時(shí)間序列分析-課后習(xí)題答案

《時(shí)間序列分析》課后習(xí)題

參考答案

第一章時(shí)間序列分析基礎(chǔ)

1.橫截面數(shù)據(jù)、時(shí)間序列數(shù)據(jù)和面板數(shù)據(jù)；時(shí)間序列數(shù)據(jù)是指同一個(gè)個(gè)體的一

個(gè)或者多個(gè)特征在一系列時(shí)間觀測(cè)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)；例如，1980年到2020年全

球平均溫度指數(shù)、上證指數(shù)從2000年1月到2021年1月的月收益率、我國(guó)

經(jīng)濟(jì)總量從2001年到2020年的年度數(shù)據(jù)。

2時(shí)序圖散占圖率唐圖婁節(jié)圖

3：序列平最靠平最差分孑穩(wěn)、結(jié)意變化、季節(jié)性、協(xié)整、波動(dòng)率聚集等。

4.奇異值檢測(cè)、缺失值填補(bǔ)、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換和數(shù)據(jù)分解等。

5.平穩(wěn)性分為嚴(yán)平穩(wěn)和弱平穩(wěn)，參考定義L1和定義1.2；遍歷性刻畫的是時(shí)

間序列數(shù)據(jù)之間的相依程度隨著數(shù)據(jù)之間時(shí)間間隔的增加而逐漸減弱的特征;

白噪聲是指均值為0、方差有限、且不存在時(shí)間維度上的相關(guān)性的平穩(wěn)時(shí)間

序列，是寬平穩(wěn)的。

6.可以使用Pearson相關(guān)系數(shù)度量變量之間的線性相關(guān)性，以及非線性相關(guān)系

數(shù)，例如Spearman秩相關(guān)系數(shù)和Kendall7■相關(guān)系數(shù)，來度量變量之間的非

線性相關(guān)關(guān)系。以上度量的共同點(diǎn)在于均為數(shù)據(jù)之間相依性的度量，并對(duì)樣

本數(shù)據(jù)得到相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)；但當(dāng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)之間存在非線

性關(guān)系時(shí)，線性相關(guān)度量可能無法反應(yīng)變量之間的相依性。

7.白噪聲檢驗(yàn)可基于樣本自相關(guān)函數(shù)SACF或者QBP、QLB統(tǒng)計(jì)量做假設(shè)檢驗(yàn)。

若各階SACF均落在置信區(qū)間內(nèi)或者為「、QLB落在拒絕區(qū)域外，則接受序列

白噪聲假設(shè)；否則，拒絕白噪聲假設(shè)。

8.略。

9.白噪聲模型、滑動(dòng)平均模型、自回歸模型和自回歸滑動(dòng)平均模型。

10.均值預(yù)測(cè)法、樸素預(yù)測(cè)法、滑動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法和模型預(yù)測(cè)法。

11.略。

第二章線性時(shí)間序列模型

1.時(shí)間序列〃可以表示成白噪聲小及其滯后項(xiàng)的線性函數(shù)，則其為線性時(shí)間序

列過程；線性序列過程通過白噪聲滯后項(xiàng)刻畫序列相依性；在現(xiàn)實(shí)建模中常

基于Box和Jenkins(1976)的思想進(jìn)行建模，即采用ARM/(p,q)去近似該平

穩(wěn)時(shí)間序列。

2.自回歸模型是指時(shí)間序列當(dāng)前觀測(cè)對(duì)其過去觀測(cè)(滯后項(xiàng))的回歸模型，例

如P階自回歸模型：改=+弧死-1+…+。pTjp+4這里生為白噪聲，當(dāng)

