山東省威海市2024屆高三下學(xué)期二模試題 數(shù)學(xué) 含解析

2024年威海市高考模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1、答卷時(shí)，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)11，12，13，16，20，22，25，27，36的60%分位數(shù)為（）A.20 B.21 C.22 D.23.52.在研究集合時(shí)，用來表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù)．集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.3.已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列，則=（）A.2 B.3 C.4 D.65.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線過點(diǎn)F，且與C在第一象限的交點(diǎn)為A，若，則p=（）A.2 B.4 C.8 D.126.在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點(diǎn)，若平面與平面的交線為l，則l與直線所成角的大小為（）A. B. C. D.7.已知向量a，b滿足，，且對(duì)，，則=（）A.-2 B.-1 C.1 D.28.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.是純虛數(shù)B.對(duì)任意的復(fù)數(shù)z，C.對(duì)任意的復(fù)數(shù)z，為實(shí)數(shù)D.10.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減B.將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對(duì)稱C.在上有兩個(gè)零點(diǎn)D.11.數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓C：可以與邊長為的正方形的四條邊均相切，它的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，則（）A.B.若矩形的四條邊均與橢圓C相切，則該矩形面積的最大值為12C.橢圓C蒙日?qǐng)A上存在兩個(gè)點(diǎn)M滿足D.若橢圓C的切線與C的蒙日?qǐng)A交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且直線OE，OF的斜率都存在，記為，，則為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）13.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．則=______．14.已知圓錐頂點(diǎn)與底面圓周都在半徑為3的球面上，當(dāng)該圓錐的側(cè)面積最大時(shí)，它的體積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.市場(chǎng)供應(yīng)的某種商品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為90%，乙廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為65%．現(xiàn)有某質(zhì)檢部門對(duì)該商品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)．（1）若質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取1件該商品進(jìn)行檢測(cè)，求抽到產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率；（2）若質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取4件該商品進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)抽到的產(chǎn)品中能達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．16.如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，為等邊三角形，，，，，M為的中點(diǎn)．（1）證明：⊥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．17.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）證明：．18.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：過點(diǎn)，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，．（1）求C的方程；（2）已知直線l與C相切．（i）若l與直線交點(diǎn)為M，證明：；（ii）若l與過原點(diǎn)O的直線相交于點(diǎn)P，且l與直線OP所成角的大小為45°，求點(diǎn)P的軌跡方程．19.設(shè)，y是不超過x最大整數(shù)，且記，當(dāng)時(shí)，的位數(shù)記為例如：，，．（1）當(dāng)時(shí)，記由函數(shù)的圖象，直線，以及x軸圍成的平面圖形的面積為，求，及；（2）是否存在正數(shù)M，對(duì)，，若存在，請(qǐng)確定一個(gè)M的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)，時(shí)，證明：．2024年威海市高考模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1、答卷時(shí)，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)11，12，13，16，20，22，25，27，36的60%分位數(shù)為（）A.20 B.21 C.22 D.23.5【答案】C【解析】【分析】由百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】樣本數(shù)據(jù)11，12，13，16，20，22，25，27，36共9個(gè)數(shù)字，所以，所以分位數(shù)為從小到大排列的第個(gè)數(shù)，即為.故選：C.2.在研究集合時(shí)，用來表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù)．集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，確定，從而求出的值.【詳解】由題：所以，故選：A.3.已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)公式求出，結(jié)合焦點(diǎn)位置即可得漸近線方程.【詳解】由題知，，解得，又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線方程為.故選：D4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列，則=（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】A【解析】【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，且，，所以，解得：或（舍去），所以.