小學數(shù)學競賽題

求下面各組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。30和1875和3516和729和3120和12100和30判斷正誤并說明理由。①互質的兩個數(shù)沒有最大公約數(shù)；()②兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)的倍數(shù)；()③12和8的最大公約數(shù)：2×2×3×2=24，最小公倍數(shù)：2×2=4；()④36和24的最大公約數(shù)：2×2=4，最小公倍數(shù)：2×2×9×6=216；()⑤17和51。17和51的最大公約數(shù)是17，最小公倍數(shù)是：17×51=867。()選擇正確答案的序號填在()里。(1)已知甲、乙兩個數(shù)互質，則甲、乙最大公約數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。①1②甲③乙④甲×乙(2)已知a=2×3×2，b=2×3×5，則a，b的最大公約數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。①2×3②2×3×2③2×3×5④2×3×2×5思考題。怎樣用一個短除式求下面三個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。8，16和24。腳?。海ㄖ械入y度）

夜里下了一場大雪，早上，小龍和爸爸一起步測花園里一條環(huán)形小路的長度，他們從同一點同向行走，小龍每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，兩人各走完一圈后又都回到出發(fā)點，這時雪地上只留下60個腳印。則這條小路長（）米。腳印答案：

爸爸走3步和小龍走4步距離一樣長，也就是說他們一共走7步，但卻只會留下6個腳印，也就是說每216厘米會有6個腳印，則有60個腳印說明總長度是厘米，也就是21.6米。

倍數(shù)：（中等難度）

從l～9這9個數(shù)碼中取出3個，使它們的和是3的倍數(shù)，則不同取法有__種。倍數(shù)答案：

（1）3個數(shù)都是3的倍數(shù)，有1種情況

（2）3個數(shù)除以3都余1，有1種情況

（3）3個數(shù)除以3都余2，有1種情況

（4）一個除以3余1，一個除以3余2，一個是3的倍數(shù)，有：3×3×3=27種情況

所以，一共有1+1+1+27=30種不同取法。數(shù)字：（中等難度）

恰有兩位數(shù)字相同的三位數(shù)共有多少個？數(shù)字答案：

在900個三位數(shù)中，三位數(shù)各不相同的有9×9×8＝648（個），三位數(shù)全相同的有9個，恰有兩位數(shù)相同的有900-648-9=243（個）。公倍數(shù)：（中等難度）

三個連續(xù)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是168，求這三個數(shù)。

公倍數(shù)答案：

6，7，8。提示：相鄰兩個自然數(shù)必互質，其最小公倍數(shù)就等于這兩個數(shù)的乘積。而相鄰三個自然數(shù)，若其中只有一個偶數(shù)，則其最小公倍數(shù)等于這三個數(shù)的乘積；若其中有兩個偶數(shù)，則其最小公倍數(shù)等于這三個數(shù)乘積的一半。行程：（中等難度）

小紅和小強同時從家里出發(fā)相向而行。小紅每分走52米，小強每分走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分出發(fā)，且速度不變，小強每分走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強兩人的家相距多少米？行程答案：

因為小紅的速度不變，相遇地點不變，所以小紅兩次從出發(fā)到相遇的時間相同。也就是說，小強第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90－70）＝14（分）可知，小強第二次走了14分，推知第一次走了18分，兩人的家相距（52＋70）×18＝2196（米）。巧算：（高等難度）

巧算答案：【答案】10分數(shù)陰影面積

如圖，在一個邊長為6的正方形中，放入一個邊長為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個頂點與小正方形的兩個頂點，形成了圖中的陰影圖形，則陰影部分的面積為（

）．

牛吃草

有三塊草地，面積分別為5公頃、15公頃和24公頃．草地上的草一樣厚，而且長得一樣快．第一塊草地可供10頭牛吃30天，第二塊草地可供28頭牛吃45天．問：第三塊草地可供多少頭牛吃80天？

三角面積：（高等難度）在邊長為1的正方形內(nèi)隨意放進9個點，證明其中必有3個點構成的三角形的面積不大于1/8三角面積答案：【答案】將正方形分成4個邊長為0.5的小正方形，則四個抽屜，9個點，必有一個抽屜里有3個點，則這3個點構成的三角形面積一定不大于正方形面積的一半，即面積不大于1/8。

解答：

奇偶問題

用代表整數(shù)的字母a、b、c、d寫成等式組：

a×b×c×d-a=1991

a×b×c×d-b=1993

a×b×c×d-c=1995

a×b×c×d-d=1997

試說明：符合條件的整數(shù)a、b、c、d是否存在。

解：由原題等式組可知：

a（bcd-1）=1991，b（acd-1）=1993，

c（abd-1）=1995，d（abc-1）=1997。

∵1991、1993、1995、1997均為奇數(shù)，

且只有奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，

∴a、b、c、d分別為奇數(shù)。

∴a×b×c×d=奇數(shù)。

∴a、b、c、d的乘積分別減去a、b、c、d后，一定為偶數(shù).這與原題等式組矛盾。

∴不存在滿足題設等式組的整數(shù)a、b、c、d。

行程問題

甲、乙二人沿鐵路相向而行，速度相同，一列火車從甲身邊開過用了8秒鐘，離甲后5分鐘又遇乙，從乙身邊開過，只用了7秒鐘，問從乙與火車相遇開始再過幾分鐘甲乙二人相遇？

解：要求過幾分鐘甲、乙二人相遇，就必須求出甲、乙二人這時的距離與他們速度的關系，而與此相關聯(lián)的是火車的運動，只有通過火車的運動才能求出甲、乙二人的距離.火車的運行時間是已知的，因此必須求出其速度，至少應求出它和甲、乙二人的速度的比例關系.由于本問題較難，故分步詳解如下：