方程1-01Z-----OpzP=0的根落在單位圓之外，該自回歸過程平穩(wěn)。

3.(1)是平穩(wěn)的，因?yàn)榉匠蘬-0.95z=0的根為1/0.95,在單位圓外。由

2.2.1節(jié)公式可得，Ert==60,=言7=嘿W，ACFp0=

1,pt=(0.95)'對(duì)/21。

(2)不是平穩(wěn)的，因?yàn)榉匠蘬-L05z=0的根在單位圓內(nèi)。

(3)不是平穩(wěn)的，因?yàn)榉匠?—0.8z—0.2z2=0的兩根為一5和一1,并不在

單位圓外，故為非平穩(wěn)。

(4)是平穩(wěn)的，因?yàn)榉匠?+0.92+0.4522>0當(dāng)憶|工1,因此其根在單位

圓外。由2.2.2節(jié)公式，Er=-^—=0,.⑺=丁磐

t1-01-02°(1+02)[(1-02)2-01]

2.040若,ACFpo=l,pi=Y^-=一。,當(dāng)I22,=-0.9pi-0.45%2。

J.-02zy

4.(1)是可逆的，0+￡￡式—0.95)%7=嘎+&。由2.3.1節(jié)公式，Ert=

3,7ar(rt)=1.9025cr^,p0=1,p1右0.4993,pt=0,1>lo

(2)不可逆。由2.3.1節(jié)公式，E〃=l,IZar(rJ=2.1025w，Po=1,

pix0.4994,pi=0,1>lo

(3)是可逆的。假設(shè)&=6+2X1瓦GT，由于&+0.8&T+0.2&_2=

根據(jù)等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等,可得由=一08a2=。?44必=一0.8。——

0.2az_2,Z>3o由2.3.2節(jié)公式，Ert=0,Var(rt)=1.68cr^,Po=l，Pi=

-五，P2=垢，Pi=0，，>2。

(4)不是可逆的，因?yàn)?-0.9z-0.45z2=0的一個(gè)根在單位圓內(nèi)。由

2.3.2節(jié)公式,Ert=0,yar(rt)=2.0125^,Po=l,px?-0.2460,p2=

—0.2236,pi=0,1>2O

5.(1)由公式(2.8)可計(jì)算得。11="=0.95,=0，k22。

Po

(2)是非平穩(wěn)的，無法計(jì)算PACF。

(3)是非平穩(wěn)的，無法計(jì)算PACF。

(4)由公式(2.8)可得弧1=￡=一3022=等詈=一。45,。依=

Po29Pi-Po

0,k>3o

6.由于對(duì)于MA序列，PACF并無截尾性質(zhì)，其數(shù)值可根據(jù)(2.8)式以及第4題

中得到的ACF進(jìn)行計(jì)算。在本題中我們只計(jì)算1-階和2-階偏自相關(guān)系數(shù)作

為示例。

(1)On="=0.4993,022=華釁=-03321。

PoPl-Po

(2)Ou="=0.4994,022=-03323。

PoPl-Po

(3)=。=一||,022=°：2Py=-0.3081。

Po21Pl-Po

(4)弧1="=-0.2640*22=6”詈=-0.3024。

PoPl-Po

7.(1)序列自相關(guān)系數(shù)關(guān)于階數(shù)的變化的函數(shù)即為自相關(guān)函數(shù)，記為ACF；

(2)序列0關(guān)于r.i，…,r.k的線性投影中，最后一個(gè)解釋變量r-k前的系數(shù)

被稱為6的心階偏自相關(guān)系數(shù)。序列偏自相關(guān)系數(shù)關(guān)于階數(shù)變化的函數(shù)

即為偏自相關(guān)函數(shù)，記為PACF；

(3)EACF指拓展的自相關(guān)系數(shù)，用于ARMA模型的定階；

(4)信息選擇法是選擇最優(yōu)的階數(shù)以平衡模型的擬合優(yōu)度和模型的復(fù)雜度;

(5)模型診斷通常指通過檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼`差是否符合模型的基本假設(shè)來實(shí)現(xiàn)