故選：A.5.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線過點(diǎn)F，且與C在第一象限的交點(diǎn)為A，若，則p=（）A.2 B.4 C.8 D.12【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為H，利用斜率求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入拋物線方程即可得解.【詳解】過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為H，因?yàn)橹本€AF的斜率為，所以，則，所以，點(diǎn)A坐標(biāo)為，代入得，整理得，解得或（舍去）.故選：B6.在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點(diǎn)，若平面與平面的交線為l，則l與直線所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用線面平行判定定理和性質(zhì)定理可證，再由直線平行的傳遞性可得，可知即為所求，可得答案.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱BC，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又平面平面，，所以，又，所以，所以l與直線所成角的大小等于.故選：C7.已知向量a，b滿足，，且對(duì)，，則=（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】對(duì)兩邊平方，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)閷?duì)，，所以，所以，所以.故選：C.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，求導(dǎo)可證明，進(jìn)而可得，可判斷，令，求導(dǎo)可證，令，可判得.【詳解】令，可得，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)，，所以單調(diào)遞減，所以，即，所以，令，可得，即，所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.是純虛數(shù)B.對(duì)任意的復(fù)數(shù)z，C.對(duì)任意的復(fù)數(shù)z，為實(shí)數(shù)D.【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡后，結(jié)合純虛數(shù)概念可判斷；對(duì)于B，設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模公式計(jì)算即可判斷；對(duì)于C，設(shè)出復(fù)數(shù)z，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算與和差公式化簡即可判斷.【詳解】對(duì)于A，是純虛數(shù)，A正確；對(duì)于B，對(duì)任意復(fù)數(shù)，，，所以和不一定相等，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，則，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減B.將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對(duì)稱C.在上有兩個(gè)零點(diǎn)D.【答案】BCD【解析】【分析】由可知的圖象關(guān)于對(duì)稱，可判斷AB；整體代入法求出函數(shù)零點(diǎn)即可判斷C；求出，結(jié)合周期可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以在上不單調(diào)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由上知，的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，B正確；對(duì)于C，由得函數(shù)的零點(diǎn)為，令，解得，所以，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，，所以因?yàn)榈淖钚≈抵芷?，所以，D正確.故選：BCD11.數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓C：可以與邊長為的正方形的四條邊均相切，它的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，則（）A.B.若矩形的四條邊均與橢圓C相切，則該矩形面積的最大值為12C.橢圓C的蒙日?qǐng)A上存在兩個(gè)點(diǎn)M滿足D.若橢圓C的切線與C的蒙日?qǐng)A交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且直線OE，OF的斜率都存在，記為，，則為定值【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，邊長為的正方形為的蒙日?qǐng)A的內(nèi)接正方形，從而得到方程，求出；B選項(xiàng)，設(shè)矩形的長為，寬為，根據(jù)蒙日?qǐng)A方程得到，由基本不等式求出面積的最大值；C選項(xiàng)，設(shè)，根據(jù)得到方程，得到，故C正確；D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)為，故，橢圓C的切線方程為，聯(lián)立與，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，，故.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得邊長為的正方形為的蒙日?qǐng)A的內(nèi)接正方形，故，解得，，A正確；B選項(xiàng)，若矩形的四條邊均與橢圓C相切，則該矩形為的蒙日?qǐng)A的內(nèi)接矩形，其中蒙日?qǐng)A的半徑為，設(shè)矩形的長為，寬為，故，故矩形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故該矩形面積的最大值為24，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由題意得，蒙日?qǐng)A方程為，設(shè)，故，，由得，故，解得，顯然點(diǎn)可能在第一象限或第四象限，C正確；D選項(xiàng)，下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：當(dāng)時(shí)，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，代入橢圓方程得：，由，化簡得：，所以，把代入，得：，于是，則橢圓的切線斜率為，切線方程為，整理得到，其中，故，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，綜上：橢圓在處的切線方程為；設(shè)切點(diǎn)為，故，則橢圓C的切線方程為，聯(lián)立與得，設(shè)，則，，將代入得，，，故，為定值，D正確.