①求出火車速度V車與甲、乙二人速度V人的關系，設火車車長為l，則：

（i）火車開過甲身邊用8秒鐘，這個過程為追及問題：故l＝（V車-V人）×8；（1）

（ii）火車開過乙身邊用7秒鐘，這個過程為相遇問題：故l=（V車+V人）×7.（2）

由（1）、（2）可得：8（V車-V人）＝7（V車+V人），

所以，V車=l5V人。

②火車頭遇到甲處與火車頭遇到乙處之間的距離是：

（8+5×6O）×（V車+V人）=308×16V人=4928V人。

③求火車頭遇到乙時甲、乙二人之間的距離。

火車頭遇甲后，又經(jīng)過（8+5×60）秒后，火車頭才遇乙，所以，火車頭遇到乙時，甲、乙二人之間的距離為：4928V人-2（8＋5×60）V人=4312V人。

④求甲、乙二人過幾分鐘相遇？

倍數(shù)問題：（中等難度）

任選7個不同的數(shù)，請說明，其中必有2個數(shù)的和或者差是10的倍數(shù)。倍數(shù)答案：

將所有自然數(shù)被10除的余數(shù)分為6個抽屜。。則，來自相同抽屜的2個數(shù)，或者他們的和是10的倍數(shù)，或者他們的差是10的倍數(shù)。又任選7個數(shù)中，至少有兩個數(shù)取自同一個抽屜，則，它們的和或者差是10的倍數(shù)。年齡問題：（中等難度）今年，祖父的年齡是小明的年齡的6倍，幾年后，祖父的年齡將是小明年齡的5倍，又過幾年以后，祖父的年齡將是小明的年齡的4倍，求：祖父今年是多少歲？年齡問題答案：【分析】祖父的年齡比小明的年齡大，兩人的年齡差是不變的.因為今年祖父的年齡是小明的年齡的6倍，所以年齡差是小明年齡的5倍，從而是年齡差是5的倍數(shù)，同理，由"幾年后，祖父的年齡是小明的年齡的5倍"，"又過幾年以后，祖父的年齡是小明的年齡的4倍"，知道年齡差是4、3的倍數(shù)，所以，年齡差是5×4×3=60的倍數(shù).而60的倍數(shù)是：60，120，…，合理的選擇是60，今年小明的年齡是60÷5=12(歲)，祖父的年齡是12×6=72(歲).數(shù)論問題：（中等難度）

有9個袋子里分別裝有9,12,14,16,18,21,24,25,28只球。若甲取走若干袋，乙取走若干袋，最后剩下一袋，已知甲取走的球數(shù)總和是乙的兩倍，剩下一袋內(nèi)裝有（）個球。數(shù)論答案：

數(shù)論中的整除問題：

9＋12＋14＋16＋18＋21＋24＋25＋28=167.

設乙取的數(shù)量是X,則甲的數(shù)量是2X，剩下的為a,則有，2X＋X＋a=167即

3X+a=167.利用同余的知識，167÷3余2，所以a÷3也要余2.即a=14.

【小結】利用整除的性質，能夠快速的找到突破口。平均分問題：（中等難度）

某車間有216個零件，如果平均分成若干份，分的份數(shù)在5至20之間，則有多少種分法？平均分答案：

【分析】5種。

提示：216=23×33，216的介于5與20之間的約數(shù)有6，8，9，12和18五個螞蟻爬洞穴問題：（中等難度）

甲、乙、丙三只螞蟻從A,B,C三個不同的洞穴同時出發(fā)，分別向洞穴B,C,A爬去。同時到達后，繼續(xù)向洞穴C,A，B爬去，然后分別返回自己的洞穴。如果甲、乙、丙三只螞蟻爬行路徑相同，爬行的總局里都是7.3米所用時間分別是6分鐘、7分鐘和8分鐘，則螞蟻乙從洞穴B到達洞穴C時爬行了（

）米，螞蟻丙從洞穴C到達A時爬行了（

）米。螞蟻爬洞穴答案：

如圖三個洞穴，根據(jù)題意可知，三只螞蟻都走了一圈，總路程是7.3米，分別所用的時間是6,7,8分鐘，所以三只螞蟻的速度之比為：28:24:21，注意題目中有一個條件，就是第一次出發(fā)的時候，他們是同時到達，說明：他們所用時間是相同的。則AB:BC:CA路程比就等于他們的速度比，28:24:21。即BC=7.3×24÷（28+24+21）=2.4。CA=21/（28+24+21）×7.3=2.1。

【小結】找出題目中的條件，本題是根據(jù)行程問題中的比例關系求解，當時間相同時，路程與速度成正比的關系，當路程相同時，速度與時間成反比，當速度相同時，時間與路程成正比。

抽水機：（中等難度）一水庫存水量一定，河水均勻入庫.5臺抽水機連續(xù)20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？抽水機答案：6天抽完需要12臺同樣的抽水機.5臺抽20天相當于1臺抽多少天？5×20=1006臺抽15天相當于1臺抽多少天？6×15=90（20-15）天流入水庫的水相當于1臺抽多少天？10