的定階方法。

8.略。

第三章單位根時(shí)間序列模型

1.對(duì)于1階自回歸過程，(l-pB)yt=(p0+ut,當(dāng)p=l,該過程即為單位根

過程。

2.利用最小二乘得到p的估計(jì)平穩(wěn)過程、單位根過程和爆炸過程的極限分

布為教材中(3.2)、(3.3)和(3.4)式。從收斂速度來看，平穩(wěn)過程的估

計(jì)量收斂速度最慢為%(專)，單位根過程的估計(jì)量收斂速度其次，為Op(》，

爆炸過程的估計(jì)量收斂速度最快，為Op(pT)。從極限分布來看，平穩(wěn)過程

估計(jì)量極限分布為正態(tài)分布，單位根過程極限分布為隨機(jī)積分，爆炸過程極

限分布為柯西分布。

3.首先判斷該AR(1)過程屬于平穩(wěn)過程、單位根過程還是爆炸過程。對(duì)該過程

執(zhí)行情形1下的Dickey-Fuller檢驗(yàn)。當(dāng)p值處于(0.05,0.95)之間時(shí)，接受原

假設(shè)認(rèn)為該過程為單位根過程，當(dāng)p值大于0.95,拒絕原假設(shè)，同時(shí)接受該

過程為爆炸過程；當(dāng)p值小于0.05,拒絕原假設(shè)，同時(shí)接受該過程為平穩(wěn)過

程。對(duì)該序列所屬過程進(jìn)行判斷后，便可根據(jù)其對(duì)應(yīng)的極限分布的分位數(shù)構(gòu)

造置信區(qū)間。平穩(wěn)過程和爆炸過程的極限分布(3.2)和(3.4)式存在冗余

參數(shù)P，在構(gòu)造置信區(qū)間的過程中可以使用其相合估計(jì)量。替代，單位根過

程極限分布(3.3)式的分位數(shù)，可以通過查詢DF檢驗(yàn)在情形1下的分位數(shù)

表得到。

4.(1)我們可以得到FCLT(functionalcentrallimittheorem):

Vr

在Skorohord空間下成立。因此我們可以寫為積分形式：

TT1

22

T~Wyt-1=LW(yt-i/")2=1(y[Tt]/Vr)dt.

t=lt=l0

由于FCLT和是Skorohord空間0[O,1]中的連續(xù)泛函，根據(jù)連續(xù)映射

定理，我們有

dr1

dt-^o2[W(t)]2dt.

(2)我們有

7-iW%=L+yt-yt)(yt-yt-i)

t=lt=l

=L(中-yo

由于笈=1兒曰=Zt=iyt-i?t+Zt=iut＞我們有

T/T\

7-?丫1%=9-1（蘇一羽一w必）

t=l\t=l）

_（IDn

因?yàn)閥r/VfToWQ）、據(jù)/T&0以及大數(shù)率廣】殍-諾馬。2,我們可得

?，2

LW%T/*{["(1)]2-4

5.由書中（3.1）式，我們只需分析春殍ryi%和l/T￡Ly陶的極限性質(zhì)

2

即可。易證力服從正態(tài)分布，方差為0:老d）。2,且其方差的極限為為，

由于

TT

L】W無一后資

i=lj=i+l

這里c為與P和。有關(guān)但與r無關(guān)的常數(shù)。根據(jù)切比雪夫不等式，我們可以得

n

到T-NL（競(jìng)一E羽）20。由于我們有廣1￡工送量T』,故

為了證明1/VT?屋/一I/￡N（O,黑），根據(jù)鞅的中心極限定理我們只需

證明以下兩個(gè)式子

l/VTmaxlyt-iuj=op（l）.（2）

（1）的證明可以用與上面完全相似的步驟去證。對(duì)于（2）式，易證序列先

幾乎處處收斂到一個(gè)正態(tài)分布，故（2）式等價(jià)于l/VT/naxluJ=。「（1）。由

22-1

P(l/\fTmax\ut\>8)<8-T-YE說=0(7),

故(2)式成立。因此根據(jù)Slutsky定理，我們便可以完成最終證明。另外一

種證明思路見Hamilton(1994,pp.216),(8.2.30)式。

6.該證明較為繁瑣，具體細(xì)節(jié)請(qǐng)參考White(1958)o

7.首先，如果有一個(gè)比較明確的生成數(shù)據(jù)的過程和需要檢驗(yàn)的假設(shè)，那么則可

以確定需要選擇的情形。其次，如果沒有明確的上述指引，一般的原則是：

選擇一個(gè)模型和數(shù)據(jù)生成的設(shè)定，使他們?cè)谠僭O(shè)和備擇假設(shè)下都能夠比較

合理地刻畫數(shù)據(jù)的主要特征。特別地，如果數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的時(shí)間趨勢(shì)，則

