＝12．【點評】本題考查切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，關鍵是由切線的性質推出OD∥AC；由等腰三角形的性質得到EF＝CE，由△DAE∽△CDE，求出CE的長．24．如圖，一次函數y1＝kx+b（k≠0）與函數為的圖象交于兩點．（1）求這兩個函數的解析式；（2）根據圖象，直接寫出滿足y1﹣y2＞0時x的取值范圍；（3）點P在線段AB上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數y2的圖象于點Q，若△POQ的面積為3，求點P的坐標．【分析】（1）將A點坐標代入即可得出反比例函數y2＝（x＞0），求得函數的解析式，進而求得B的坐標，再將A、B兩點坐標分別代入y1＝kx+b，可用待定系數法確定一次函數的解析式；（2）由題意即求y1＞y2的x的取值范圍，由函數的圖象即可得出反比例函數的值小于一次函數值的x的取值范圍；（3）由題意，設P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，則Q（p，），求得PQ＝﹣2p+9﹣，根據三角形面積公式得到S△POQ＝（﹣2p+9﹣）?p＝3，解得即可．解：（1）∵反比例函數y2＝（x＞0）的圖象經過點A（4，1），∴1＝．∴m＝4．∴反比例函數解析式為y2＝（x＞0）．把B（，a）代入y2＝（x＞0），得a＝8．∴點B坐標為（，8），∵一次函數解析式y(tǒng)1＝kx+b圖象經過A（4，1），B（，8），∴．∴．故一次函數解析式為：y1＝﹣2x+9．（2）由y1﹣y2＞0，∴y1＞y2，即反比例函數值小于一次函數值．由圖象可得，＜x＜4．（3）由題意，設P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，∴Q（p，）．∴PQ＝﹣2p+9﹣．∴S△POQ＝（﹣2p+9﹣）?p＝3．解得p1＝，p2＝2．∴P（，4）或（2，5）．【點評】本題主要考查一次函數與反比例函數交點問題，熟練掌握待定系數法求函數解析式是解題的關鍵．25．如圖①，拋物線y＝ax2+bx﹣9與x軸交于點A（﹣3，0），B（6，0），與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是x軸上任意一點．（1）求拋物線的表達式；（2）點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標；（3）如圖②，當點P（m，0）從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作PE∥BC，交AC于點E，作PD⊥BC，垂足為點D．當m為何值時，△PED面積最大，并求出最大值．【分析】（1）可將拋物線的表達式設為交點式，代入點C坐標，進一步求得結果；（2）點Q的縱坐標為±9，代入求得其橫坐標，進而求得結果；（3）根據三角函數定義和相似三角形的性質分別表示出PD和PE，進而表示出△PDE的面積的函數表達式，進一步求得結果．解：（1）設拋物線的表達式為：y＝a（x+3）（x﹣6），∴﹣9＝a?3×（﹣6），∴a＝，∴y＝（x+3）（x﹣6）＝；（2）如圖1，拋物線的對稱軸為：直線x＝＝，由對稱性可得Q1（3，﹣9），當y＝9時，＝9，∴x＝，∴Q2（，9），Q3（，9），綜上所述：Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；（3）設△PED的面積為S，由題意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．∴BC＝＝3，∵sin∠PBD＝，∴，∴PD＝，∵PE∥BC，∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，∴，∴，∴PE＝，∴S＝PE?PD＝（m+3）（6﹣m）＝﹣，∴當m＝時，S最大＝，∴當m＝時，△PDE的面積最大值為：．【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的表達式，二次函數及其圖象的性質，平行四邊形的性質，銳角三角函數的定義，相似三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識．26．問題背景：一次小組合作探究課上，小明將一個正方形ABCD和等腰Rt△CEF按如圖1所示的位置擺放（點B、C、E在同一條直線上），其中∠ECF＝90°．小組同學進行了如下探究，請你幫助解答：初步探究（1）如圖2，將等腰Rt△CEF繞點C按順時針方向旋轉，連接BF，DE．請直接寫出B