法2：若的斜率存在，則設(shè)直線，則聯(lián)立與得，由得，聯(lián)立與得，，設(shè)，則，故，將代入得，故，若的斜率不存在，則：或，若：，則或，此時(shí)均有，同理當(dāng)：，也有，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】過圓上一點(diǎn)的切線方程為：，過圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為：.過橢圓上一點(diǎn)的切線方程為，過雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）【答案】35【解析】【分析】化簡通項(xiàng)，根據(jù)x的指數(shù)等于13求出r，然后可得所求系數(shù).【詳解】，令，解得，所以的系數(shù)為.故答案為：3513.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．則=______．【答案】【解析】【分析】在中，由余弦定理可得，結(jié)合已知求得，再由正弦定理可求得.【詳解】在中，由余弦定理可得，所以，所以，因?yàn)椋?，所以解得，由，可得，在中，由正弦定理可得，所?故答案為：.14.已知圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周都在半徑為3的球面上，當(dāng)該圓錐的側(cè)面積最大時(shí)，它的體積為______．【答案】##【解析】【分析】將圓錐側(cè)面積用圓錐底面半徑與母線長的表達(dá)式表示出來，再利用外接球半徑為3，建立圓錐底面半徑與母線長的關(guān)系，從而將圓錐側(cè)面積表示為母線長函數(shù)，利用換元，導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)取最大值時(shí)的母線長，底面半徑長，從而求出此時(shí)的圓錐體積.【詳解】如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為C，底面圓周與頂點(diǎn)均在球心為O的球面上，，記則圓錐側(cè)面積為，若相同時(shí)，較大才能取得最大值，由截面圓的對(duì)稱性知，圓錐側(cè)面積最大時(shí)兩點(diǎn)位于球心兩側(cè)，此時(shí)，，而,又，故令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，最大，圓錐側(cè)面積最大，此時(shí)，此時(shí)圓錐體積，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.市場(chǎng)供應(yīng)的某種商品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為90%，乙廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為65%．現(xiàn)有某質(zhì)檢部門對(duì)該商品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)．（1）若質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取1件該商品進(jìn)行檢測(cè)，求抽到產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率；（2）若質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取4件該商品進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)抽到的產(chǎn)品中能達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）的分布列見解析，【解析】【分析】（1）記該事件為事件，利用，求解即可；（2）由（1）可知，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式可求分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】記質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取1件該商品進(jìn)行檢測(cè)，求抽到的產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)為事件，則，【小問2詳解】由（1）可知每件產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率均為，故，，所以，，，，，的分布列為：16.如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，為等邊三角形，，，，，M為的中點(diǎn)．（1）證明：⊥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)中點(diǎn)為O，證明平面，從而得，結(jié)合，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【小問1詳解】設(shè)中點(diǎn)為O，連接，為等邊三角形，故，由題意知平面⊥平面，平面平面，平面，故平面，平面，故，又，平面，故平面，平面，故，又M為的中點(diǎn)，為等邊三角形，則,平面，所以⊥平面；【小問2詳解】由（1）知平面，平面，故，連接，，則，即四邊形為平行四邊形，故，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則.17.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）證明：．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性以及極值的關(guān)系，即可求得答案；（2）根據(jù)要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合其最值，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】由題意得的定義域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為函數(shù)的極大值點(diǎn)，函數(shù)極大值為，無極小值；【小問2詳解】證明：設(shè)，，令，則，即在上單調(diào)遞增，，故，使得，即，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故即，即，則.18.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：過點(diǎn)，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，．（1）求C的方程；（2）已知直線l與C相切．（i）若l與直線的交點(diǎn)為M，證明：；（ii）若l與過原點(diǎn)O的直線相交于點(diǎn)P，且l與直線OP所成角的大小為45°，求點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】（1）（2）證明詳見解析；或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意直接求參數(shù)即可；（2）（i）通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得直線l的方程，進(jìn)而找到交點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出OM的斜率，通過斜率之積為-1證得垂直；（ii）設(shè)P的坐標(biāo)為，通過向量的夾角公式得到等量關(guān)系進(jìn)行化簡，進(jìn)而用