要考慮采用情形4；否則考慮采用情形2。

8.略0

第四章非線性時(shí)間序列模型

1.例如門限自回歸模型，其特征為根據(jù)門限變量劃分區(qū)制，在各個(gè)區(qū)制中均是

線性自回歸結(jié)構(gòu)，但不同區(qū)制中，自回歸模型參數(shù)取值不同；平滑轉(zhuǎn)化模型,

其特征為解決了SETAR模型不同區(qū)制中參數(shù)取值離散的問題；馬爾科夫轉(zhuǎn)換

模型，根據(jù)潛在變量劃分區(qū)制，且潛在變量由一個(gè)馬爾科夫鏈驅(qū)動(dòng)。

2.檢驗(yàn)非線性的方法，包括參數(shù)方法和非參數(shù)方法。參數(shù)非線性檢驗(yàn)，包括

RESET檢驗(yàn)、門限檢驗(yàn)。非參數(shù)模型設(shè)定檢驗(yàn)，典型的有基于L2距離的檢驗(yàn)

和基于條件均值距離的檢驗(yàn)。

3.核函數(shù)k(?):Rq->R,又被成為權(quán)重函數(shù)，滿足Jk(x)d%=l。常用的一元核

函數(shù)包括：(i)均勻核函數(shù)：ko(x)="(％€(—1,1))；(ii)Epanechnikov

核函數(shù)：/ci(x)=(1—x2)/(xe(—1,1))；(iii)Gaussian核函數(shù)：

爆⑺=意叩(一

4.第一種方法是大拇指法，即取

r1.06sT4+%Gaussian

hopt=J

(2.34sT4+q,Epanechnikov

其中s為。的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，T為樣本容量，q為。的維度。第二種方法是交

叉驗(yàn)證的方法，即屬=argm勿CV㈤，這里=*￡]=1[力一

屐-，(勺)]2勿(勺)，這里九乂勺)=吉，⑸伙(勺)九，勿(勺)是對(duì)預(yù)測(cè)平

方誤差加總時(shí)用到的權(quán)重函數(shù)。

5.篩分估計(jì)是一類將函數(shù)在全局近似而得到估計(jì)的方法的總稱，依賴于函數(shù)的

近似逼近理論，假設(shè)未知函數(shù)落在一個(gè)函數(shù)空間，且該函數(shù)空間具有一組基

函數(shù)向G)}2。，則fconyZoq/i/G)。常用的篩分空間有多項(xiàng)式空間、三

角多項(xiàng)式空間、樣條空間、埃爾米特多項(xiàng)式空間。階通過廣義交叉驗(yàn)證方法

來選取，假設(shè)未知函數(shù)m階可導(dǎo)，對(duì)0<a<b<80<d<c<1,定

2(m+l)

義岫={PT，PT+1，…，qr]，這里Pr=[aTd],/=2力。選取k使得

,82(/c)

^GCV-ar9Ef~T\7z/T12;

—"1_k/TJ

這里胡(￡)=匐屋1仇一九(%t)}2。

6.例如可加模型yt=/(xt)+&=91(。)+…+0(勺。+at,這里％t=

(%lt，…,xlty,針對(duì)該模型的估計(jì)方法有迭代擬合(backfitting)估計(jì)法和邊

際積分(marginalintegration)估計(jì)法。

7.可以使用基于L2距離的檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

2

%,HM(h)=Th/2，{汾(x)-mg(x)}vu(x)dx.

這里

-(、H=iKh(.x-xt)yt

?，、S[=iK(x-x)m(x)

唉⑺二工h”.t々)gt

其中?為原假設(shè)下外的一個(gè)VT-相合估計(jì)量。

止匕外，還可使用基于條件均值距離的檢驗(yàn)，該統(tǒng)計(jì)量為

TT

/丁(九)=丁(.fWE(”s,,

S=1￡=1,士工S

經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化，可采用下述統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)：

丁心/2](h)d

JT=—

其中

dTT

62fW用其K六%s，xJ

s=lt=l,￡Hs

此外可以通過自助抽樣的方法，避免檢驗(yàn)結(jié)果對(duì)窗寬參數(shù)敏感的問題。

8.略。

第五章協(xié)整時(shí)間序列模型

1.(1)虛假回歸是指：兩個(gè)獨(dú)立的單位根過程在線性回歸中發(fā)現(xiàn)存在顯著相關(guān)

性的現(xiàn)象。

(2)虛假回歸的顯著特征有：

①t值很大且呈現(xiàn)統(tǒng)計(jì)上的顯著性；

②回歸的R2很大，非常接近于1；

③回歸的殘差存在較強(qiáng)的序列相依性，接近單位根過程(Durbin-Watson統(tǒng)計(jì)

量接近0)o

2.(1)協(xié)整的定義是：一個(gè)九x1向量時(shí)間序列九是協(xié)整的，當(dāng)它的每一個(gè)子

序列都是單位根過程，且存在非零的向量ae“，使得線性組合aT%是一個(gè)平

穩(wěn)過程；此時(shí)，a被稱為協(xié)整向量。

(2)協(xié)整的誤差修正表示是：假設(shè)先為p階自回歸模型：

%=a+①+①2%-2+…+①p%-p+J=①⑻%=a+見.

假設(shè)Ayt存在Wold分解

(1-B)yt=6+rp(L)Et.

如果yt中存在八個(gè)協(xié)整關(guān)系，則可以證明：

①①(1)6=0,①⑴吵⑴=0；

②存在一個(gè)nxh的矩陣B,使得①(1)=347，其中M中的行構(gòu)成協(xié)整向量

空間的基。

可等價(jià)表述為：

yt=+<2^yt-2+…+《p-My-p+i+a+pyt-i+4，

其中4=一[①s+i---①p]，P三①1—①p。

同時(shí)有：

Ayt=G/y-i+Adyt-2+…+<p-i^yc-p+i+a+Gyt-i+5，

其中40三P—[n=—[]ri—①1----①p]=一①(1)。

若兒包含九個(gè)協(xié)整關(guān)系，則有

4yt=+(2^yt-2+…+(P-i^yt-P+i+a—Bzt_x+

其中，々三力7力為平穩(wěn)協(xié)整變量。

(3)在數(shù)據(jù)分析中，誤差修正表示可以刻畫長(zhǎng)期均衡(協(xié)整關(guān)系)對(duì)短期波

動(dòng)(差分序列)的影響。

3.(1)虛假回歸中回歸系數(shù)的估計(jì)不相合，隨著樣本量的增加收斂到一個(gè)隨機(jī)

變量；t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以VT的速度隨樣本量T增加發(fā)散到無窮。

(2)協(xié)整回歸中回歸系數(shù)的估計(jì)是超相合的，t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是非標(biāo)準(zhǔn)分布的。

(3)忽視分布的差異會(huì)導(dǎo)致在假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)使用錯(cuò)誤的極限理論而得出錯(cuò)誤的

結(jié)論。

4.對(duì)變量?jī)汉涂紤]以下平衡回歸模型

xu

yt=a+pxt+yyt-i+^t-i+t>

檢驗(yàn)0是否為零，為零是虛假回歸，否則是協(xié)整回歸。

5.(1)采用最小二乘估計(jì)法估計(jì)回歸方程

yit=a+y2y2t+/，

再利用得到的殘差距來構(gòu)造單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

(2)采用最小二乘估計(jì)法估計(jì)回歸方程

u

ylt=a+y2y2t+V3y3t+…+Ynynt+t>

再利用得到的殘差Qt來構(gòu)造單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

(3)對(duì)八=1,2,…考慮檢驗(yàn)

Ho：yt中存在h個(gè)協(xié)整關(guān)系;

HA1：yt中存在n個(gè)協(xié)整關(guān)系。

構(gòu)造似然比檢驗(yàn)的跡統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。

6.①對(duì)向量yt中的每一個(gè)序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)；

②針對(duì)給定向量a,對(duì)序列々=必先進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。若不存在單位根，則協(xié)

整向量為a。

7.略。

8.對(duì)

yt=m(xt)+et,t=1,2,…，T,

考慮：

Ho：m(x)=對(duì)V%6Rd,。。€0

“1：m(x)=m0i(%)+Crzl(x),G0;

采用Wang和Phi11ips(2012)考慮的經(jīng)典模型設(shè)定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

TT

ST=4/小(2,勺)

s=lt=l,￡ws

進(jìn)行檢驗(yàn)。

9.對(duì)

yt=fGt，8)+ut,

采用非線性最小二乘估計(jì)量

2

0=argmin^\yt-f(xt,0)]0

第六章波動(dòng)率模型

ul=a0+%您_1+…+amUt_m+wt,

其中Wt是白噪聲，且E(w%)=a2,

滿足上述過程的白噪聲也被稱為ARCH(m)過程。

易見：

E(詔|齒_1，…)=a0+%詔_1+???+

2.考慮均值回歸

yt=x^+ut,

其中解釋變量々可以包含兒的滯后項(xiàng)。對(duì)均值回歸采用OLS估計(jì)，得到殘差估

計(jì)量位t。再將語對(duì)它的m個(gè)滯后變量回歸：

fit=a0+%詬_]H---Famul_m+et,

在上述回歸中檢驗(yàn)為:劭=-=am=O,若也被拒絕，則yt具有ARCH效應(yīng)；

否則，不存在ARCH效應(yīng)。

3.在確定均值回歸模型之后，將均值回歸模型擬合得到的殘差進(jìn)行ARCH建模，

估計(jì)并檢驗(yàn)ARCH效應(yīng)是否存在；若存在，則采用PACF或者Ljung-Box檢驗(yàn)

來確定ARCH模型的階m。

4.可以采用信息準(zhǔn)則(AI&BIC)的方法確定GARCH模型的階數(shù)。

5.略。

6.略。

第七章時(shí)間序列的機(jī)器學(xué)習(xí)方法

1.(1)支持向量回歸是對(duì)于時(shí)間序列樣本考慮

yt=+et,

々可以包含%的滯后項(xiàng)和其他可以用來預(yù)測(cè)的解釋變量，/(%)=wTx+b,w

和b為待確定的模型參數(shù)。定義e-不敏感損失函數(shù)為

0,若⑻<6；

Q(e)=

|e|-6,其他。

支持向量回歸的目標(biāo)函數(shù)為:

T

wTx

minwj)乏le(.yt-t+b)+或卬7卬，

t=l

其中，a為正則化參數(shù)，卬丁卬為卬的q范數(shù)。

(2)最小二乘基于平方損失函數(shù)，只有當(dāng)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)時(shí)，損失才會(huì)為零；而支

持向量回歸基于6-不敏感損失函數(shù)，可以容忍存在一個(gè)較小的e偏差。

2.在非線性SVR中，采用核函數(shù)旗?「)，可以將未知函數(shù)近似表示為

T

a

/(xt)=2/女(。,/)+b=^t+bo

S=1

常用的核函數(shù)有：線性核、多項(xiàng)式核、高斯核、拉普拉斯核、Sigmoid核。

3.(1)分類回歸樹是利用分類樹的思想，把》取值的區(qū)域遞歸地分成兩個(gè)子

區(qū)域Ri(x,s)=[x\x<s}和R2(X,S)={x\x>s},并確定每個(gè)區(qū)域上對(duì)y的預(yù)測(cè)

值，進(jìn)而對(duì)每個(gè)子區(qū)域重復(fù)這個(gè)過程，直到某種停止條件滿足。

(2)①遍歷/=1,…,p,求解最優(yōu)切分變量j和切分點(diǎn)s使得

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minj：s[mmC1-Q)+